均勻反應(yīng)堆臨界理論

1、1第 4 章均勻反應(yīng)堆的臨界理論均勻反應(yīng)堆的臨界理論在反應(yīng)堆臨界理論中，主要研究兩方面的問題：l 各種形狀的反應(yīng)堆達(dá)到臨界狀態(tài)的條件（臨界條件），臨界時(shí)系統(tǒng)的各種形狀的反應(yīng)堆達(dá)到臨界狀態(tài)的條件（臨界條件），臨界時(shí)系統(tǒng)的體積大小和燃料成分及其裝載量體積大小和燃料成分及其裝載量。l 臨界狀態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)中子通量密度（或功率）的空間分布臨界狀態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)中子通量密度（或功率）的空間分布。實(shí)際的反應(yīng)堆系統(tǒng)l 幾何與材料的復(fù)雜性 “均勻化均勻化”處理l 物理過程與中子能量的復(fù)雜依賴關(guān)系 “分群理論分群理論”2afaftrtrk),(),(),(),(),(),(),(102trStrktrtrDttraa4.

2、1 均勻裸堆的單群理論均勻裸堆的單群理論 對(duì)于由燃料與慢化劑燃料與慢化劑組成的均勻增殖介質(zhì)反應(yīng)堆系統(tǒng)均勻增殖介質(zhì)反應(yīng)堆系統(tǒng)，單位時(shí)間、單位體積內(nèi)的裂變中子源強(qiáng)裂變中子源強(qiáng)為：),(),(trtrSfF 根據(jù)無限介質(zhì)增殖因子定義),(),(trktrSaF在單群近似下有代入單群中子擴(kuò)散方程單群中子擴(kuò)散方程可得l D及 a是對(duì)中子能譜平均后的數(shù)值；l 在反應(yīng)堆運(yùn)行初期，須考慮外源中子，大多數(shù)情況下忽略外中子，認(rèn)為裂變中子是反應(yīng)堆內(nèi)中子的唯一來源?30),2(),2(tata221)()(1)()(LkdttdTtTDxx)()(),(tTxtx)()0 ,(0 xxa/2a/20 x無限平板反應(yīng)堆

3、),(),(),(),(12txktxtxDttxaa(4-3)無外源無限平板反應(yīng)堆單群擴(kuò)散方程無外源無限平板反應(yīng)堆單群擴(kuò)散方程初始條件為初始條件為(4-4)邊界條件為邊界條件為(4-5),(1),(),(122txLktxttxD(4-6)由式(4-3)得利用分離變量法求解分離變量法求解，方程具有如下形式的解：(4-7)將(4-7)式代入(4-6)式(4-8)4, 5 , 3 , 1nanBn, 3 , 2 , 1) 12(nanBnBxCBxAxsincos)(02cosBaA22)()(Bxx上式兩端必須等于某一常數(shù)，設(shè)為-B2，有0)()(22xBx或(4-9)波動(dòng)方程(4-9)式的通

4、解為由于初始通量密度分布0(x)關(guān)于x=0平面對(duì)稱，因此只能選擇滿足對(duì)稱條件的解，即BxAxcos)(由邊界條件(4-5)式可導(dǎo)出(x)滿足如下的邊界條件：(a/2)=0因此要求或(4-10)xanAxBAxnnnn) 12(coscos)(波動(dòng)方程(4-9)只對(duì)某些特定的特征值特征值Bn才有解，相應(yīng)的解 n(x) 稱為此問題的特征函數(shù)稱為此問題的特征函數(shù)。5222221)1 (nnnBLlBLDLlnnltknCeT/) 1(nnnnlkdttdTtT1)()(1221)()(1nnnBLkdttdTtTDnnltknnexanAtx/)1(1) 12(cos),( 由于特征函數(shù)的正交性，對(duì)

5、于每一個(gè)n值的項(xiàng)都是線形獨(dú)立，因此對(duì)應(yīng)于每一個(gè)Bn2值和n(x)，都有一個(gè)Tn(t)與之對(duì)應(yīng)該式可轉(zhuǎn)換為式中221nnBLkk(4-12)(4-13)(4-14)l為無限介質(zhì)的熱中子壽命，a是熱中子的平均吸收自由程。方程(4-12)解為其中C為待定常數(shù)。對(duì)于一維平板反應(yīng)堆，其中子通量密度的完全解中子通量密度的完全解就是對(duì)n=1到n=所有項(xiàng)的總和，即(4-15)60)()(22rBrg112121BLkk第一種情況第一種情況：對(duì)于一定幾何形狀和體積的反應(yīng)堆芯部，若B12對(duì)應(yīng)的k11，則(k1-1)為正值，中子通量密度(x,t)將隨時(shí)間不斷增加，系統(tǒng)處于超臨界狀態(tài)超臨界狀態(tài)。第三種情況第三種情況：

