保險精算學(xué)-躉繳純保費(1)

1、第五章第五章人壽保險躉繳純保費的厘定人壽保險躉繳純保費的厘定本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)n人壽保險躉繳純保費厘定原理人壽保險躉繳純保費厘定原理n死亡死亡年末年末賠付保險躉繳純保費的厘定賠付保險躉繳純保費的厘定n死亡死亡即刻即刻賠付保險躉繳純保費的厘定賠付保險躉繳純保費的厘定n遞歸方程遞歸方程第一節(jié)第一節(jié)人壽保險人壽保險躉繳純保費厘定的原理躉繳純保費厘定的原理 人壽保險簡介人壽保險簡介n什么是人壽保險什么是人壽保險n狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標(biāo)的的一種保險。死亡作為保險標(biāo)的的一種保險。n 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為廣義的人壽保險是以被保

2、險人的壽命作為保險標(biāo)的的一種保險。它保險標(biāo)的的一種保險。它包括包括以保障期內(nèi)被以保障期內(nèi)被保險人死亡為標(biāo)的的狹義壽險，保險人死亡為標(biāo)的的狹義壽險，也包括也包括以保以保障期內(nèi)被保險人生存為標(biāo)底的生存保險和兩障期內(nèi)被保險人生存為標(biāo)底的生存保險和兩全保險。全保險。人壽保險的分類人壽保險的分類n受益金額是否恒定受益金額是否恒定n定額受益保險定額受益保險 n變額受益保險變額受益保險n保單簽約日和保障期保單簽約日和保障期期始日是否同時進行期始日是否同時進行n非延期保險非延期保險n延期保險延期保險 n保障標(biāo)的的不同保障標(biāo)的的不同n人壽保險（狹義）人壽保險（狹義）n生存保險生存保險n兩全保險兩全保險 n保障期

3、是否有限保障期是否有限n 定期壽險定期壽險 n 終身壽險終身壽險人壽保險的性質(zhì)人壽保險的性質(zhì)n保障的長期性保障的長期性n這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。不容忽視的因素。n保險賠付金額和賠付時間的不確定性保險賠付金額和賠付時間的不確定性n人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布

4、。它依賴于被保險人剩余壽命分布。n被保障人群的大數(shù)性被保障人群的大數(shù)性n這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預(yù)測將來的風(fēng)險。算出平均賠付并可預(yù)測將來的風(fēng)險。躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n假定條件假定條件:n假定一假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。險人的剩余壽命是獨立同分布的。n假定二假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗生命表進行擬合。驗生命表進行擬合。n假定三假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益：保險公司可以預(yù)測將來的投

5、資受益（即預(yù)定利率）。（即預(yù)定利率）。純保費厘定原理純保費厘定原理n原則原則n保費凈均衡原則保費凈均衡原則n解釋解釋n所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值時值等于支出期望現(xiàn)時值 主要險種的躉繳純保費的厘定主要險種的躉繳純保費的厘定nn年期定期壽險年期定期壽險n終身壽險終身壽險n延期延期m年的終身壽險年的終身壽險nn年期生存保險年期生存保險n

6、n年期兩全保險年期兩全保險n延期延期m年的年的n年期的兩全保險年期的兩全保險n遞增終身壽險遞增終身壽險n遞減遞減n年定期壽險年定期壽險基本符號基本符號n 投保年齡投保年齡 的人。的人。n 人的極限年齡人的極限年齡n 保險金給付函數(shù)。保險金給付函數(shù)。n 貼現(xiàn)函數(shù)。貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值時值)(xxtbtvtztttvbz躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n躉繳純保費的定義躉繳純保費的定義n在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現(xiàn)時值期望現(xiàn)時值 n躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n按照凈均衡原則，躉繳純保費就等

7、于按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于()tE z 第二節(jié)第二節(jié)死亡死亡年末年末理賠的死亡保理賠的死亡保險的現(xiàn)值險的現(xiàn)值死亡年末賠付死亡年末賠付n死亡年末賠付的含義死亡年末賠付的含義n 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。n由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于

8、機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。供的生命表函數(shù)。n所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費時通常先假定的理賠方式。躉繳保費時通常先假定的理賠方式。 預(yù)備預(yù)備1： 延期延期t 年的年的1年定期的死亡保險年定期的死亡保險 若被保險人在其他時段死亡，則保險公司無支付。試計算該保單的精算現(xiàn)值。 死者保單對全體保單共有財產(chǎn)的分享死者保單對全體保單共有財產(chǎn)的分享 初始人數(shù)初始人數(shù)每人交的凈保

