高數(shù)上冊知識點

1、高等數(shù)學(xué)上冊知識點二函數(shù)與極限(一)函數(shù)1、函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、初等函數(shù)：募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù)f(x)在X0連續(xù)limf(x)f(X0)XX0第一類：左右極限均存在.間斷點A可去間斷點、跳躍間斷點:第二類：左右極限、至少有一個不存在.無窮間斷點、振蕩間斷點5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論.(二)極限1) 定義2) 數(shù)列極限limxna0,N,nN,xnan3) 函數(shù)極限limf(x)A0,0,x,當

2、0xx0時，f(x)AXX0左極限：f(x0)limf(x)右極限：f(x0)limf(x)xx0xx0limf(x)A存在f(x0)f(x0)xX02、極限存在準則1)夾逼準則:1) ynxnZn(n叫)¥A2) limynlimznalimxna7nnn2、 單調(diào)有界準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.3、 無窮小(大)量1) 定義：若1im0則稱為無窮小量；若lim則稱為無窮大量.2) 無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小Th10();Th2 , lim 一存在，貝U lim lim(無窮小代換)4、 求極限的方法1) 單調(diào)有界準則;2) 夾逼準則；3) 極限運算

3、準則及函數(shù)連續(xù)性;a)sin x lim x 0 x4) 兩個重要極限：一1xb)lim(1x)xlim(1-)eU)x0xx5) 無窮小代換：(x0)a) xsinxtanxarcsinxarctanx12b) 1C0sx2xc) ex1x(ax1xlna)d) ln(1 x) x(loga(1x) In a)e)(1x)1x導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)定義：f （xo）limx x0f(x) xf(x。) xo左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):f(x)f(xo)f(x0)lim-xxoxx0f(x)f(xo)f(x0)lim-xxoxx0函數(shù)f（x）在x°點可導(dǎo)f（x。）f（x。）2、 幾何意義：f（x&

4、#176;）為曲線yf（x）在點x°,f（x°）處的切線的斜率.3、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：f（x）在小點可導(dǎo)f（x）在x0點連續(xù)4、 求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；2）基本公式；3）四則運算；4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈式法則）；5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6）參數(shù)方程求導(dǎo)；7）對數(shù)求導(dǎo)法.5、 高階導(dǎo)數(shù)d2yddy1) te義：dx2dxdx(n)2) Leibniz 公式：uvCku(k)v(n k) o（二）微分i）定義：y f（xox）f(x0) Ax o(x）,其中A與x無關(guān).2）可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且dy f(x。) x f (%)dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）中值定理1

5、、Rolle定理：若函數(shù)f(x)滿足：1)f(x)Ca,b；2)f(x)D(a,b)；3)f(a)f(b)；則(a,b),使f()0.2、Lagrange中值定理：若函數(shù)f(x)滿足：1)f(x)Ca,b；2)f(x)D(a,b)；則(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy中值定理：若函數(shù)f(x),F(x)滿足：l)f(x),F(x)Ca,b；2)f(x),F(x)D(a,b)；3)F(x)0,x(a,b)(a,b),使f(b)F(b)f(a)F(a)（二）洛必達法則、/、八、,、'二二汪息:1、盡量先化簡（有理化、無窮小代換、分離非零因子）再用洛必達法則！1Xc

6、osX如：lim4X0tanx2、對于某些數(shù)列極限問題，可化為連續(xù)變量的極限,然后用洛必達法則！如：limn3.洛必達法則是一種很有效的方法，但不是萬能的!x+cos(x7)如：limx->1oov如：limXFcoslXsinx（三）Taylor公式n階Taylor公式:f(X)f(X。) f (Xo)(X X。)f (A),、22! (x xo)f (Xo)n!(x Xo)nf (n 1) ()(n 1)!n 1(X Xo)在xo與X之間.當X。0時，成為n階麥克勞林公式:f(x) f(0)H0)x X10)x2 X XUx”1!2!n!(n 1)!在0與x之間.常見函數(shù)的麥克勞林公

7、式:1)12xx2!1n一xn!(nen1x1)!2)sinx3)cosx4)ln(1x)5)(1x)(四)2、在0與x之間,357xxx3!5!7!在。與X之間,246xxx2!4!6!在0與x之間，234xxxx一一一234在0與x之間,1x2!(1)(在0與x之間,單調(diào)性及極值單調(diào)性判別法：f(x)1)m1)m1)2m1x(2m1)!2m2x(2msincos2)!1)(2)3!(n(2m1)-22m1x(2m1)!2m22mx(2m)!nn1(1)x1)(1)n1(1)(n1)nxn!n)(1)n1n1x(n1)!Ca,b,f(x)D(a,b)單調(diào)增加；則若f(x)0,則f(x)單調(diào)減

