六年級奧數(shù)一至十講教師版

1、小學六年級奧數(shù)教案一01比較分數(shù)的大小同學們從一開始接觸數(shù)學，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法 比較簡單，而比較分數(shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分數(shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況， 其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分數(shù)，分子大的那個分數(shù)比較大；分子相同的兩個分數(shù)，分母大的那個分數(shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數(shù)，通常是采用通分的方法，使它們的 分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分數(shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另 外幾種方法。1.“通分子”。當兩個已

2、知分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時，可以 把它們化成同分子的分數(shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。例如，益與與,分母的最小公倍數(shù)是三位數(shù)，分子的最小公倍數(shù)是60,把1- rm w經(jīng)化為日 受化為日 因為日日 所以竺.1 了憶用85' 22他內(nèi)盟，L/J8588叨灰F7 22如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”2 .化為小數(shù)。有時把已知分數(shù)化為小數(shù)后再比較大小，h匕通分等方法更簡便.例如，與黑一看就知道彳=0.g,，o 55,所以 乙 U?上j U-J £這種方法對任意的分數(shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小

3、時是否簡便，就 要看具體情況了。3 .先約分，后比較。有時已知分數(shù)不是最簡分數(shù)，可以先約分。7171 71717171例如，黑與黑約分后兩個分數(shù)都等于春 所以它們是相等的口oJoJ oJoJoJOJ4 .根據(jù)倒數(shù)比較大小。對于分數(shù)麗心 如果那么m）人m niq 20211 I 202019例如，因嗚7宗吃嚼所以於崇5 .若兩個真分數(shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分數(shù)較大；若兩個假分 數(shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分數(shù)較大。也就是說，如果小瓦k>0,那么a+ k a如果將<%,上0，那么邛。 a a + k例如.尹占 因為97 = 13一 11,所以卷.又如，告與黑

4、，因 為小瑞5540-1110 = 5541111,所以瑞外912912類似地 對于：與三 因為所以！>善. 011116 .借助第三個數(shù)進行比較。有以下幾種情況:(1)對于分數(shù) m和n,若 m>k, k>n,貝U m>n。575117571例如，r：因為訶<y至記？所以行這里借助于5 口4 1JL 一X JiJ， XX A Xu23-22 田523、2323、22 的“23、11又如，而與藥，因為而j?石式所以而五'(2)對于分數(shù) m和n,若m-k>n-k ,則m>n。例如,1212191111 = 654321口 "寢兩個分數(shù)都比

5、3略大于是用以借助24m -3 65432V844 56儂前一個差比較小，所以(3)對于分數(shù)m和n,m< n。若 k-m< k-n ,則 m> n。14/ QS所以J*例如，竺與因為1一竺=工，1 一耳*1917'19 1917這里借助于1。注意，(2)與(3)的差別在于，(2)中借助的數(shù)k小于原來的兩個分數(shù)m和n； (3)中借助的數(shù)k大于原來的兩個分數(shù) m和n。(4)把兩個已知分數(shù)的分母、分子分別相加，得到一個新分數(shù)。新分數(shù)一定介于兩 個已知分數(shù)之間，即比其中一個分數(shù)大，比另一個分數(shù)小。例對與;，新分數(shù)學看 |>Q；利用這一點，當兩個已知分數(shù)不容易比較大小，新

6、分數(shù)與其中一個已知分數(shù)容易比 較大小時，就可以借助于這個新分數(shù)。例如，/與:不容易比較，新分數(shù)寡，一看就知道它等于0.55.而|=。鈣,1由恭，推知一定有%也即所以"1比較分數(shù)大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現(xiàn)總結，但無論哪種方 法，均來源于：“分母相同，分子大的分數(shù)大；分子相同，分母小的分數(shù)大”這一基本方法。練習117 15693 67103 217116? 2401 .比較下列各組分數(shù)的大小:廣、661 6661 廣、117 207、I)998T 9998? 宙菰'')2將下各組分數(shù)用“< “連接起來;414751111 ? 129' 1

7、39答案與提示練習1. 八、工工4 小、M2、36、 17、151. Q)千, ->-八 561 . 6661117、207 人、103 2r7/ x 6677N. 23<i9<-19<B；八 47 - 51 - 13 - 41129139 49111小學六年級奧數(shù)教案一02巧求分數(shù)我們經(jīng)常會遇到一些分數(shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某 數(shù)，或分子與分母同時加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個新分數(shù)， 求加、減的數(shù)，或求原來的分數(shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。例1有一個分數(shù)，分子加3可約簡為，分子減3可均簡為l,求這個分數(shù)。分

