方俊鑫版固體物理習(xí)題解答(前題)

1、方俊鑫版固體物理習(xí)題解答(前題)方一陸固物習(xí)題參考答案1、布格子：每個(gè)原胞內(nèi)只有一個(gè)原子的晶格或組成晶體結(jié)構(gòu)的基元之結(jié)點(diǎn)：如以Cl原子為結(jié)點(diǎn)，取面心立方晶胞，就是NaCl的布氏格子；金剛石結(jié)構(gòu)中位于正四面體中心的原子和頂角上的原子化學(xué)組份雖相同，但電子云配置方位不同，所以是復(fù)式格子。2、如以為正格子基矢則滿(mǎn)足。 3、體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子，試證明之。設(shè)體心立方格子的結(jié)晶學(xué)晶胞（Convention cell ）的基矢是令為直角坐標(biāo)的三個(gè)互垂直的單位矢這個(gè)體心立方格子的固體物理學(xué)原胞（Primitive cell）的三個(gè)基矢，按規(guī)定這個(gè)倒點(diǎn)陣的結(jié)晶學(xué)胞原（Convention c

2、ell）應(yīng)當(dāng)是顯示其立方晶系對(duì)稱(chēng)性的最小重復(fù)單元。設(shè)它的三個(gè)基矢則組成面心立方晶胞。設(shè)它們的 是b文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索結(jié)論基矢是的體心立方為胞對(duì)應(yīng)的倒格子是結(jié)晶系晶胞為面心原胞，它的倒格子基矢同樣方法可證：（必須反過(guò)來(lái)再證明一下）面心立方正格原胞基矢如：對(duì)應(yīng)倒格子的結(jié)晶學(xué)原胞是體心立方晶胞，它的基矢4、基矢晶面族（h，k，l）的面間距為d。令對(duì)于正交晶系為h=1, k=1, l=0為簡(jiǎn)單指數(shù)時(shí) d100=a 面間距較大的之一又因?yàn)槟硞€(gè)晶體的原胞體積總是不變的，原胞體積W=dhklAhkl；A為(h, k, l)晶面上面積元的面積（即h, k, l）晶面的二維晶格的原胞，晶格對(duì)應(yīng)著固定的W，但是h

3、、k、l不同時(shí)，則對(duì)應(yīng)著不同形狀的二維原胞，dhkl愈大，則Ahkl愈小，密度一定，A小，面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般總是沿面密度大的(h, k, l)面解理，即解理面，一般是簡(jiǎn)單指數(shù)的晶面。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索 5、對(duì)六角密堆積結(jié)構(gòu)固體物理學(xué)原胞基矢如求倒子基矢：解： 7、把等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大體積和總體積之比。解：（1）簡(jiǎn)立方a=2r（3）面心立方 晶胞面對(duì)角線(xiàn)=4r（4）六角密積 （5）金剛石：參考P19圖四面體原子互相接觸，四面體所決定的立方體邊長(zhǎng)為，比立方體的體對(duì)角線(xiàn)為4r，則由圖8、（x-射線(xiàn)）如x射線(xiàn)沿簡(jiǎn)立方晶胞的oz方向入射，

4、求證：當(dāng)和時(shí)，衍射線(xiàn)在yz平面上，其中b2是衍射線(xiàn)和oz方向的夾角。解：入射線(xiàn)和衍射之間夾角為2q 2dsinq=nl 令n=1 （1）簡(jiǎn)立方面間距為： （2）因衍射線(xiàn)和入射線(xiàn)必在一個(gè)平面內(nèi)，（已知條件之一）得 （3） 由（1）、（2）、（3） 得 （4） 9、( x射線(xiàn)) 在氯化鉀晶體中，k+在0, 0, 0; 諸點(diǎn)；Cl-在諸點(diǎn)，試對(duì)衍射線(xiàn)面指數(shù)和衍射純度的關(guān)系。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索解：是復(fù)式格子討論：10、（米勒指數(shù)）六角晶系中見(jiàn)P343，晶面常用四個(gè)指數(shù)(h, k, l, m)表示，它們代表一個(gè)晶面在六角形半面基矢軸上的截距為；在六度軸上的截距為，試寫(xiě)出的面指數(shù)。 文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索補(bǔ)充