6、若調(diào)整堆芯尺寸或改變材料成分，使k1 =1，則其余(kn-1)都將為負(fù)值。中子通量密度(x,t)第一項(xiàng)將與時(shí)間無關(guān)，而其它各項(xiàng)將隨時(shí)間而衰減。當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)，n1各項(xiàng)將衰減到零，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，中子通量密度按基波形式(B=B1)分布，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)。重要結(jié)論：重要結(jié)論：(1) 裸堆單群近似的臨界條件為：(4-17)B12為波動(dòng)方程的最小特征值，記為Bg2，稱為特征曲率，稱為特征曲率；k1為有效增殖因子。(2) 反應(yīng)堆處于臨界狀態(tài)時(shí)，中子通量密度按最小特征值中子通量密度按最小特征值Bg2對(duì)應(yīng)的基波函數(shù)分布對(duì)應(yīng)的基波函數(shù)分布，也就是說，穩(wěn)態(tài)反應(yīng)堆的中子通量密度空間分布滿足波動(dòng)方程(4-18

7、)722211gVgVaVaBLdVDBdVdV中子泄漏率中子吸收率中子吸收率xaAxcos)(1)(1221aLkk無限平板反應(yīng)堆的臨界條件無限平板反應(yīng)堆的臨界條件為(4-19) 若系統(tǒng)材料組成給定若系統(tǒng)材料組成給定，則只有一個(gè)唯一的尺寸a0能使k1=1，即為臨界大小；當(dāng)aa0時(shí)，則k11，為超臨界；當(dāng)aa0時(shí)，k11，系統(tǒng)處于次臨界。 另一方面，若反應(yīng)堆尺寸若反應(yīng)堆尺寸a給定給定，則必然可以找到一種燃料富集度(材料組成)，使得由其所確定的k及L2值能使(4-19)式成立，使k1=1，系統(tǒng)處于臨界。臨界時(shí)，反應(yīng)堆內(nèi)的中子通量密度分布為(4-20)反應(yīng)堆內(nèi)單位時(shí)間單位體積內(nèi)的中子泄漏率為-D2

8、，根據(jù)(4-18)式，-D2=DBg2，單位時(shí)間單位體積內(nèi)中子的吸收率為a，不泄漏概率為(4-21)則裸堆單群近似的臨界條件(4-17)可寫為11kk80)()(2)(222rBdrrdrdrrdg22RBgrrBCrgsin)(rrBErrBCrggcossin)(1. 球形反應(yīng)堆普遍解為(4-22)(4-23)根據(jù)邊界條件：當(dāng)r0時(shí)中子通量密度為有限值，常數(shù)E必須為零，可得 根據(jù)邊界條件(R)=0的要求，必須使BgR=n, n=1, 2, 3, 。對(duì)應(yīng)于最小特征值，幾何曲率為(4-24)與此對(duì)應(yīng)的臨界反應(yīng)堆內(nèi)的中子通量密度分布為rrRCrsin)(4-25)92. 有限高圓柱體反應(yīng)堆有限高

9、圓柱體反應(yīng)堆0),(),(),(1),(22222zrBzzrrzrrrzrg)()(),(zZrzr222zrgBBB222222)()(1)(1)()(1zrBdzzZdzZBdrrdrdrrdr最常見的反應(yīng)堆形狀。中子通量密度只取決于r和z兩個(gè)變量(4-26)邊界條件是：(1) 中子通量密度在堆內(nèi)各處均為有限值(2) 當(dāng)r=R或z=H/2時(shí)，(r,z)=0。采用分離變量法求解，設(shè)22222)()(1)(1)()(1gBdzzZdzZdrrdrdrrdr令左端每一項(xiàng)均等于常數(shù)，有(4-27)(4-28)(4-29)10 )()(00rBEYrBAJrrr)()(0rBAJrr 求解(2-2