8、析上 :比原分數(shù)多3個分數(shù)單位，;比原分數(shù)少3個分數(shù)單位，所以63?與!的和正好是原分數(shù)的2倍，即原分數(shù)是:與!的平均數(shù).o 3635 17解士 /一 + ）+ 2 .一% 3）1212例2有一個分數(shù).它的分母加1,可物簡為分母減1,可約簡為U&Z1這個分數(shù)是多少？分析：若把這個分數(shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減 1就變成分子加、 減1,這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分數(shù)，再求倒數(shù)即可。斛彳盧”/3的倒數(shù)是白例3有一個分數(shù)，分子加上2可約簡為|1分子就去1可約簡為!，求這 2個分數(shù)。分析與解：因為加上和減去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。段比

9、原分數(shù)多2個分數(shù)單位，T比原分數(shù)少1個分數(shù)單位，說明|和g相差（2*D個分數(shù)單位，我們先求出這個分數(shù)的一個分數(shù)單位，|（新»<2+9 =93吟»為盤士盤 32例4一個分數(shù)，它的分母加上3叫分為/ 它的分母減去2可約分為5,這個分數(shù)是多少？分析與解：如果把這個分數(shù)的分子與分母調(diào)換位置，問題就變?yōu)椋阂粋€分數(shù)，它的分子加上3可約分為它的分子減去2可約分為:，這個分數(shù)是多少？于是與例3類似，可以求出7 351（三一3）+0+2） = z+5 = R7 1 + 11 . 3 111k 3=豉一 x 2 =3 66 2 66原分數(shù) o 11在例1例4中，兩次改變的都是分子，或都是

10、分母，如果分子、分母同時變化， 那么會怎樣呢？ 293例題分數(shù)名的分子減去小分母加上"則分數(shù)約分后變?yōu)槭壳笞匀?35數(shù) a。分析與解：分子減去a,分母加上a,（約分前）分子與分母之和不變，等于29+43=72。 約分后的分子與分母之和變?yōu)?3+5=8,所以分子、分母約掉的因子是72+3 = 9,約分前的分數(shù)是二m由此求出己是29-27 = 2或45-43=2。例6分數(shù)普的分子和分母都減去同一個自然數(shù)，新的分數(shù)均分后是，求這個自然數(shù)。44分析與解,分數(shù)3的分子與分母的差是改*4= 45,分子和分母都減去同一個自然數(shù)，得到的新分數(shù)如果不約分，那么差還是 45,新分數(shù)約分后變、2成分子與分

11、母的差變成7-2 =5,由45+5 = 9知，分子與分母約掉了9,均分前為:二職所以分子.分母同時減去的數(shù)是63二26或4418 = 2幾例7 一個分數(shù)的分子與分母之和是 23,分母增加19后得到一個新分數(shù)， 把這個分數(shù)化為最簡分數(shù)是、求原來的分數(shù)口 一分析與解:新分數(shù)分子與分母的和是25+19 = 42,化為最簡分數(shù)（后，分子與分母的和是1+5=6,是由新分數(shù)的分子、分母同時除以 42+6=7得到的，所以新分數(shù)是空 原分數(shù)是獲二一】口3 & 1儲以 一 IX例8將|的分子加上10,要使分數(shù)的大小不變，分母應加多少？ O分析與解：分子加10,等于分子增加了 10+5=2 （倍），為保持

12、分數(shù)的大小不變， 分母也應增加相同的倍數(shù)，所以分母應加8X2=16。例g將冬的分母減去10,要使分數(shù)的大小不變，分子應減去多少7分析與解:分母減去1。，等于分母減少了原來的10+25 = （為保持分在例8中，分母應加的數(shù)是8X （10-5）= WX（8-5）=10 !；8在例9中，分子應加的數(shù)是24X 25）=10X（24+25）=10X c由此，我們得到解答例8、例9這類分數(shù)問題的公式：分子應加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)x原分數(shù)；分母應加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)+原分數(shù)。例10有一個分數(shù)，它的分子加5,可以約簡為彳;它的分母城2,可以約 簡為，求這個分數(shù)。分析與解：這道題的分子、分

13、母分別加、減不同的數(shù)，可以說是這類題中最難的, 我們用設未知數(shù)列方程的方法解答。設這個分數(shù)的分子為明由"分子加5,可以約簡為;：得到分母為G+5）4一（。再由淖分母減2,可以約筒為g?"得到分母為北+ 2。于是得到方程3陵 + 2 =（鼠 + 5）+,（2x+2） X3= （x+5） X4,6x+6=4x+20,2x=14,x=7o分母是2k+ 2 = 16,所求分數(shù)是gr匕16練習21 一有一個分數(shù)，分子加1可約簡為，分子減1可約簡為、求這個分數(shù)在2 32有一個分數(shù)，分母加3可約筒為熱 分母域3可約簡為:，求這個分數(shù)。3 .一個分數(shù)，分子加上2可約簡為丁分子減去1可約簡為

14、,，這個分數(shù) 是多少？?A4 .一個分數(shù)，分母加上1可均簡為右 分母減去2可約簡為十 這個分數(shù)是多少？5將分數(shù)II的分子減去分母加上國,新的分數(shù)約分后等于，求自然 數(shù)而2276.分數(shù)總的分子.分母都加上同一個自然數(shù)m新的分數(shù)約分后等于求6!16這個自然數(shù)。7一個分數(shù)的分母比分子大道，分子誡少1后可約簡為：，求原來的分數(shù)口&將神的分子減去3,要使分數(shù)的大小保持不變，分母應減去多少?9.將春的分母和上9,要使分數(shù)的大小保持不變，分子應加上幾？1。有一個分數(shù)，它的分子減去2可線I簡為?，它的分母加上1可均簡為求這個分數(shù)。6.13。解：( 67-22) + ( 16-7) =5, 7X5-22

15、=13。5M /、7、2X2+151?0 解：C3 + 1)*9-2)=2,下避一=歷口8 8.5,路 =8 5c 9駕險”K二度萬!,、g ma rai a r n a工。226解：設分子為x,根據(jù)分母可列方程（嵬-2） X 2 =區(qū)十解得g= 15,分母為儂-2） X 2 = 26”所求分數(shù)是26小學六年級奧數(shù)教案一03分數(shù)運算技巧對于分數(shù)的混合運算，除了掌握常規(guī)的四則運算法則外，還應該掌握一些特殊的運 算技巧，才能提高運算速度，解答較難的問題。1.湊整法與整數(shù)運算中的“湊整法”相同，在分數(shù)運算中，充分利用四則運算法則和運算律 (如交換律、結合律、分配律)，使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、

16、整十數(shù)從而使運 算得到簡化。.12317例1 9五+ 5刁+匕x Q解;13217原苴二因+匕)曰叼+叼)軟2 一或 .JJ乙 T-T7=(5+.乂公7= 20X2-20X 20= 40-7 = 33。i4例2 4-X25*32-440.25X 125i4解：=4x 25 + -X 25 + 32 44 + -4 + 0.25x4 x31= 100+5+8-hl + 31 = 144-o772.約分法俯 1乂2文3+2乂4乂647父 14乂 211x3x5 + 26x10 + 7 x21x35解：IX 3X5+23 x (IX 3X5)+73 X (1X3X5)0K2X與父(1才士 了?)&q

17、uot;(1X3X5) X(f+? +73)_ 1X2X3 _ 2=1X3X5 =5例4 .湊df笑上畀口-拼微(卜拉1 2 398解：原式=99 X X X - X X - - 1c2 3 4993.裂項法若能將每個分數(shù)都分解成兩個分數(shù)之差，并且使中間的分數(shù)相互抵消，則能大大簡化運算根據(jù) 門-一二（其中n, d是自然數(shù)），在計算若干個分數(shù)之和時. 力區(qū)（口n 門+ d例勺二J2 6 12 20 30 42解：J®S = + + 1 乂2 2乂3 3x4 4x5 5乂6 6乂7_2_ 1£ 2 1 _1 1_2=1-2+2-3+3-4+4-5+5-6+577 7例8157

18、x 99晶原式二3第十五十西29799) 上1口 .，理2 199， 2 9949例7在自然數(shù)1100中找出10個不同的數(shù)，使這10個數(shù)的倒數(shù)的和等于1分析與解：這道題看上去比較復雜，要求10個分子為1,而分母不同的 分數(shù)的和等于1,似乎無從下手.但是如果巧用“二-一二一二"來做,，n n + 1 n（n + 1;就非常簡單了。因為所以可根據(jù)題中所求，添上 £ d 3 J 44 j J括號。此題要求的是10個數(shù)的倒數(shù)和為1,于是做成：*殍告招吟TF4V呼力乜9§1 1 111111111.11，十 十 ，十衛(wèi) 十十 十 一 一 一,十m十十-1x22x33足4 4

