華科傳熱學(xué)20-03

1、2022-3-251主講：劉志春主講：劉志春能源與動力工程學(xué)院能源與動力工程學(xué)院華中科技大學(xué)華中科技大學(xué)2022-3-252 3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程3-2 集總參數(shù)法集總參數(shù)法3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解3-4 半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 3-5 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2022-3-2533-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：周期性和非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：周期性和非周期性兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、正規(guī)狀況階段段）、正規(guī)狀況階段邊界條件對溫度分布的影響邊界條件對

2、溫度分布的影響傅里葉數(shù)、畢渥數(shù)的表達(dá)式和物理意義傅里葉數(shù)、畢渥數(shù)的表達(dá)式和物理意義2022-3-2542022-3-2553-2 集總參數(shù)法集總參數(shù)法集總參數(shù)系統(tǒng)定義、特征集總參數(shù)系統(tǒng)定義、特征能量守恒能量守恒溫度分布溫度分布3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解求解思路：建立導(dǎo)熱微分方程式，求解思路：建立導(dǎo)熱微分方程式， 引進(jìn)過引進(jìn)過余溫度將非齊次方程組化為齊次方程，采余溫度將非齊次方程組化為齊次方程，采用分離變量法求解溫度表達(dá)式。用分離變量法求解溫度表達(dá)式。2022-3-256廚師吹肉絲廚師吹肉絲一廚師在炒雞肉絲時要品嘗一下一廚師在炒雞肉絲時要品嘗一下咸淡，于是他從咸淡，于是

3、他從100的熱炒鍋的熱炒鍋中取出一雞肉絲，用口吹了一會，中取出一雞肉絲，用口吹了一會，待其降至待其降至65時再放入口中。試時再放入口中。試估算廚師需要吹多長時間？估算廚師需要吹多長時間？出鍋時雞肉絲可視為平均直徑為出鍋時雞肉絲可視為平均直徑為2mm的圓條，的圓條，廚師口中吹出的氣流溫度為廚師口中吹出的氣流溫度為30，其與雞肉，其與雞肉絲之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為絲之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為100W/m2K，雞肉，雞肉絲的絲的 = 810 kg/m3，c = 3.35kJ/(kg)， = 1.1 W/(m K)。2022-3-257解：首先檢驗是否可用集總參數(shù)法。為此計解：首先檢驗是否可用集總參數(shù)法。為此計

4、算算BiV，故可以采用集總參數(shù)法。故可以采用集總參數(shù)法。05. 0045. 02)2()/(2hrrllrhAVhBiv10705. 02srchcVhA5 . 01003010065tttto)0705. 0exp(5 . 0s83. 92022-3-258 半無限大物體概念半無限大物體概念在在x = 0的邊界有邊界條件，物體可以向的邊界有邊界條件，物體可以向x正方正方向及向及y， z方向無限延伸。方向無限延伸。在一定的時間內(nèi)，邊界面處的溫度擾動只能在一定的時間內(nèi)，邊界面處的溫度擾動只能傳播到有限深度，在此深度以外，物體仍保傳播到有限深度，在此深度以外，物體仍保持原有狀態(tài)（初始狀態(tài)）。于是，

5、在此時間持原有狀態(tài)（初始狀態(tài)）。于是，在此時間內(nèi)，可以把物體視為半無限大。內(nèi)，可以把物體視為半無限大。2022-3-259很多實(shí)際的物體在加熱或冷卻過程的初期很多實(shí)際的物體在加熱或冷卻過程的初期都可以視為是一個半無限大固體的非穩(wěn)態(tài)都可以視為是一個半無限大固體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。導(dǎo)熱過程。半無限大物體求解半無限大物體求解1)數(shù)學(xué)描述：數(shù)學(xué)描述：ox2022-3-2510一半無限大物體，初始溫度為一半無限大物體，初始溫度為t0（均勻），在（均勻），在 = 0時刻，時刻，x = 0的表面溫度突然升高到的表面溫度突然升高到tw并保持并保持不變，要確定物體內(nèi)部溫度場。：不變，要確定物體內(nèi)部溫度場。：這一問

6、題的數(shù)學(xué)描寫為：這一問題的數(shù)學(xué)描寫為：22xtat:00)0 ,(txt:0 xwtxt),(:x0),(txtx0 0t0tw2022-3-2511該微分方程的初、邊值問該微分方程的初、邊值問題可以用拉普拉斯變換求題可以用拉普拉斯變換求解，得到這一問題的分析解，得到這一問題的分析解為：解為： x0 0t0twdttttaxww20200)exp(2)erf(2erfaxax2是無量綱變量；是無量綱變量；erf( )稱為誤差函數(shù)。稱為誤差函數(shù)。 2022-3-251222axx處的溫度仍為處的溫度仍為t0，由此得兩個重要參數(shù)；，由此得兩個重要參數(shù)；（1）幾何位置：）幾何位置：如果如果 ，則，則

