2018年秋高中數(shù)學(xué)第一章解三角形階段復(fù)習(xí)課第1課解三角形學(xué)案新人教A版必修5

1、第一課解三角形核心速填1.正弦定理(1)公式表達：abcsinA= sinB= sinC=2R(2)公式變形:a= 2RsinA,b= 2RsinB, c= 2RsinC;a:b:c= sin A: sin B：sinC;2 余弦定理(1)公式表達:a2=b2+c2 2bccos_A,b2=a2+c2 2accos_B,c2=a2+b2 2abcos_C推論：.2,22 2,2.2 2 2 2Ab+car a+cba+bccos A, cos B=, cosC3 .三角形中常用的面積公式1一(i)s= 2ah(h表示邊a上的咼)；1ii(2)S=bcsinA=-acsinB= ;absin C

2、;2221S=歹 2+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).體系構(gòu)建sinabA=2RsinB=2RsinC=2R;a+b+csinA+ sin B+ sina bCsinAsinBcsinC=2RUC忌二耐二聞PRF一、就為仙外接側(cè)前半耗）疋弦定理卜 -；-解三加形一f-1-J 1（已知兩邊及其中一邊的對角,護=0 工+-2 理 COB c2=fl2+62-2afr cosC-、r已知三邊: 邑二色軌（巨血卿邊和它們的夾疵）V 應(yīng)用舉例一髙度冋題:角度網(wǎng)題具他應(yīng)川.題型探究利用正、余弦定理解三角形(1)證明：A= 2B;2a（2） 若厶ABC的面積S=： ,4I類型1|卜例H在厶ABC中,內(nèi)角

3、A,B,C所對的邊分別為a,b, c.已知b+c= 2acosB.解+E) = sin又A,【導(dǎo)學(xué)號：91432090】證明：由正弦定理得sinB+ sinC= 2sinAcosB故 2sinAcosB= sinB+ sin(AB+ sinAcos B+ cosAsinB,于是 sinB=sin(AB).B (0 ,n)，故 0ABn,所以，B=n- (A-B)或B= AB因此A=n（舍去）或A= 2B,所以A= 2Ba21a2由S=：，得；absinC=，故有4241sinBsinC= ?sin 2B=sinBcosB,因為 sinBM0,所以 sinC= cosB,n又 B,C (0 ,n

4、)，所以C=-B.n ,n當(dāng)B+C=3時，A=;當(dāng)C-B=-2 時，A=專.n丫、n綜上，A=?或A=：.已知兩詢猱具中一邊VfriW求角A的大小.7規(guī)律方法解三角形的一般方法：，(1)已知兩角和一邊，如已知An求C由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C應(yīng)先用余弦定理求 求較短邊所對的角，然后利用A+B+ C=n,求另一角.(3) 已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和A,應(yīng)先用正弦定理求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況(4) 已知三邊a、b、c,可應(yīng)用余弦定理求A、B、C跟蹤訓(xùn)練n1.如圖 1-1，在ABC中，/B= ,AB=8，點D在BC

5、邊上，CD=2,在厶ABC中，由余弦定理，得AC=AB+BC 2ABx BCcosBB和c, 由A+B+C=c,再應(yīng)用正弦定理先B,由A+B+ C=n求cosZAD=(1)求 sin /BAD求BD AC的長.解在厶ADC中,因為 cos /ADC=1,所以 sin /ADG4-T3.所以 sin /BAGsin( /ADC-ZB)=sinZADGbosBcosZADCsinB4,311= x_x727(2)在厶ABC中，由正弦定理，得BD=ABsinZBADsinZADB8X3 ,3147=82+522X8X5X - =49.2所以 AG 7.IS2|_判斷三角形的形狀創(chuàng)在厶ABC中，若B=

6、 60, 2b=a+c,試判斷ABC的形狀.思路探究： 利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理，由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀.解 法一：（正弦定理邊化角）由正弦定理,得 2sinB= sinA+ sin C./B= 60,.A+C= 120 2sin 60 = sin(120 -C) + sin C. 展開整理得 fsin C+ cosC= 1. sin(C+ 30 ) = 1./ 0C120,C+ 30= 90. -C= 60，貝V A= 60. ABC為等邊三角形.法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB化簡得(a-c)2= 0.a

7、=c.又B= 60,a=b=c. ABC為等邊三角形.規(guī)律方法根據(jù)已知條件（通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式）判斷三角形的形狀時，需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰 三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解;將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識求解跟蹤訓(xùn)練可有以下兩種解法.法一：（利用正弦定理，將邊化角）bsinBcosCsinB c sin C