19、x55x6 6x77x8 3M9 9x10101111111111I-I- 4 d4+ d4I- 02 6 12 20 30 42 56 72 90 10所求的 10個數(shù)是 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 10。本題的解不是唯一的，例如由分擊 f 推知，用9和4落換答案中的10和30,仍是符合題意的解4.代數(shù)法何Ie i1 1 + 一中一中jxr= + 一+一十一|*一* *_ *一1x(+ >/一口 i 2 3 甲 * 3 4 5，、2 3 4 5吃 3 4分析與解，通分計算太麻煩，不可取.注意到每個括號中都有上 J 4不妨設;w6則原式=(H A)

20、 X (A +) - (1 + A + X a1nl.11=A + - +A2 -A - A-A2 -A = -o5.分組法例9 f + - + + h'+ + ) + 匕 3 420IS 1區(qū)、19+，心 +甲 20/20三十2,十十2)十3_1, 3 4 5 2d 5和為一十二寸十-=一 乂門+2 +十小-) n nn n11 +n 叨 乂(n 1) fi (n - 1) n - 1ti22n 2原式中分母為220的分數(shù)之和依次為4 -23 - 2 T2 一 21 -2原式，二十” 2 2 2 22=-X(1 + 2 + 3+4+19)=-X 190= 95, 2練習32125：

21、+ 口4-42-225-3*842020分析與解：利用加法交換律和結合律，先將同分母的分數(shù)相加。分母為 n的分數(shù)之696969X6966969699699696965 紀6 12 20 306.1 4 21 +3 - + 4 - + 5 * 6 %1 1111 1 1111+) . ( + '-1： IT 七 72612203042H"+ 一 + ) X (一 + 豐)俗9 11 13;9 11,8.在自然數(shù)160中找出8個不同的數(shù)，使這8個數(shù)的倒數(shù)之和等于1墾觀察下面的一列數(shù),根據(jù)其中的規(guī)律指出,是這列數(shù)中的第幾個？11212312 3d F 2,丁手5， T1 “ 3f

22、2'答案與提示 練習31.3 01pN 53 5"提不：除數(shù)二2 K (13* 2 + 3工+ 4萬)cJ 4jo4也 129269KWm*1001亞藝.空969 X10Q1X96X1Q10969 x 9612925.4 - a 6解士原式=5=+工+1)=5-(1=4, * k、k2 6 12 20 30;' 6，: 6.21 a解】原式= (1 + 2 + 3+4 + 5+£)+(得+ 2 + 3十事+ 3+，r： 2 6 12 ±U SU 42= 21+ (1-；) =211口Wi 設" + g +則原式二（g十a(chǎn)） K（A十W）-

23、十A十點）MA11.11 2 1 1=A +1- A + A A- A*,5A 6513A 5A 13A 658.2 ,6, 8 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56。9.5680。解：從前向后，分子與分母之和等于 2的有1個，等于3的有2個，等于4的有3 個人一般地，分子與分母之和等于 n的有（n-1）個。分子與分母之和小于9+99=108的有 1+2+3+ +106=5671 （個）,，是分子與分母之和等于108的第9個分數(shù)，是這列數(shù)的第5671+9=5680（個）。小學六年級奧數(shù)教案一05工程問題一顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數(shù)學問題。其實，這類題目的內(nèi)容已 不僅

24、僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關系式是：工作量=工作效率X工作時間，工作時間=工作量+工作效率，工作效率=工作量+工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可以是部分工程量,常用分數(shù)表示.例如，工程的一半表示成工程的三分之一表示為:.工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選 取，根據(jù)題目需要，可以是大，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量 /天”，或“工作量/時”等。但 在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。例1單獨干某項工程，甲隊需100

25、天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50 天后，剩下的工程乙隊干還需多少大？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效率是強；同理.乙酬的工作效率是兩隊合干的工作效率是（白中白人由曜工作量=工作效率*工作時間*50天的工作量是（ + - ） M 'J =一上 耳箕 150，2 3 6剩下的工作量是”3.由.工作時間二工作量+工作效率，剩下的工作量由乙隊干還需I。令+卷=25 （天）例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙 兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了 18天才完成任務。問：甲隊干了多 少大？分析：將題目