5、1：試畫(huà)出面心立方晶體（1 1 ）面上的原子分布圖，并求出這個(gè)晶面上的二維晶胞基矢。 ，它即是（1 1 ）面上二維晶胞基矢之一，以為二維晶胞的另一基矢，顯然這是一個(gè)長(zhǎng)方形二維晶胞，以此晶胞在平面A B C D上做周期重復(fù)，即得（1 1 ）面上的原子分布。注：（1）晶面是（1 1 ）晶族中通過(guò)原點(diǎn)0的那個(gè)晶面，因?yàn)樽逯兴芯娑际峭耆嗤模匝芯烤孀逯腥我獾囊粋€(gè)就可以了。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索（2）（1 1 ）晶面上的其它形狀的原胞，不能直接顯示這個(gè)二維晶面上的原子分布的正交對(duì)稱(chēng)性，但也可以得出同樣的（1 1 ）上的原子分布圖。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索11、設(shè)晶體中每對(duì)原子的平均結(jié)合能力為平衡時(shí)，n

6、0=10-10米，其結(jié)合能力|U|=810-19焦耳，試計(jì)算A和B以及晶體的有效彈性模量。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索（2） （1） （3）12、有一晶體，在平衡時(shí)的體積為V0，原子間總相互作用能量為V0, 如果原子間相互作用能由式所表達(dá)，試證體積彈體模量可由得出文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索解：設(shè)晶體為簡(jiǎn)立方晶胞，晶胞體積為v=r3，晶體體積v=Nr3，晶體的結(jié)合能E，從11題可知如把理解為晶體內(nèi)為某一原子，對(duì)其它原子總的作用能，則原子間總相互作用能討論：如把理解為晶體內(nèi)兩個(gè)原子間的相互作用能；則晶體指定參考原子，對(duì)晶體內(nèi)全部原子的作用能是R：為最近臨原子距離，在S，C即單胞之邊長(zhǎng)令 13、已知有N個(gè)子組成的Na

7、Cl晶體，其結(jié)合能為 令若干排斥項(xiàng)由Cexp(-r/r)來(lái)代替，且當(dāng)晶體處于平衡時(shí)，這兩者對(duì)垂作用勢(shì)能的貢獻(xiàn)相同，試求出n與r的關(guān)系文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索由已知條件 (2)（2）代入（1）： 14、試證一維離子晶體的m=2ln2解：令某個(gè)正離子“0”為原點(diǎn)則m是屬于結(jié)合能中的庫(kù)侖能部分的參數(shù)因?yàn)榍案竦淖笥覍?duì)稱(chēng)，所以取加號(hào)?！?”對(duì)異號(hào)離子 j從1，2，3，流動(dòng)，所得S和乘2。“-”對(duì)同號(hào)離子 即得總晶體庫(kù)侖能。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索15、立方ZnS的晶格常數(shù)a=，試計(jì)算其結(jié)合能Eb（焦耳/摩爾）。解：書(shū)81頁(yè)，閃鋅礦m= n=1摩爾晶體內(nèi)分子數(shù)NA=1023個(gè)/mol，含離子數(shù)為2NA=N16、在立方

8、晶系中，若彈性波沿向傳播，試求（i）它的三個(gè)波速；（ii）位移矢的三個(gè)方向余弦。解：即P99的；n=0代入P97（2-49）得Gij，克氏模量；和P98克氏模量，必須滿(mǎn)足，久期方程：文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索又因立方品系中，彈性模量Cij不等于零得，只存C11=C12= C33， C12=C23= C31， C44=C55= C66上面的Gij代入久期議程：以p、q、r為未知數(shù)的兩個(gè)獨(dú)立方程，再加上P2+q2+r2=1可解出：則彈性位移矢也沿1 1 0方向，所以這是一只縱波。 彈性位移矢平行于0 0 1和傳播方向1 1 0垂直,這是橫波。彈性位移矢平行于，也與波傳播方向1 1 0垂直。17、試由熱力學(xué)

