和差化積、積化和差、萬能公式

1、精選文檔正、余弦和差化積公式指高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式 sin +sin=2sin(+)/2·cos(-)/2 sin -sin =2cos(+)/2·sin(-)/2 cos +cos =2cos(+)/2·cos(-)/2 cos -cos =-2sin(+)/2·sin(-)/2 【留意右式前的負(fù)號(hào)】 以上四組公式可以由積化和差公式推導(dǎo)得到 證明過程sin +sin =2sin(+)/2·cos(-)/2的證明過程 由于 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 將以上

2、兩式的左右兩邊分別相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 設(shè) +=，-= 那么 =(+)/2, =（-）/2 把，的值代入，即得 sin +sin =2sin(+)/2cos(-）/2 正切的和差化積tan±tan=sin(±)/(cos·cos)（附證明） cot±cot=sin(±)/(sin·sin) tan+cot=cos(-)/(cos·sin) tan-cot=-cos(+)/(cos·sin) 證明：左邊=tan±tan=sin/cos±sin/cos =(si

3、n·cos±cos·sin)/(cos·cos) =sin(±)/(cos·cos)=右邊 等式成立 留意事項(xiàng)在應(yīng)用和差化積時(shí)，必需是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名，必需用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必需用降冪公式降為一次 口訣 正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 反之亦然 生動(dòng)的口訣：（和差化積） 帥+帥=帥哥 帥-帥=哥帥 咕+咕=咕咕 哥-哥=負(fù)嫂嫂 反之亦然 記憶方法和差化積公式的形式比較簡(jiǎn)單，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡(jiǎn)潔記憶方法。 結(jié)果乘以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)潔的記憶方法是通過三

4、角函數(shù)的值域推斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應(yīng)當(dāng)是-1,1，而和差的值域卻是-2,2，因此乘以2是必需的。 也可以通過其證明來記憶，由于開放兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2，如： cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin 故最終需要乘以2。 只有同名三角函數(shù)能和差化積無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是依據(jù)證明記憶，由于假如不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式開放后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不會(huì)消滅相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡(jiǎn)下去了。 乘積項(xiàng)中的角要除以2在

5、和差化積公式的證明中，必需先把和表示成兩角和差的形式，才能夠開放。熟知要使兩個(gè)角的和、差分別等于和，這兩個(gè)角應(yīng)當(dāng)是(+)/2和(-)/2，也就是乘積項(xiàng)中角的形式。 留意和差化積和積化和差的公式中都有一個(gè)“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以2”。 使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點(diǎn)較好的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”(-)/2的三角函數(shù)名。 是否同名乘積，仍舊要依據(jù)證明記憶。留意兩角和差公式中，余弦的開放中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積，正弦的開放則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。 (-)/2的三角

6、函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時(shí)，以cos(-)/2的形式消滅；反之，以sin(-)/2的形式消滅。 由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。假如要使和化為積，那么和調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒有影響，也就是若把(-)/2替換為(-)/2，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而(-)/2的形式是cos(-)/2；另一種狀況可以類似說明。 余弦-余弦差公式中的挨次相反/負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊狀況，完全可以死登記來。 當(dāng)然，也有其他方法可以掛念這種狀況的判定，如(0,內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。由于這個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)大于時(shí)，cos小于cos。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的(+)/2和(-)/2在(0,)的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于0，所以要么反過來

7、把cos放到cos前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。積化和差公式sinsin=cos(-)-cos(+)/2（留意：此時(shí)差的余弦在和的余弦前面） 或?qū)懽鳎簊insin=-cos(+)-cos(-)/2（留意：此時(shí)公式前有負(fù)號(hào)） coscos=cos(-)+cos(+)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2 證明積化和差恒等式可以通過開放角的和差恒等式的右手端來證明。 即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明： sinsin=-1/2-2sinsin =-1/2(coscos-sinsin)-(coscos+sinsin) =-1/

8、2cos(+)-cos(-) 其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。 （參見和差化積） 作用積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。 在歷史上，對(duì)數(shù)消滅之前，積化和差公式被用來將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。 運(yùn)算過程：將兩個(gè)數(shù)通過乘、除10的方冪化為0到1之間的數(shù)，通過查表求出對(duì)應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10k*sinsin的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最終利用加減算出結(jié)果。 對(duì)數(shù)消滅后，積化和差公式的這個(gè)作用由更加便捷的對(duì)數(shù)取代。 記憶方法積化和差公式的形式比較簡(jiǎn)單，記憶中以下幾個(gè)

9、方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡(jiǎn)潔記憶方法。 結(jié)果除以2這一點(diǎn)最簡(jiǎn)潔的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域推斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應(yīng)當(dāng)是-2,2，而積的值域確是-1,1，因此除以2是必需的。 也可以通過其證明來記憶，由于開放兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2，如： cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin 故最終需要除以2。 使用同名三角函數(shù)的和差無論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時(shí)，都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是依據(jù)證明記憶，由于假如不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式開放后乘積項(xiàng)

10、的形式都不同，就不會(huì)消滅相抵消和相同的項(xiàng)，也就無法化簡(jiǎn)下去了。 使用哪種三角函數(shù)的和差仍舊要依據(jù)證明記憶。留意兩角和差公式中，余弦的開放中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積，正弦的開放則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以反過來，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。 是和還是差？這是積化和差公式的使用中最簡(jiǎn)潔出錯(cuò)的一項(xiàng)。規(guī)律為：“小角”以cos的形式消滅時(shí)，乘積化為和；反之，則乘積化為差。 由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。假如的形式是cos，那么若把替換為-，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含+和-的兩項(xiàng)調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種狀況可以類似說明。

11、 正弦-正弦積公式中的挨次相反/負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊狀況，完全可以死登記來。 當(dāng)然，也有其他方法可以掛念這種狀況的判定，如0,內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。由于這個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以cos(+)不大于cos(-)。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的和在0,的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0，所以要么反過來把cos(-)放到cos(+)前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。萬能公式 【詞語】：萬能公式 【釋義】：應(yīng)用公式sin=2tan(/2)/1+tan(/2)2 cos=1-tan(/2)2/1+tan(/2)2 tan=2tan(/2)/1-tan(/2)2 將sin、cos、tan代換成tan（/2）的式子，這種代換稱為萬能置換。 【推導(dǎo)】：（字符版） sin=2sin(/2)cos(/2)=2sin(/2)cos(/2)