26、的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?18天，后面的工作甲、乙兩隊合干 需多少大？”這樣一來，問題就簡單多了。%（i-今出嗎咱213=（1-5戶元=5*20 = 12 （天）P答：甲隊干了 12天。例3單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一 起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了 6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了 幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了 6天，去掉乙、內(nèi)兩隊6天的工作量，剩下 的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了口-帚+疝*6*9 = 3 （天）。例4 一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比

27、王師傅多做 60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，1 （ + ） = 12 （時）小3（/再求出每小時張比王多做的零件數(shù)，60-12 = 5 （個）。最后求出這批零件的史漱，5-（：-焉）= 30Q （個10例5 水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管 5時可將空池灌滿，單開排 水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管 1時后又打開排水管，那么再過 多長時間池內(nèi)將積有半池水？分析與解！以滿池水為單位h 1時放水管可便水增加排水管可使水 減少7同時開1時，可使水增加放水管打開1時信.池內(nèi)已經(jīng)有: 的水，與半池水還差所以要達到半

28、池水，還需113 91” 5，k5 T 10 354、”例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘 出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了 5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間 兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發(fā) 5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5 分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需 60分鐘，乙需 40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題 的解法來解答。解： 15 1分）,答：甲再出發(fā)

29、后15分鐘兩人相遇練習51 .某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，他們合干多少天才可完成工程 的一半？2 .某工程甲隊單獨做需48天，乙隊單獨做需36天。甲隊先干了 6天后轉交給乙隊 干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了 10天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3 .一條水渠，甲、乙兩隊合挖需 30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊單獨又 挖了 24天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少大？4一甲、乙二人植樹，若單獨完成則甲比乙所需的時間多;.若兩人合干,則完成任務時乙比甲多植50棵。這批樹共有多少棵?5 .修一段公路，甲隊獨做要用40天，乙隊獨做要用24天。現(xiàn)在兩隊同時從兩端開

30、 工，結果在距中點750米處相遇。這段公路長多少米？6 .蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需 18時注滿，單開乙管需24時注滿。如 果要求12時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7 .兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8時，比快車從乙地到甲地多用;的時間口如果兩車同時開出，那么相遇時快車比慢車多行40千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示練習5L3天蟲解：；*舄+ （）= '（天,。8 .14 天。解，1 , 而 *（6 + 10）+-10 = 14 （天）09 .120 天。解：乙隊的工作效率為小 *12） + 24 = ）甲隊單獨挖需1十（不丁"）

31、二120 （天）JU 4U4.350 棵。解：乙的工作效率是甲的1所以乙完成工作量的;甲完成;,這批樹 共有50+ （ - -= ?50 （棵）；5.6000 米。皿f 11111/山、解士 750X2- J (-) x(+ )r=6000 (米)工金4 hu占q 中u j10 8 時。提示：甲管12時都開著，乙管開（1-初 X12） - = 3 （時）。10陰7.280千米。解，快車從乙地到甲地用g+（1 + ；） =6 （時）.兩車相遇需相遇時快車比慢車多行全程的所以甲、乙兩地相距U 0/40-1 = 230 （千米）.小學六年級奧數(shù)教案一06工程問題二上一講我們講述的是已知工作效率的較簡

32、單的工程問題。在較復雜的工程問題中， 工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解 決。例1 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天, 那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意 圖：甲5天乙也天II1I乙和天乙吠從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作 量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作 4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件， 通過此替換可知乙單獨做這一工程需用 20+4=24 （大）完成，即

33、乙的工作效率為以.又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的為!乂2±。甲、乙合做這一工程，需用的時間為（天）例2 一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，然后甲隊做4天，關完成這項工程的如果把其余的工程交給乙隊單獨做，那么還要幾天才能完成？分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作的工作效率是1.但甲.乙兩隊一天也沒有合作過.為了解決這個問題.我6們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉化為“甲、乙合做 4天，乙再單獨做3天這樣，就可以把合作的工作效率?用上了口62甲、乙兩隊合作4天完成的工程量是=;，乙再做3天就可完成

34、工13程量的首，由此求出乙的工作效率為艱-|）+ G-4）=1|剩下的工程乙隊還需干= 2 （天），例3單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前 2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天 才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。 問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說%明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的 2 口因為單獨做，乙比甲多用？+ 2 = 5 （天），所以甲需要升gj）二（天）,乙需要10+5=15（大）。甲、乙合作需要+喘+記）=6 （天）匕例4放滿一個水池的水，若同