10、7)式，令x=Brr，將其代入(4-27)式，可得零階貝塞爾方程其普遍解為(4-30)其中J0、Y0分別為第一類及第二類零階貝塞爾函數(shù)。 如果假設(shè)(4-27)式右端等于一正數(shù)，則它將化為一個(gè)零階修改貝塞爾方程0)()()(2222xxdxxdxdxxdx0)()()(2222xxdxxdxdxxdx其普遍解為 )()(00rBKErBIArrr(4-31)其中I0、K0分別為第一類及第二類零階修正貝塞爾函數(shù)。根據(jù)邊界條件(1)和(2)看出，Y0、I0及K0均應(yīng)從上述解中消去。因此方程(4-27)的解為零階貝塞爾函數(shù)曲線零階貝塞爾函數(shù)曲線11zBFzZzcos)(zHrRCJzBrBCJzrzr

11、cos405. 2)cos()(),(0022222405. 2HRBBBzrg0)()(0RBAJRr利用邊界條件(2)，有(4-32)因而22405. 2RBr(4-33)rRAJrBAJrr405. 2)()(00(4-34)求解(4-28)可得(4-35)其中22HBz(4-36)圓柱裸堆的幾何曲率為圓柱裸堆的幾何曲率為其中Br2徑向幾何曲率，徑向幾何曲率，Bz2周向幾何曲率。周向幾何曲率。(4-37)(4-38)在給定在給定Bg2值下，當(dāng)直徑值下，當(dāng)直徑D=1.083H時(shí)，圓柱體反應(yīng)堆具有最小臨界體積。時(shí)，圓柱體反應(yīng)堆具有最小臨界體積。12dVrEPVff)(l 臨界時(shí)均勻裸堆內(nèi)的中

12、臨界時(shí)均勻裸堆內(nèi)的中子通量密度分布只取決于子通量密度分布只取決于反應(yīng)堆的幾何形狀，而與反應(yīng)堆的幾何形狀，而與反應(yīng)堆的功率大小無關(guān)反應(yīng)堆的功率大小無關(guān)l臨界反應(yīng)堆內(nèi)中子通量密臨界反應(yīng)堆內(nèi)中子通量密度的基波函數(shù)特征分布可度的基波函數(shù)特征分布可以在任意功率水平下得到以在任意功率水平下得到穩(wěn)定。穩(wěn)定。反應(yīng)堆功率反應(yīng)堆功率可表示為將中子通量密度分布表達(dá)式代入上式，可求出常數(shù)將中子通量密度分布表達(dá)式代入上式，可求出常數(shù)C。(4-39)13221LkBm0)()(22rBrg 穩(wěn)態(tài)反應(yīng)堆內(nèi)中子通量密度的空間分布滿足波動(dòng)方程波動(dòng)方程最小特征值Bg2，稱為幾何曲率幾何曲率，對(duì)于裸堆，其與反應(yīng)堆的幾何形狀及尺寸大

13、小有關(guān)，而與反應(yīng)堆的材料成分和性質(zhì)沒有關(guān)系。 k、L2等參數(shù)僅僅取決于反應(yīng)堆芯部材料特性，對(duì)于一定材料成分的反應(yīng)堆，便有一個(gè)確定的B2值能滿足臨界方程，我們稱為材料曲率材料曲率，記作Bm2。對(duì)于單群擴(kuò)散理論，有(4-44)臨界條件可寫為： Bm2= Bg2)(122球形裸堆RLk)(405. 21222圓柱體裸堆RHLk對(duì)于裸堆，可將臨界條件寫成(4-45)(4-46)(4-47)當(dāng)Bg2Bm2時(shí)，系統(tǒng)處于次臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)處于次臨界狀態(tài)14kk 1221geffBLkk反應(yīng)堆臨界問題反應(yīng)堆臨界問題：第一類問題第一類問題：給定反應(yīng)堆材料成分，確定它的臨界尺寸。第二類問題第二類問題：給定反應(yīng)堆的

14、形狀及尺寸，確定臨界時(shí)反應(yīng)堆的材料成分。第三類問題第三類問題：給定反應(yīng)堆材料成分、幾何尺寸，確定有效增值因子或反應(yīng)性。 稱為稱為反應(yīng)性。反應(yīng)性。對(duì)于臨界反應(yīng)堆，=0； 若0，超臨界； 0，次臨界；| |表示反應(yīng)堆偏離臨界狀態(tài)的程度。PCM: 反應(yīng)性單位，反應(yīng)性單位，1PCM=10-5元：元：$，分：，分： ，1 1 $ =100 =100 ; 1元反應(yīng)性元反應(yīng)性=1 eff （反應(yīng)堆動(dòng)力學(xué)）（反應(yīng)堆動(dòng)力學(xué)）(4-48)(4-49)15 單群是一種非常近似的方法。對(duì)于熱中子反應(yīng)堆，直接應(yīng)用前面的臨界條件有較大誤差。用用M2=L2+ 來替換上式中的來替換上式中的L2，對(duì)其進(jìn)行修正，對(duì)其進(jìn)行修正。1