9、證明 Cp-Cv=9b2TK，K是體彈性模量，b是體膨脹系數(shù)。解：由熱力學(xué)定義： 以T、V為獨(dú)立變量 （1）上式第二步用了關(guān)系以T、P為獨(dú)立變量； （2）麥開(kāi)關(guān)系之一 由（1）和（2）得 以P、V為獨(dú)立變量獨(dú)立變量前系數(shù)應(yīng)相等：體脹系數(shù) 。壓縮系統(tǒng)的定義。附表用關(guān)系： 第三章 習(xí)題參考答案18、如原子離開(kāi)平衡位置位移后的勢(shì)能為： 試證明，用經(jīng)典理論比熱可寫(xiě)成：證：一維振子總能處理小振動(dòng)當(dāng)c、g、f為正常數(shù)第二個(gè)積分中的小很多，積分主要貢獻(xiàn)來(lái)自于。略去高于X6之上的項(xiàng)；X3等奇次指數(shù)的項(xiàng)定積分為零也不寫(xiě)出積分公式DD19、自由能F=U0(V)+F振（T、V）式中F振表示晶格振動(dòng)時(shí)自由能的貢獻(xiàn)，U

10、0(V)是00K的內(nèi)能，如, 為德拜溫度。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索D求證（1）壓力D （2）體脹系數(shù) D證：D （1）DDD文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索DDDD文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索（2）即相當(dāng)證 已知所以相當(dāng)于證明即：所以又相當(dāng)證明：要證明上式關(guān)系式方法有二（一） 由書(shū)P144（3-127）知（二）用熱力學(xué)霍姻霍茲關(guān)系式證為此利用本題第一式：DDD文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索如能證則問(wèn)題就可解決由霍姻霍茲關(guān)系式DD附霍姻霍茲關(guān)系式的證明：霍姻霍茲的自由能兩端對(duì)T的微分又20、寫(xiě)出量子諧振子系統(tǒng)自由能，證明在經(jīng)典極限，自由能為：證：經(jīng)典極限 由教本P14321、設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能量具試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能

11、。解：由教本P129德拜模型每頻率在間格波數(shù)又由德拜模型知晶體零點(diǎn)振動(dòng)能HH注：由上可見(jiàn)，應(yīng)當(dāng)是：；但在計(jì)算比熱時(shí)零點(diǎn)能E0因?yàn)榕cT無(wú)關(guān)，它不起作用，所以研究比熱時(shí)，中沒(méi)寫(xiě)它，但是在計(jì)算晶體結(jié)合能時(shí)，要估計(jì)零點(diǎn)能的貢獻(xiàn)。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索第四章 習(xí)題參考22、在離子晶體中，由于電中性的要求，肖特基缺陷多成對(duì)地產(chǎn)生，令n代表正負(fù)離子對(duì)的數(shù)目，是產(chǎn)生一對(duì)缺陷所需的能量，N是原有正、負(fù)離子對(duì)的數(shù)目，在理論上可推出：文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索（1）試求有肖脫基缺陷后體積的變化，V為原有的體積。（2）在800時(shí)，用X射線(xiàn)測(cè)定食鹽的離子間距，再由此時(shí)測(cè)定的密度r算得分子量為，而用化學(xué)方法所測(cè)定的分子量是，求在80