35、時打開1, 2, 3號閥門，則20分鐘可以完成；若同 時打開2, 3, 4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1, 3, 4號閥門，則28分鐘可以 完成；若同時打開1, 2, 4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1, 2, 3, 4號 閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解：同時打開1, 2, 3號閥門1分鐘，再同時打開2, 3, 4號閥門1分鐘， 再同時打開1, 3, 4號閥門1分鐘，再同時打開1, 2, 4號閥門1分鐘，這時，1, 2, 3, 4 號閥門各打開了 3分鐘，放水量等于一池水的所以同時打開L 2.工4號閥門，放滿一池水需十 +十十 ）+ 320 21 28 3Q=14

36、七43） = 1 += 18 1分q例5某工程由一、二、三小隊合干，需要 8天完成；由二、三、四小隊合干，需要 10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、 的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是4十1+4）=2 = £,四個小隊各干了6天即24天后，還剩下工程量的d 1U ID 4o1-4X6=:。又因為一、二，三小隊合干需8天，即一、二，三小隊各干4X o1天完成工程量的工，所以工程由三小隊最后完成。 C例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人

37、一天輪流去做， 恰好整天做完，并且結束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則fci十劃多用:天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，貝肚腺計劃多用;天。已知甲單獨做完這件工作需要9天，那么甲.乙、丙三人一起做這件工作，要用多少天才能完成？分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完 成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛 線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。甲乙丙丙：甲乙=1乙丙甲甲乙一5甲丙甲乙 乙：丙甲至乙由最后一輪完成的工作量相同，得到甲+乙=乙+丙4/甲，乙+丙+甲=丙十甲+百乙小由式得到：丙三;甲，由式

38、得到；乙=短甲.甲、乙、丙三人合Z 1 Q做一天等于甲做1 + ： + ；金：（天），推知三人合做需用練習61.甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成1 ）任務的:時乙加工了45個零件，甲完成g時乙完成了一半.問這批零件共有多少個?工一件工程，甲、乙合做6天能完成之.單獨做，甲完成?與乙完成所6JL需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少大？3 .加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師傅 再做9時也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做 2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？4 .甲.乙、丙三人合修一圍墻，甲、乙合作5天修好圍墻的;，乙、丙合 修2天修好余

39、下的：，剩下的甲，丙又合作了5天才完成.問：甲，乙、丙單獨修各需幾天?5 .蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10, 12,15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關閉，結果到下午 2點水池被灌滿。問：甲 管在何時被關閉？6 .單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、的順 序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？7 .一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流 干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次 輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？答案與提

40、示練習61.360 個。711解士由“甲完成彳時乙完成了一半”知，甲完成;時乙完成了所以共有零件（必+X 2 = 360 1個）o2.甲18大，乙12天。提示，甲、乙臺干完需5 = 1 （天），所以甲.乙的工作效率之和是051 又甲的工作效率是乙的;所以乙的工作效率是+馬二2，甲的工3b336$12121作效率是上乂 WnL。12 3 183.7.2 時。解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6+ 2X3=21 （時）， 王需21 + 3X2=14 （時）。所求為° " 而""*（TT+不）=72 （時）°1414 21二6

41、季設1H"1G1壬2Iv'王W季94 .甲24天，乙40天，丙17：天解.甲、乙的工作效率之和是1+5 =焉；乙，丙的工作效率之和是；（11）X彳手2=方1甲、丙的工作效率之和是1 -弓-。-）乂彳+，=訶口 "I' *d_asaTrJI甲.乙，丙的工作效率之和是（± + U + ±A2.:q甲，乙丙的工作效率依次是1J 12 1Uo1_ 1 _ 1 1_ 1 _ 1 1_ 1 _ 78"I2 = 2478"W=t8"T5=T20所以甲、乙.丙分別需要24, 40, 17：天.5 .上午9時。提示：甲管開了口

42、-焉+道"6 + =1 （時）° 1 U- 1J U6 .10 時 15 分。解.甲、乙各干1時完成這項工作的;1=乙10時后還剩1-乂5 =9 12 363636,甲干還需（時）=1”分），所以共需1。時1/36 9 47.8.5 天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式 完成的天數(shù)必定相同（見左下圖）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲 乙甲乙甲乙甲 乙;甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上 圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.