8、cosBsinC即 sinCCosC= sinBcosB,即 sin 2C= sin 2 B. B,C均為ABC的內(nèi)角，2C= 2B或 2C+ 2B= 180.即B=C或B+ C= 90. ABC為等腰三角形或直角三角形.法二：（利用余弦定理，將角化邊）bcosC ccosB2 . 2 2a+bc2abb2 2 = _a+cb c2ac即(a2+b2c2)c2=b2(a2+c2b2).2 242 2. 4a cc=a bb,2. 22 24. 4即a bac+cb= 0.a2(b2c2) + (c2b2)(c2+b2) = 0, 即(b2c2)(a2b2c2) = 0.b2=c2或a2b2c=

9、 0,即b=c或a=b2+c2. ABC為等腰三角形或直角三角形.|8，應(yīng)舍去，所以x= 4 3 33.9，即這條公路 的長約為 3.9 km.AB-sinZADB=5= 0.8，所以 cosZCBD=0.6.在厶CBD中，sinZDCB=sin(ZCBDbZBDC=AB5sin(ZCBDF75 ) = 0.8X0.26 + 0.6X0.97 =0.79，由正弦定理得BDCD=sin ZDBXsinZDCB沁3.9.故景點C與景點D之間的距離約為 3.9 km.規(guī)律方法正弦定理、余弦定理在實際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確

10、的示意圖，把已知量和未知量標在示意圖中目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，用哪個定理求解，并進行作答，解題時還要注意近似計算的要求跟蹤訓(xùn)練3 .如圖 1-3 ,a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點 B,C分別在A的正東方 20 km 和 54 km 處.某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8 s 后監(jiān)測點A,20 s 后監(jiān)測點C相繼收到這一信號，在當(dāng)時氣象條件下，聲波在ABD中，由正弦定理得ADsinZABD=ABsinZADB所以 sinZABD=sinZCBD=(1)景區(qū)管委會準備由景點不考慮其他因素，求出這條

11、公在水中的傳播速度是1.5 km/s.設(shè)A到P的距離為xkm，用x表示B, C到P的距離，并求x的值;求靜止目標P到海防警戒線a的距離(精確到 0.01 km).【導(dǎo)學(xué)號：91432092】解由題意得PA- PB=1.5X8= 12(km),PC- PB=1.5X20=30(km). PB= x 12,PC= 18+x.在APAB中，AB=20 km ,同理 cos /PA=72二3x/ cos /PAB=cos /PAC作PDL a于D,在 Rt PDA中,PD=PAJOS/APD=PAJOS/PAB= x-3xJ32 17.71(km).所以靜止目標P到海防警戒線a的距離為 17.71 k

12、m.ABC糞翌織_與三角形有關(guān)的綜合問題探究問題cos/PAB=PA+ABPB=2PA- AB=2x- 203x+ 325x3x+ 325x72 x，解得1321323X+32a圖 1-32 2x+ 20 a1.如圖 1-4 所示， 向量XBW竄的夾角是/B嗎？在厶ABC中， 兩向量KB-AC的數(shù)量積與余弦 定理有怎樣的聯(lián)系？圖 1-4提示：向量ABWBC的夾角是/B的補角，大小為 180/B,由于XB-|AB|CcosA=bccosA.所以XB-民bccosA= 1(b2+c2a2),有時直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題.2 .在解三角形的過程中，求某一個角有時既可以用余弦定

13、理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角，但計算比較復(fù)雜.用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角，避免討論.在厶ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ac,已知BA-BC 2, cosB=3,b= 3.求:(1)a和c的值；(2) cos(BC)的值.【導(dǎo)學(xué)號： 91432093】思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于a,c的方程組即可求解.(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B,C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解.解

14、(1)由E3A-E3C= 2 得cacosB=2.1 又 cosB= 3,所以ac= 6.由余弦定理，得a2+c2=b2+ 2accosB.1_22I 又b= 3，所以a+c= 9+ 2x6x3= 13.ac= 6, 解=2 2a+c= 13,因為ac,所以a= 3,c= 2.在厶ABC中,21Q 座13 = 3 ,由正弦定理，得 sinC=bsinB=2x務(wù)2= 冷2.因為a=bc,所以C為銳角,得F=2,或F=3,c=3c=2.于是 cos(BC) = cosBcosC+ sinBsinC母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“ac,BA- BC=2, cosB=3,b= 3”變?yōu)? A 為銳角且 sinbc= 156.12=bccosA=156X13=144.2.(變條件，變結(jié)論)在“母題探究 1”中再加上條件“cb= 1”能否求a的值？12222I解由余弦定理得a=b+c 2bccosA= (bc) + 2bc(1 cosA) = 1 + 2X156X畐=25, a=對 25=5.規(guī)律方法正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進行了量化，為我們解三角形或求三角 形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通常可以利 用正、余弦定理完成證明、求值等問題.(1) 解三角形