輔助圓——重要的輔助線

1、輔助圓不太熟悉但很重要的輔助線添加輔助圓解平面幾何題，雖遠(yuǎn)不如輔助（直）線那么為人們所熟知，但許多直線形問題，若輔助圓添加得合理，則能收到化難為易，事半功倍的效果 一、根據(jù)圓的定義作輔助圓例1 如圖，四邊形ABCD中，ABCD，ABACADp，BCq，求BD的長解析：以點(diǎn)A為圓心、AB為半徑作A因?yàn)锳BACAD，所以B、C、D三點(diǎn)在A上延長BA交A于點(diǎn)E，連結(jié)DE因?yàn)镈CEB，所以弧ED弧BC，所以EDBCq在RtBDE中，根據(jù)勾股定理，得BD例2 如圖， PAPB，APB2ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，且PB5，PD3，求AD·DC的值 解析：以點(diǎn)P為圓心、P為半徑的作P因?yàn)镻APB

2、，APB2ACB，所以點(diǎn)、B、C在P上此時(shí)P的直徑BE10，DE8，DB2，由相交弦定理，得AD·DCDE·DB×16 二、作三角形的外接圓例3 如圖，D、E為ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且BD=CE，BAD=CAE，求證：AB=AC解析：作ADE的外接圓，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，連結(jié)MD、NE因?yàn)锽ADCAE，所以BADDAECAE+DAE，即NADMAE因?yàn)锽DMMAE，CENNAD，所以BDMCEN又BDCE，DMEN，所以BDMCEN，所以BC，即ABAC例4 如圖，ABC中，BF、CE交于點(diǎn)D，BDCD，BDEA，求證：BECF 解析：作ABC的外接O，延

3、長CE交O于G，連接BG因?yàn)镚A，BDEA，所以GBDE，所以BG=BD又BDCD，所以BGCD.又因?yàn)镚CDF，GBEDCF，所以GBEDCF所以BECF例5 如圖，在ABC中，ABAC，BAC100°，B的平分線交AC于D，求證：BCBDAD解析：作ABD的外接圓交BC于E，連結(jié)DE因?yàn)锽D是ABC的平分線，所以弧AD弧DE，所以ADDE在BDE中，DBE20°，BED180°100°80°，所以BDE80°，所以BEBD在DEC中，EDC80°40°40°，所以ECDE所以BCBEECBDAD三、結(jié)

4、論類似于圓冪定理的形式時(shí)作輔助圓例6 如圖，在ABC中，ABAC，D是邊BC上的一點(diǎn)，且A，求BD·DC的值解析：以點(diǎn)A為圓心、AB為半徑作A，交直線AD于點(diǎn)E、F，則點(diǎn)C在A上，DE，DF由相交弦定理，得BD·DCDE·DF2例7 如圖，在ABC中，DABC，B的平分線BN交AD于M求證：（1）AMAN；（2）AB 2AN 2BM·BN解析：（1）略；（2）由（1），得AMAN以點(diǎn)A為圓心、AM為半徑作A，交AB于E，交BA的延長線于F，則N在A 上，且AEAFAN由割線定理，得BM·BNBE·BF(ABAE)(ABAF)(ABAN

5、)(ABAN)AB 2AN 2，即AB 2AN 2BM·BN四、探究動(dòng)點(diǎn)對(duì)定線段所張的角時(shí)作輔助圓例8 如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，B90°，設(shè)ABa，DCb，ADc，當(dāng)a、b、c之間滿足什么關(guān)系時(shí)，在直線BC上存在點(diǎn)P，使APPD？ 解析：以AD為直徑作O，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，當(dāng)O與直線BC有公共點(diǎn)（相切或相交）時(shí)，在直線BC上存在點(diǎn)P，使APPD因?yàn)镺的半徑r，圓心O到直線BC的距離d所以，當(dāng)dr，即abc時(shí)，在直線BC上存在點(diǎn)P，使APPD例9 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定y軸正半軸上的兩點(diǎn)A (0，2)、B(0，8)，試在x軸正半軸上求一點(diǎn)

6、C，使ACB取得最大值。解析：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)作M，設(shè)M的半徑為R，由正弦定理，得由此可見，當(dāng)R取得最小值時(shí)，ACB取得最大值而當(dāng)點(diǎn)M與x軸的相切于點(diǎn)C時(shí)，R取得最小值根據(jù)切割線定理，得OC2OB·OA，所以O(shè)C4故當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (4，0)時(shí)，ACB取得最大值 例10 已知RtABC中，AC5，BC12，ACB90°，P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CPQ90°，求線段CQ的取值范圍解析：以CQ為直徑作O，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，若AB邊上的動(dòng)點(diǎn)P在圓上，CPQ就為直角當(dāng)O與AB相切時(shí)，直徑CQ最小由切線長定理，得APAC5，所以BP1358再根

7、據(jù)切割線定理，得BP2BQ·BC，所以 BQ，CQ當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，直徑CQ最大，此時(shí)綜上所述，CQ12 : B+ h" 9 g E" I# n$ j 7 s; ?7 C: 2 Z1 T五、四點(diǎn)共圓判斷四點(diǎn)共圓的常用方法有（1）對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；（2）同底同側(cè)頂角相等的兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓判斷四點(diǎn)共圓后，就可以借助過這四點(diǎn)的輔助圓解題例11 如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE的垂線交ABC的外角平分線于點(diǎn)F，求證：FEDE解析：連接DB、DF因?yàn)镃BF45°，DBC45°，所以DBF90°又DEF90°，所以D、E、B、F四點(diǎn)共圓，所以DFEDBE45°，所以FEDE例12 如圖等邊PQR內(nèi)接于正方形ABCD，其中點(diǎn)P、Q、R分別在邊AD、AB、DC上，M是QR的中點(diǎn)，求證：不論等邊PQR怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為不動(dòng)點(diǎn)解析：連接PM、AM、DM，因?yàn)镸是QR的中點(diǎn)，所以PMQ90°又PAQ90°，所以A、Q、M、P四點(diǎn)共圓，所以MAPMQP60°同理，MDP60°所以MAD是等邊三角形，即點(diǎn)M為不動(dòng)點(diǎn)例13 如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989，P為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且OPB45°，