43、5天。小學六年級奧數(shù)教案一07巧用單位“1 ”在工程問題中，我們往往設工作總量為單位“1”。在許多分數(shù)應用題中，都會遇到單位“1”的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“ 1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡捷。例1小明看一本故事書，第一天看了全書的士還少5頁，第二天看了全書的還多3頁，還剩206頁&這本故事書一共有多少貝？分析：因為第一天、第二天都是與全書比較，所以應以全書的頁數(shù)為單位勺，如果第一天多看5貝，那么正好看了全書的如果第二天少看3頁，那么正好看了全書的，此時應當剩(206-5 +3)頁，其對應的分率為(1一；1) 11 Cd 1 一r,由此可求出全書的頁數(shù).1117解：Q06

44、- 5 + 3)+(1-通-訴)= 204 赤= 240 (頁)口答：這本故事書共有240頁。例2 一本文藝書，小明第一天看了金書的！，第二天看了余下的，第三天看了再余下的?，還剩下“更口這本書共有多少頁？分析與解：本題條件中單位“ 1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看 后余下的頁數(shù)”、“第二天看后余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了 3個不同的單位“ 1”。按照常規(guī)思路, 需要統(tǒng)一單位“ 1”，轉化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書看成“ 1”，那么第一天看后剩下口彳人再把第一天看后余下的部分看成勺1求出第二天看后余下的部分是全書的(1X最后把第二天看后余下的部分看成“1

45、”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的11112 44(l-7)x(l-3)X(1-3) = 2X3X5 = 1544也就是說,剩下的80頁對應的分率是記,所以全書有80_ = ?00 (反)*例3學校圖書室里的故事書占圖書總數(shù)的!,最近化肥廠工會又給學校送來400本故事書，這時圖書室里的故事書占現(xiàn)有圖書總數(shù)的求圖書室原來共有多少本圖書?分析與解：故事書增加了，圖書的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個分率，工是以原來的圖書總數(shù)為單位qL I是以后來的圖書總數(shù)為單位“1”.這給計算帶來很多不便，需要統(tǒng)一單位“1”。統(tǒng)一單位“ 1”的一個竅門就是抓“不變量”為單位“ 1”。本題中故事書、圖書總數(shù)都發(fā)生

46、了變化，而其它書的本數(shù)沒有變，可以以23 21書占全部圖書的9，故事書相當于其它書的= W （倍）.同樣可得，故2 1事書t曾加后加.相當于其它書的= 2（倍人所以其它書有3 J其它書的本數(shù)為單位 W 根據(jù)原來”故事書占全部圖書的£”,可知其它400-（2-1） = 800 （本），圖書室原來共有圖書32。0+（1 -? = 200。（本）口例4甲組人數(shù)比乙組人數(shù)多，后來從甲組調(diào)9個人到乙組，此時乙組人數(shù)比甲組多,問原來甲、乙組各有多少人？分析與解：與例3類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總人數(shù)， 所以以甲、乙組的總人數(shù)為單位“ 1”。14由原耒“甲組人數(shù)比乙組多推知

47、甲組人數(shù)是乙組的;，所以原耒甲組占兩組總人數(shù)的白37）.。40再由后來“乙組人數(shù)比甲組多推知乙組人數(shù)是甲組的1所以后來甲組占兩組總人數(shù)的l|=（| +1）=臺甲組調(diào)走的9人對應的分率是g-1），兩組總人數(shù)是4 59 + 弓幣） = 42 C A）。A原來甲組有42 X亍=24 （人），乙組有'42.24 = IX （人）。例5公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時刻, 貨車與客車、小轎車的距離相等；走了 10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了 5分鐘，小轎車 追上了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？分析與解：根據(jù)“在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離相等”，設這

48、段距離為單位“1”。由“走了 10分鐘，小轎車追上了貨車”，可知小轎車比貨車每分鐘多行這段距離的事由"又過了5分鐘，小轎車追上了客車I可知小轎車（10+5）分鐘比客車多行了兩個這樣的距離，每分鐘多行這段距離的g貨車比客車每分鐘多行這段s巨離的點W）,所以貨車追上客車還需 p 11+ （記而）=15=15 （分）“53例6甲、乙兩班共有84人,甲班人數(shù)的?與乙班人數(shù)的:共有57人口求兩班各有多少人？分析與解.甲班人數(shù)的序與乙班人數(shù)的,等于兩班總人藪的是X4 44AX； = 63（人）。時比*甲班人數(shù)的與乙班人數(shù)的;共有5T人“，得到（63力人對應的分率是弓這是以甲班人數(shù)為單位“所以甲班