8、少.極值及其判定定理:則若f(x)0,則f(x)a)必要條件：f(x)在x0可導(dǎo)，若x0為f(x)的極值點，則f(刈)0.b)第一充分條件：f(x)在X。的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(%)0,則若當XX。時，f(X)0,當XX。時，f(x)0,則X。為極大值點；若當XX。時，f(X)。，當XX。時，f(X)。，則X。為極小值點；若在X。的兩側(cè)f(X)不變號，則X。不是極值點.c)第二充分條件：f(X)在X。處二階可導(dǎo)，且f(X。)。，f(x0)0,則若f(X。)。，則X。為極大值點；若f(X。)。，則X。為極小值點.3、凹凸性及其判斷，拐點,、X0,X1X2、f(Xi)f(X2)1)f(X)在區(qū)間I上連

9、續(xù)，若X1,X2I,f(y二)'1'2'22,則稱f(X)在,上XX2、f(X1)f(x2)區(qū)間I上的圖形是凹的；若X1,X2I,f(工一)2，則稱f(X)在區(qū)間I上的圖形是凸的.2)判定定理：f(X)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a)若x(a,b),f(X)。,則f(x)在a,b上的圖形是凹的;b)若x(a,b),f(x)。,則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3)拐點：設(shè)yf(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x。是f(x)的內(nèi)點，如果曲線yf(x)經(jīng)過點(x。，f(x。)時，曲線的凹凸性改變了，則稱點(x。，f(x。)為曲線的拐點.(五)不等式證明1、利用微分

10、中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值(最值).(六)方程根的討論1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、Rolle定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性.(七)漸近線1、鉛直漸近線：limf(x)，則xa為一條鉛直漸近線；xa2、水平漸近線：Jimf(x)b，則yb為一條水平漸近線；xf(x)3、斜漸近線：limkhmf(x)kxb存在，則ykxb為一條斜xxX漸近線.(八)圖形描繪步驟：1 .確定函數(shù)yf(x)的定義域，并考察其對稱性及周期性；2 .求f(x),f(x)并求出f(x)及f(x)為零和不存在的點；3 .列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向，求出極值和拐點；4 .求漸近線；5

11、.確定某些特殊點，描繪函數(shù)圖形.四、不定積分(一)概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F(x)f(x),則F(x)稱為f(x)的一個原函數(shù).2、不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.3、基本積分表（P188,13個公式）；4、性質(zhì)（線性性）.（二）換元積分法1、第一類換元法（湊微分）：f（x）（x）dxf（u）duu（x）2、第二類換元法（變量代換）：f（x）dxf（t）出ti（x）（x）（三）分部積分法：udvuvvdu（四）有理函數(shù)積分1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.五、定積分（一）概念與性質(zhì)

12、:b定義：af(x)dxn叫 f( i) xii 12、性質(zhì)：（7條）性質(zhì)7 （積分中值定理）函數(shù)f（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，則a,b,使bf (x)dxf( )(b a)f(x)dx(平均值：f()七)ba（二）微積分基本公式（NL公式）x1、變上限積分：設(shè)（x）afdt,則（x）f（x）d(x)推廣一，、f(t)dtf(x)(x)f(x)(x)dx(x)b2、NL公式：若F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，則af(x)dxF(b)F(a)(三)換元法和分部積分b1、換元法：f(x)dxf(t)(t)dtabbb2、分部積分法：udvuvaavduaa(四)反常積分1、 無窮積分：tf(x)dx

13、limf(x)dxatabbf(x)dxlimtf(x)dx0f(x)dxf(x)dx°f(x)dx2、 瑕積分：bbaf(x)dxlimtf(x)dx(a為瑕點)ataf(x)dxtlimaf(x)dx(b為瑕點)tba兩個重要的反常積分：,p1dx1p1) axp-p1P1(b a)1q1 qdxbdxbdx2) a(xa)qa(bx)q六、定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積b1、直角坐標：Af2（x）fi（x）dxa222、極坐標：A22()1()d（二）體積1、旋轉(zhuǎn)體體積:a）曲邊梯形yf（x）,xa,xb,x軸，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積:b2Vxf(x)dxab)曲邊梯形

14、yf(x),xa,xb,x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積:bVya2xf(x)dx(柱殼法)b2、平行截面面積已知的立體：VA(x)dxa(三)弧長1、直角坐標：sf(x)2dxa:221.2、參數(shù)方程：s<(t)(t)出223、極坐標：sV()()d七、微分方程(一)概念1、微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程.階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù).通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解.(二)變量可分離的方程g(y)dyf(x)dx,兩邊積分g(y

15、)dyf(x)dx(三)齊次型方程dydxdx或以dydy dxdxduu x.dx 'dv y 一dy（四）一階線性微分方程dxP(x)yQ(x)用常數(shù)變易法或用公式:P(x)dxy eP(x)dxQ(x)e dx C（五）可降階的高階微分方程1、y（n）f（x）,兩邊積分n次；2、yf（x,y）（不顯含有y）,令yp,則yp；dp3、yf（y,y）（不顯含有x）,令ypuypdy（六）線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1、乂，丫2是齊次線性方程的解，則Ciyic2y2也是；2、必，丫2是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，則CiyiC2y2是方程的通解；*.3、yayc2y2y為非齊次萬程的通解，其中y1，y2為對應(yīng)齊次萬程的.一*一一線性無關(guān)的解，y非齊次方程的特解.（七）常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程：ypyqy0_2特