12、0時(shí)缺陷的數(shù)量級(jí)。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索解：（1）在弗蘭克爾缺陷中，晶體的體積沒(méi)有顯著變化，而在肖特基缺陷中每產(chǎn)生一對(duì)缺陷同時(shí)便在晶體表面填了兩個(gè)新的原子，增加了體積，也就減少了密度，在肖特基缺陷中所增加的體積為：文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索其中a為正負(fù)離子間的距離。晶體原來(lái)的體積是因此體積變化是 （2）這是一個(gè)著名的實(shí)驗(yàn)，證明食鹽中有肖特基缺陷，因?yàn)閄光測(cè)點(diǎn)陣常數(shù)時(shí)，其值a不隨有無(wú)缺陷而改變，而用化學(xué)方法測(cè)密度則是真實(shí)的，每單位體積的質(zhì)量，當(dāng)晶體總質(zhì)量m不改變時(shí)，晶體的實(shí)際體積V將隨缺陷數(shù)目的改變而變化，即用化學(xué)方法測(cè)得密度r將由于缺陷的數(shù)目增加而變。設(shè)NaCl分子量為M1每個(gè)分子占體積為2a3，令r為密

13、度，則有：文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索所以通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)充分證明了空位的存在。通過(guò)密度的變化，說(shuō)明空位存在的實(shí)驗(yàn)還有以下實(shí)驗(yàn)：在純NaCl或KCl等晶體中摻入一些重量較大的正負(fù)離子雜質(zhì)，例如CaCl2，MgCl2等不同價(jià)的正離子，似乎密度應(yīng)該會(huì)增加些，增加的數(shù)量與加入MgCl2的百分比成正比。有人用純KCl內(nèi)加入CaCl2摻雜KCl，不僅密度不增加僅而減少；這說(shuō)明Ca+入K+的位置，為使電中性維持下去，必然使晶體中處于正格點(diǎn)位上的一些K+去掉，這就造成了K+空位，而使晶體體積增大，密度減小?！把a(bǔ)充題”求體心立方，面心立方，六角密積等晶體結(jié)構(gòu)的最小滑移矢量的長(zhǎng)度。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索解：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論推測(cè)

14、所得規(guī)律：“滑移方向是密排方向或比較密排的方向”“滑移平面是密排平面”。所以此題就是最密排的原子面和線(xiàn)。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索體心立方：參考書(shū)P16圖1-9得：滑移面為1 0 1，滑移方向1 1 1；最小距離。面心立方：參考書(shū)P16圖1-9得：滑移面為1 1 1，滑移方向1 1 0； 六角密積：參考書(shū)P16圖1-9得：滑移面為0 0 1，滑移方向補(bǔ)充題：（1）畫(huà)出體心立方晶格1 1 0面上的原子分布圖。（2）設(shè)有一沿方向滑移，位銷(xiāo)線(xiàn)和1 1 0平行的刃位錯(cuò)，試畫(huà)在1 1 0面上的投影圖?；泼媾c紙面的交跡就是方向解：（1）參考書(shū)P17的體心立方則在1 1 0面上原子排列的兩維原胞是邊長(zhǎng)為的菱形，菱

15、形的一對(duì)銳角q。紙面是1 1 0面，刃位錯(cuò)線(xiàn)1 1 0 與紙面的垂足用“”標(biāo)記，它是方向。（2）刃位借線(xiàn)的方向是1 1 0 與1 1 0面垂直，即刃位錯(cuò)線(xiàn)垂直于紙面，刃位錯(cuò)線(xiàn)的滑移方向是，它和1 1 0面法線(xiàn)方向垂直，所以在帶面上（或平行于紙面）。實(shí)際上方向是1 1 0面上菱形兩維原胞的一個(gè)菱邊的方向。刃位錯(cuò)所插入（或取消）的半晶面與1 1 0面相交之跡，就沿方面，實(shí)際上是方向，滑移面由和紙面1 1 0面的法線(xiàn)所確定。文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索注意：滑移面左下方，在刃位錯(cuò)線(xiàn)之下，稍遠(yuǎn)之處，相鄰原子三距離應(yīng)當(dāng)恢復(fù)為沿方向第五章 習(xí)題參考答案23、限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形中的N個(gè)自由電子，電子的能量（i）求

16、能量E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù)（ii）求此二維系統(tǒng)在絕對(duì)零度的弗米能量解：（i）采用周期邊鮮條件由 每個(gè)K矢在R空間占體積為E到E+dE間的狀態(tài)，在k空間內(nèi)的體積為在其中的狀態(tài)數(shù)為：由于令（ii） 24、金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數(shù)為試計(jì)算絕對(duì)零度時(shí)鋰的電子氣的弗米能量EF。解：體心立方晶格內(nèi)，每個(gè)晶胞有兩個(gè)原子，鋰為一個(gè)價(jià)原子，所以鋰的電子氣密度25、在低溫下金屬鉀的摩爾容量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可寫(xiě)為：C=（+）毫焦/摩爾開(kāi)若一摩爾鉀有N=61023個(gè)電子，試求鉀的弗米溫度TF和德拜溫度QD。解：在低溫下，電子氣的摩爾熱容量是： g=鉀的z=1，所以在低溫下，晶格振動(dòng)摩爾熱容貢獻(xiàn)為： 26、一維周期勢(shì)

17、場(chǎng)中電子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足Bloch定理，若晶格常數(shù)是a，電子波函數(shù)為試求電子在這些狀態(tài)下的波矢解：(i)按Bloch定理： (ii) (iii) 27、克一潘問(wèn)題，當(dāng)勢(shì)阱之間的間距時(shí)，求決定能量的關(guān)系式并說(shuō)明此結(jié)果。解：由克一潘模型加上勢(shì)能為這實(shí)際上有限深勢(shì)阱的本征值問(wèn)題分區(qū)討論的形式：（1）在勢(shì)阱內(nèi) （2）在勢(shì)阱外， 為滿(mǎn)足波函數(shù)的有限性：由波函數(shù)和它的微商的連續(xù)性得：（i）在x=a處 （ii）在x=0處B=C Aa=Cb 由、得 代入并整理之后得 討論（1）圖解求E，令則（7）式可寫(xiě)為：以為直角坐標(biāo)的縱軸，為橫軸，則對(duì)于一定的Vo，由（A）和（B）交點(diǎn)可決定E值，E值的個(gè)數(shù)與Vo之值有關(guān)，

18、但只能取分立的能級(jí)文檔來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)搜索2）28、電子在周期勢(shì)場(chǎng)中的勢(shì)能 a=4b，為常數(shù)試畫(huà)出此勢(shì)能曲線(xiàn)，并求勢(shì)能平均值。解：勢(shì)場(chǎng)周期=a=4b 29、用近自由電子模型處理28題，求此晶體的第一個(gè)及第三個(gè)禁帶寬度。解：適當(dāng)選取，位置座標(biāo)原點(diǎn)，則研究（-2b,2b）間隔的V(x)，即令n=0則V(x)為偶函數(shù)，展開(kāi)為富利葉級(jí)數(shù)將只有余弦項(xiàng)30、已知一維晶體的電子能帶可寫(xiě)成式中a為晶格常數(shù)，試求：(i)能帶寬度 (ii)電子在波矢k時(shí)的速度 (iii)能帶底和頂?shù)挠行з|(zhì)量解：(i) 可解得：因?yàn)閗a為實(shí)數(shù)，若只有sin ka=0存在，則ka=n；能帶寬（ii）（iii）帶底位于帶頂位于27、克龍尼克一潘納問(wèn)題，當(dāng)勢(shì)阱之間的間距時(shí)，決定能量的關(guān)系式，并說(shuō)明此結(jié)果。解：由克一潘模型加上條件，此時(shí)勢(shì)能為：這實(shí)際上是求有限深勢(shì)阱的本征值問(wèn)題由薛定諤方程：分區(qū)討論波函數(shù)形式1）在2）在 討論邊界條件和連續(xù)性當(dāng)當(dāng)當(dāng) （1） （2）4）在B=C （3） （4）由（