7、 時刻時刻x處的溫度可認(rèn)為仍處的溫度可認(rèn)為仍為初始溫度為初始溫度t0 。 ax4對解的討論對解的討論1）當(dāng)）當(dāng) = 2時，時，erf( ) = 0.9953, 得得 / 0 = 0.9953，故，故當(dāng)當(dāng) 2時，即時，即:2022-3-2513對初始溫度均勻的厚度為對初始溫度均勻的厚度為2 的平板，當(dāng)一個側(cè)面的溫的平板，當(dāng)一個側(cè)面的溫度突然變化到另一個溫度時，度突然變化到另一個溫度時，若若a4則在時刻則在時刻 之前平板可采用半無之前平板可采用半無限大模型。限大模型。（2）如果時間）如果時間 x2/(16a)，則此時，則此時x處的處的溫度可認(rèn)為完全不變，仍然是溫度可認(rèn)為完全不變，仍然是t0， 故故

8、x2/(16a)稱為惰性時間。稱為惰性時間。2022-3-25142) 熱流密度熱流密度任一時刻、任一點(diǎn)處的熱流密度為：任一時刻、任一點(diǎn)處的熱流密度為： )(erf)(0 xttxtqwx)4/(02axweatt表面表面x = 0處的熱流密度為：處的熱流密度為： attqww0在在0, 時間內(nèi)流過面積為時間內(nèi)流過面積為A的表面的總熱量為：的表面的總熱量為： dattAdqAQww000)()(20ttcAwc稱為吸熱系數(shù)，代表物體的吸熱能力。稱為吸熱系數(shù)，代表物體的吸熱能力。2022-3-25153）對有限大小的物體，半無限大的概念一般）對有限大小的物體，半無限大的概念一般只適用與非導(dǎo)熱的初

9、始階段，當(dāng)物體表面的熱只適用與非導(dǎo)熱的初始階段，當(dāng)物體表面的熱擾動已深入物體內(nèi)部時需要用節(jié)點(diǎn)方法。擾動已深入物體內(nèi)部時需要用節(jié)點(diǎn)方法。4）對無限大物體：不存在正規(guī)熱狀況階段）對無限大物體：不存在正規(guī)熱狀況階段 2022-3-2516例題：在初始時處于均一溫度例題：在初始時處于均一溫度Ti=5 的濕土的濕土（a=7.7510-7m2/s） 中埋一根水管，如果地中埋一根水管，如果地表溫度突然降到表溫度突然降到-20 并將維持并將維持10小時，那么小時，那么管子要埋多深才能確保在此期間它周圍的土壤管子要埋多深才能確保在此期間它周圍的土壤溫度在溫度在2 以上？以上？解解:把土壤視作半無限大物體進(jìn)行求解

10、，臨界把土壤視作半無限大物體進(jìn)行求解，臨界深度處的溫度應(yīng)該在深度處的溫度應(yīng)該在10小時后恰好降低到小時后恰好降低到2 ，所以所以)2( 88. 0)20(5)20(200axerfttttww2022-3-2517查圖知查圖知所以所以1 . 12axmhshsmx37. 0 /360010/1075. 71 . 12/1272022-3-2518應(yīng)用海斯勒線算圖可以求出厚度為應(yīng)用海斯勒線算圖可以求出厚度為2 的大的大平板、半徑為平板、半徑為R的無限長圓柱體、及半徑為的無限長圓柱體、及半徑為R的球體的溫度分布和傳導(dǎo)的熱量。的球體的溫度分布和傳導(dǎo)的熱量。 對非一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，我們能不能利對非一

11、維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，我們能不能利用上面的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱線算圖來進(jìn)行求用上面的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱線算圖來進(jìn)行求解呢？解呢？ 用一個無限長矩形柱為例來回答這一問題。用一個無限長矩形柱為例來回答這一問題。 2022-3-2519設(shè)無限長方柱體設(shè)無限長方柱體2 1 2 2, 初始溫度為初始溫度為t0，過程開，過程開始時至于始時至于t 的流體中，的流體中，h已知，由對稱性可只考已知，由對稱性可只考慮慮1/4，微分方程及定解條件為：，微分方程及定解條件為： 2222yxa00tttt無量綱過余溫度無量綱過余溫度2 1xy2 22022-3-25202222yxa初始條件：初始條件：1)0 ,(yx邊界條件：邊界

12、條件：0),(),(11xxyxhy0),(),(22xyyxhx0),(0 xxyx0),(0yyyx00tttt0 xy21222022-3-2521現(xiàn)考慮兩無限大平板，厚度分別為現(xiàn)考慮兩無限大平板，厚度分別為2 1及及2 2，定解條件與方柱體相同，若無量綱過余溫度分定解條件與方柱體相同，若無量綱過余溫度分別為別為 x(x, )及及 y(y, )，那么它們必須滿足各自，那么它們必須滿足各自的微分方程及定解條件，即的微分方程及定解條件，即對對 x： 對對 y： 22xaxx1)0 ,(xx0),(0 xxxx初始條件：初始條件：邊界條件：邊界條件：0),(),(11xxxxxh22yayy1