49、有 4 Q（6九57）+（=-1） = 8+，=48 1人）， 4 占o乙班有84-48=36 （人）。練習71 ?1 一有120個蘋果，甲拿走了其中的葭 乙拿走了余下部分的這時所剩余的;被丙拿走，最后剩下的被丁拿走Q問：甲和丁共章走多少個率果？2一一只猴子偷吃桃樹上的桃子,第一次偷吃了 J以后的23天,分別偷樹上原有多少個桃？3一根站的大米占糧食總量的4，賣出24噸大米后所剩大米恰好占所剩糧食總量的這個糧站原來共有糧食多少噸？4.菜園里的西組市獲得豐收，收下全部的工時，裝滿3筐后還多24千克， O剩下的部分收完后剛好又裝滿 6筐。共收西紅柿多少千克？5一某班男生比女生多3 n女生比男生少幾分

50、之幾？&合唱隊中男生占女生人數(shù)的以,后來又增加了3個女生，男生人數(shù)占合 b唱隊總人數(shù)的合唱隊現(xiàn)有男.女生各多少人？7.六年級兩個班共有學生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本23班人數(shù)的三，二班的女生占本班人數(shù)的求兩班各有多少人口答案與提示練習71.35 個。1123解士 120X + 12CJX（；l-）X（-X（l- = 35 （個）.2.60 個。=2 t X x 1- m 1） 2 < - - 6C1 口2）e匕 0 29230' '3.64 噸。痛以其它禧食為單位原來大米是；手。3二九現(xiàn)在大米是A 4| + Q-1） = |，其它糧食有3324-

51、 C3-） =16 1噸），原來共有糧食 16+ （1-D =64 （噸）o4.384千克。解：共收西組市6 + <1-69二（篦）,每筐重24+弓=的（干克），共收西紅柿40X95 =登4 （千克）oR-I2 g17 ?解,男生是女生的i+尹.（倍）,所以女生是男生的曬推少得/6 .男生15人，女生21人。解：以男生人數(shù)為單位“1工原來田昌以總人數(shù)是男生的1 +現(xiàn)在19合唱隊總人數(shù)是男生的所以現(xiàn)有男生3+（詈小=15 （人），女生15+：15 = 21 （人）1心7 .一班45人，二班49人。提示二二班有（方黑工）牛（石一豆）=的（人）*小學六年級奧數(shù)教案一08比和比例比的概念是借助于

52、除法的概念建立的。兩個數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比。例如，5 + 6可記作5 : 6。比的前項除以后項的商，叫做這個比的比值口如，5-6 = ?就是5： 6的比值。表示兩個比相等的式子叫做比例（式）。如，3： 7=9： 21。判斷兩個比是否成比例， 就要看它們的比值是否相等。兩個比的比值相等，這兩個比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個比例中，兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。即：如果 a： b=c： d,那么a x d=bx Co兩個數(shù)的比叫做單比，兩個以上的數(shù)的比叫做連比。例如 a ： b ： c。連比中的“：” 不能用“ 一 ”代替，不能把連比看成連除。把兩個比化為連比，關鍵是使第一個比的后項等

53、 于第二個比的前項，方法是把這兩項化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲：乙=5 ： 6,乙：丙二4 ： 3,因為6 , 4=12,所以5 : 6=10 ： 12 , 4 ： 3=12 : 9,得到甲：乙：丙二10 ： 12 ： 9。例 1 已知 3 ： （x-1）=7 ： 9,求 x。解：7 X （x-1）=3 X9,x-1=3 X9+ 7,6x = 3X 9-r7 + l = 4yo例2六年級一班的男、女生比例為 3 : 2,又來了 4名女生后，全班共有44人。求 現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解：原來共有學生44-4=40 （人），由男、女生人數(shù)之比為 3： 2知，如果將 人數(shù)分為5份，那么男生

54、占3份，女生占2份。由此求出男生人數(shù)=4。><=24 （人）.女生人數(shù)=40 乂 - = 16 CA） o女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24 :20=6： 5。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個總量按照一定的比分成若干個分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將 按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項相加得到總份數(shù)，各項與總份數(shù)之比就是各個分 量在總量中所占的分率，由此可求得各個分量。例3配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1 ： 2 ： 12,現(xiàn)在要配制這 種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1 ： 2 ： 12,總份數(shù)是1+2+12=15,各分量在總量中所占的分率分別是和解,生石灰2700X- = 180 （千克），1 + J +2硫磺粉 2700 X= 360,12.水 2700乂十.十2=21&0 （千克）答：生石灰、硫磺粉、水分別需要 180, 360和2160千克。在按比例分配的問題中，也可以先求出每份的量，再求出各個分量。如例 3中，總 份數(shù)是1+2+12=15,每份白量是2700+15=180