15、1221gBLkk221LkBm11221gBMkk221MkBm(4-50)(4-51)這就是所謂熱中子反應(yīng)堆的 修正單群理論修正單群理論。164.2 有反射層反應(yīng)堆的單群擴(kuò)散理論有反射層反應(yīng)堆的單群擴(kuò)散理論減少芯部中子的泄漏，從而減小芯部的臨界體積，節(jié)省一部分核燃料；提高反應(yīng)堆的平均輸出功率，這是由于反射層的原因，其芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的緣故。如何選擇反射層？如何選擇反射層？反射層材料散射截面要大反射層材料吸收截面要小良好的慢化能力常用的反射層材料有：常用的反射層材料有：H2O, D2O, 石墨，鈹?shù)?。石墨，鈹?shù)取?7221ccLkkB0)()()(2rkr

16、rDcaccaccc芯部穩(wěn)態(tài)單群擴(kuò)散方程芯部穩(wěn)態(tài)單群擴(kuò)散方程(4-52) 該方程只有對(duì)于臨界系統(tǒng)才成立。對(duì)于任意給定材料成分及幾何形狀與尺寸的反應(yīng)堆系統(tǒng)，它不一定處于穩(wěn)態(tài)，引入一個(gè)特征參數(shù)k來進(jìn)行調(diào)整使其達(dá)到臨界。0)()()(2rkkrrDcaccaccc或者寫為0)()(22rBrccc其中Lc2為芯部的擴(kuò)散長度?？梢宰C明，K即為芯部的有效增殖因子。(4-53)(4-54)(4-55)18221rrLk 0)()(22rkrrrr反射層穩(wěn)態(tài)單群擴(kuò)散方程反射層穩(wěn)態(tài)單群擴(kuò)散方程(4-56)式中(4-57)Lr為反射層的擴(kuò)散長度。 邊界條件邊界條件為：(1) 在芯部或反射層的交界面上rcrrcc

17、DD(4-58)(2) 在芯部或反射層的外推邊界上中子通量密度為零191. 帶有反射層的球形堆帶有反射層的球形堆rrBArcc)sin()(4-59)芯部方程式解芯部方程式解：反射層方程式解：反射層方程式解：(4-60)rrTRkCrrr)(sinh)(202. 側(cè)面帶有反射層的圓柱形反應(yīng)堆側(cè)面帶有反射層的圓柱形反應(yīng)堆0)2,()2,(HrHrrc0),(zTRr;rrccrcDD0),(),(22zrBzrccc芯部反射層0),(),(22zrkzrrrr(4-63)(4-64)邊界條件為在z=H/2處在r=R+T處(1) 在r=R處(4-65)(4-66)(4-67)21222222240

18、5. 22405. 2effeffzrzrcHRHRBBBRR 0 芯部周圍有了反射層以后，由于部分泄露出芯部的中子在反射層內(nèi)被散射而返回芯部，這樣就減少了中子損失，提高了中子的不泄露概率。因此在芯部材料性在芯部材料性質(zhì)相同情況下，臨界體積就要比裸堆的臨界體積小質(zhì)相同情況下，臨界體積就要比裸堆的臨界體積小。反射層節(jié)省反射層節(jié)省 ：反應(yīng)堆加上反射層所引起的臨界尺寸的減少反應(yīng)堆加上反射層所引起的臨界尺寸的減少。(4-81)對(duì)于圓柱形反應(yīng)堆圓柱形反應(yīng)堆，反射層節(jié)省通常分別用徑向和軸向的反射層徑向和軸向的反射層節(jié)省來表示)22(,00HHRRzr(4-82) 可以把有反射層反應(yīng)堆的幾何曲率用芯部外形尺寸增大可以把有反射層反應(yīng)堆的幾何曲率用芯部外形尺寸增大 或或 2 。反射層球形堆反射層球形堆22RBg圓柱形反應(yīng)堆圓柱形反應(yīng)堆Reff、Heff稱為等效半徑等