13、)0 ,(yy0),(0yyyy初始條件：初始條件：邊界條件：邊界條件：0),(),(22xyyyyh2022-3-2522可以證明上二解的乘積就是無限長方柱體的可以證明上二解的乘積就是無限長方柱體的解：解： ),(),(),(yxyxyx先證明其滿足微分方程：先證明其滿足微分方程：xyyxyx)(2222xayaxyyx2222)()(yxayxyx2222yxa2022-3-2523再證明其滿足初始條件：再證明其滿足初始條件：111)0 ,()0 ,()0 ,(yxyxyx再證明它也滿足邊界條件：再證明它也滿足邊界條件：0),(),(11xxyxhy1),(),(),(),(1xxyyxx

14、xyhy左邊左邊1),(),(),(1xxxyxxhy00),(yy2022-3-2524再證明它滿足邊界條件：再證明它滿足邊界條件：0),(0 xxyx0),(),(xxyxxy左邊右邊 0同樣可證明它也滿足邊界條件：同樣可證明它也滿足邊界條件：0),(),(22xyyxhx0),(0yyyx故已證明：故已證明：),(),(),(yxyxyx確定是無限長方柱體導(dǎo)熱微分方程的解。確定是無限長方柱體導(dǎo)熱微分方程的解。2022-3-2525同理，可以證明：對于短圓柱體、短方柱體等同理，可以證明：對于短圓柱體、短方柱體等二維、三維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，都可以用二個二維、三維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，都可以用二個

15、或三個一維問題的解的乘積來表示其中的溫度或三個一維問題的解的乘積來表示其中的溫度分布。分布。 書中書中P73圖圖3-21表示了表示了6種情況。種情況。2022-3-2526一個二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解可以用兩個導(dǎo)一個二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的解可以用兩個導(dǎo)熱方向相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的熱方向相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題解的乘積來表示。乘積來表示。22 2yx021 1例如：例如：1.矩形截面的長棱柱矩形截面的長棱柱（正四棱柱）：可由兩個（正四棱柱）：可由兩個大平板正交構(gòu)成，因而溫大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為兩個大平板對應(yīng)度分布為兩個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘積的溫度分布的乘積 20100pp2

16、022-3-2527yzx2.矩形塊體矩形塊體(立方體立方體) 可由三個大可由三個大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為三個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘三個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘積積 3020100ppp2022-3-25282xrR03.短圓柱體可由一個長圓柱短圓柱體可由一個長圓柱體和一個大平板正交構(gòu)成，體和一個大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個長圓柱因而溫度分布為一個長圓柱體和一個大平板對應(yīng)的溫度體和一個大平板對應(yīng)的溫度分布的乘積分布的乘積 cp01002022-3-2529rx04.半長圓柱體可由一個長圓柱體半長圓柱體可由一個長圓柱體和一個半無限大固體正交構(gòu)成，和一個半

17、無限大固體正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個長圓柱體和因而溫度分布為一個長圓柱體和一個半無限大固體對應(yīng)的溫度分一個半無限大固體對應(yīng)的溫度分布的乘積布的乘積 sc000需要強(qiáng)調(diào)的是，我們要確定某一點(diǎn)的溫度時，需要強(qiáng)調(diào)的是，我們要確定某一點(diǎn)的溫度時，一定要首先確定該點(diǎn)在對應(yīng)的幾個一維空間一定要首先確定該點(diǎn)在對應(yīng)的幾個一維空間上的位置，再去確定相應(yīng)的一維溫度值，最上的位置，再去確定相應(yīng)的一維溫度值，最終乘積得出物體在該點(diǎn)的溫度值。終乘積得出物體在該點(diǎn)的溫度值。 2022-3-2530例題：一個長例題：一個長63.5mm，直徑為，直徑為50.8mm的低的低碳鋼圓柱體，初始溫度為碳鋼圓柱體，初始溫度為648.

18、89 ，將其置，將其置于于93.33 的液體中淬火，的液體中淬火，h=851.7W/m2K，a=0.427m2/h。試確定淬火。試確定淬火2.7分鐘后的圓柱分鐘后的圓柱體中心的溫度。體中心的溫度。解：先檢驗集總參數(shù)法是否適用解：先檢驗集總參數(shù)法是否適用可見集總參數(shù)法不適用。可見集總參數(shù)法不適用。mmRRllRAVL07. 9222218. 0431007. 97 .8513hLBi2022-3-2531本題示意圖如右。軸向?qū)峥梢詫A柱設(shè)想本題示意圖如右。軸向?qū)峥梢詫A柱設(shè)想成一個厚為成一個厚為l（圓柱體長度）、（圓柱體長度）、y和和z方向為無方向為無限大平板的導(dǎo)熱過程，徑向?qū)峥梢曌靼霃较薮笃桨宓膶?dǎo)熱過程，徑向?qū)峥梢曌靼霃綖闉閞的無限長圓柱。的無限長圓柱。無限長圓柱無限長圓柱查圖得查圖得l98. 22RaFo0 . 21hRBi079. 0inf0cylc2022-3-2532無限大平板無限大平板查圖