9、費每人交的凈保費 t 年末的年末的投資積累投資積累 死亡人數(shù)死亡人數(shù)1元賠償元賠償計算原理解釋：計算原理解釋：,4 （人）假設(shè)xl,25. 0元每人交（元）共交00.1425.0元）年末變?yōu)椋瑒t假設(shè)利率(2%)1001 (425.01%100i.%,50則共死亡人假設(shè)死亡率（元）則保險費支出2 令預(yù)備預(yù)備2: 純粹生存年金純粹生存年金與生者利原理與生者利原理n生存年金是以被保險人生存為支付條生存年金是以被保險人生存為支付條件的年金件的年金. . n生存年金的精算原理是生存年金的精算原理是“生者利生者利”原原則則. . n所謂生者利，指所謂生者利，指生存者對共有財產(chǎn)中生存者對共有財產(chǎn)中死者權(quán)利部

10、分的享有權(quán)死者權(quán)利部分的享有權(quán). . 純粹生存年金的現(xiàn)值純粹生存年金的現(xiàn)值生者利原理0 0時刻此時刻此人群共人群共繳納錢繳納錢數(shù)數(shù)t t時刻還存時刻還存活的人所領(lǐng)活的人所領(lǐng)取的保險金取的保險金在在0 0時刻的時刻的現(xiàn)值現(xiàn)值t5.2.1 15.2.1 1元保險金的終身壽險元保險金的終身壽險 1 1 1 1 1x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1qx1Iqx2IqxnIqx年齡年齡dxdx+1dx+2dx+n死亡數(shù)死亡數(shù)死亡率死亡率Axn|qx = dx+n/lxAx lx= v dx+v2 dx+1+vn+1 dx+n +Ax= v qx+v2 1|qx+vn+1 n|qx + 1 1

11、 1 1 1x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1qx1Iqx2IqxnIqx年齡年齡dxdx+1dx+2dx+n死亡數(shù)死亡數(shù)死亡率死亡率vdxV2dx+1Vn+1dx+n.各支出各支出總收費：總收費：Axlx終身壽險年末付的躉交純保費：終身壽險年末付的躉交純保費：xxxxkxkkxxkxkkxkkkxDMldldqA 010101|終身壽險精算現(xiàn)值的例子終身壽險精算現(xiàn)值的例子n例：假設(shè)50歲的人投保了10000元的終身壽險，保險費在死亡年末支付，假設(shè)年利率按3%計算，試根據(jù)表IV計算其精算現(xiàn)值.（元元）解解：16.5148744,998, 1986,028, 110000100001

12、0000%.3,50505050 DMAPix練習(xí)：變額保險金的終身壽險練習(xí)：變額保險金的終身壽險5.2.2 定期壽險定期壽險年末付年末付的躉交純保費的躉交純保費xnxxxxkxnkkxxkxnkkxknkknxDMMldldqA 101101101|;1|例：假設(shè)例：假設(shè)3030歲的人投保。保單規(guī)定歲的人投保。保單規(guī)定: : 被保險人在保被保險人在保險開始險開始5 5年內(nèi)死亡時，給付年內(nèi)死亡時，給付10001000元，元，5 5年后死亡之時，年后死亡之時，給付給付20002000元。求其躉繳純保費。元。求其躉繳純保費。n解解: : 所求躉繳純保費可以看作保額所求躉繳純保費可以看作保額2000

13、2000元的終身元的終身壽險躉繳純保費與保額壽險躉繳純保費與保額10001000元的元的5 5年定期壽險躉年定期壽險躉繳純保費的差額。則，繳純保費的差額。則，n所求躉繳純保費所求躉繳純保費= = 2000 A30-1000 1| 5:30A09.622100020003035303030 DMMDM5.2.3 延期的終身壽險延期的終身壽險5.2.4 n年生死兩全保險年生死兩全保險 它是指被保險人于保險期內(nèi)死亡，或生存到期終它是指被保險人于保險期內(nèi)死亡，或生存到期終時，都支付給付金的一種保險形式。時，都支付給付金的一種保險形式。例：假設(shè)例：假設(shè)20年年生死兩全保險生死兩全保險的保額為的保額為10

14、00元，元，試求其在試求其在20歲簽發(fā)保單的躉繳純保費。歲簽發(fā)保單的躉繳純保費。n解解: 所求躉繳純保費所求躉繳純保費 18.56110001000100010001000204020402020201| 02:20| 02:20 DDDMMEAA5.2.5 壽險的累積費用壽險的累積費用dx+1dx+2dx 1 1 1 1 1x x+1 x+2 x+3 x+n-1 x+nqx1Iqx2Iqxn-1Iqx年齡年齡dx+n-1死亡數(shù)死亡數(shù)死亡率死亡率dx(1+i)n-1dx+1(1+i)n-2dx+n-1另一種解法：另一種解法：死亡年末給付躉繳純保費公式歸納死亡年末給付躉繳純保費公式歸納終身壽險終身壽險延期延期m年的年的n年定期壽險年定期壽險延期延期m年的終身壽險年的終身壽險n年期兩全保險年期兩全保險延期延期m年的年的n年期兩全保年期兩全保險險遞增終身壽險遞增終身壽險遞減遞減n年定期壽險年定期壽險11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx