常微分方程試卷及標(biāo)準(zhǔn)答案

1、2010-2011學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試AB卷答案理學(xué) 院 年級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) 專業(yè)填空題(每題4分，共20分)1 .形如y' P(x)y Q(x) ( P(x),Q(x)連續(xù))的方程是一階線性微分方程，它的通解為y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx c .2 .形如y y 0的方程是階齊次(齊次”還是“非齊次”)常系數(shù) 的微分方程，它的特征方程為3 1 0.d n yd n 1 ydy一.一 . 一3 .形如xnd* a1xn1Y LLan1x1dy any 0的方程為 歐拉 方程,可通dxdxdx過(guò)變換x et把它轉(zhuǎn)化成常系數(shù)方程.214. y dx (x

2、1)dy 0,湎足初始條件：x =0, y =1的特解y 1 ln 1 x5. 5.微分方程dy f(x,y),滿足y(%) Yo,R： x x° a, y y° b的解存在且唯 dx一的條件是：f (x, y)在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件一、下列微分方程的解(每題 5分，共30分)1 .包=dx (x y)解：令 x+y=u，貝U dy =du-1 .3dx dxdx u2y-arctg(x+y)=c. .532 . x 4ydx 2xdy y 3ydx 5xdy 0解：兩邊同乘以x2y得:4x3y2dx 2x x(5) 4x 解：特征方程ydy3x2y x 4x 5x

3、2t 3解：特征方程3 4 2 50有根1 0, 21, 3 5齊線性方程的通解為x= Ge t c?e5t c3t .3dx 5x3ydy 0,42,35d x y d x y 042故方程的通解為：x y.3.5兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得dp1 2p - dxdp dx.3解之得x 2p In p 12c,解：令崇p,則y15且 y=x+1也是方程的解,但不是奇解.5.4所以 y 2p p2 In p有三重根0,2,.3故通解為x2tGe2t c?ec4tC5.5又因?yàn)?是特征根，故可以取特解行如% AtBt2代入原方程解得A=,25B=.4.52 c故通斛為x=Gec2e c3t -t6. xy

4、yln y0,初值條件:y(1)=e解：原方程可化為dy 丫” 1dx x分離變量可得& dx .3y ln y x兩邊積分可得ln y cx .4將初值代入上式求得方程的解 ：ln y 2x.5二、求下列方程（組）的通解（每題 10分，共30分）1,求一曲線，使其任一點(diǎn)的切線在 OY軸上的截距等于該切線的斜率.解：設(shè)p（x,y）為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在 p點(diǎn)的切線l在Y軸上的截距為:由題意得即也即兩邊同除以x2,得即即為方程的解。dy y xdxdy y x dx* 1y dx xydx xdy dxydx xdyd(-)d ln xxy cx xln x.3dxx.5.7.10x

5、' x 2yx(0) 32.酒足初值條件y' 4x 3yy(0) 3解:方程組的特征值1 5, 21,.2對(duì)應(yīng)特征值1 5的特征向量U11應(yīng)滿足U2(A41E)U 4Ui對(duì)任意常數(shù)0, u對(duì)應(yīng)特征值(A對(duì)任意常數(shù)U21,得u.421的特征向量V應(yīng)滿足2E)v2V14v20,所以基解矩陣為：(t)5te2e5t(t)(t) 1(t°)5t e2e5tt et e1323v21，得v1313.6.81, e31 ,5t5t2 e32 e35t一 e31 5te31 -e 31 e32e5t4e5t.103.求方程dy dX2x3y2通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第二次近似解.解：令o

6、(X)于是1(X)y。X12X2 (X)dXX,.52 (x)y°X12X 1 314(X)dX 行.10五、應(yīng)用題(10分)33.摩托艇以5米/秒的速度在靜水運(yùn)動(dòng)，全速時(shí)停止了發(fā)動(dòng)機(jī)，過(guò)了 20秒鐘后,艇的速度減至vi 3米/秒。確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運(yùn)動(dòng)速度成正比例。解：Fmadvm ,又 Fkiv ,由此dv mdtdvdtk1vkv.5其中kk1m解之得In vkt c又t 0時(shí),v 5; t 2時(shí),v 3。故得-ln3, 20 5ln5從而方程可化為3 -20v 5()5.7當(dāng)t 2 60 120時(shí)，有v(20) 53吧 (3)2050.2332

7、8 米/秒.8即為所求的確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。.10六、證明題 (10分)1、試證：非齊次線性微分方程組的疊加原理：即：設(shè)X1(t),X2(t)分別是方程組 一一一 一一一xA(t)xf1(t)XA(t)xf2(t)的解，則x(t) x2(t)是方程組x A(t)xf1(t)f2(t)的解.證明：xA(t)x fi(t)(1)x A(t)x f2(t)(2)分別將Xi(t),X2(t)代入(1)和(2) '則 xi A(t)xifi(t)' 一一一X2A(t)x f2(t) .5則 xix2A(t)xi(t)x2fif2xi(t) x2 (t)A(t)xi(t)x2(

8、t)fi(t)f2(t)令 xxi(t) x2(t)t-t t-t1,、，、，、即證 x A(t)xfi(t)f2(t) .i020i0-20ii學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試 B卷答案理學(xué) 院 年級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)一、填空題(每題4分，共20分)i. M(x,y)dx N(x, y)dy 0是恰當(dāng)方程的充要條件是M;y x其通解可用曲線積分表示為M(x,y)dx N M(x, y)dxdy c.y3 .形如y 4y x2的方程是 2階 非齊次(齊次”還是“非齊次")_常系數(shù)的微分方程，它的特征方程的特征根為 2,2 .4 .若 (t),(t)是同一線性方程 / A(t)X的基解方

9、陣，則它們問(wèn)有關(guān)系dt(t) C (t), C為可逆矩陣.5 . 5.微分方程dyf (x,y),滿足y(%) %,R： x x° a, y y°b的解存在且唯dx一的條件是：f (x, y)在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件卜列微分方程的解（每題 5分，共30分）1.電 dx2y y一3x x解:.1得到故udydxdux dxdu-2u1x1u xdxduxdx21即1y.4另外y 0也是方程的解。.5O dy _2. = y sin x dx.dxdx斛： y= e ( sinxe dx c).3=ex-e x( sinx cosx )+c2 1 .=c e - - ( s

10、inx cosx)是原方程的解。2.53. y 3y 。 y設(shè)y t, y 3t2 ；.3dx t-dt 6 t 3dt y t.46t2t2X解為6t 2t23t21C1t.54. y 2y 10y解：特征方程2100有復(fù)數(shù)根113i,1 3i.3.5故通解為 x je t cos3tc?e t sin 3t5. xdy ydx 0 解：原方程可化為dxy 0.5故xy C6. x 6x 8x e2t解：特征方程2 68 0 有根 1 -2, 2 -4.1故齊線性方程的通解為2t4tx= Gec2e.3-2是特征方程的根，故 % Ate 2t代入原方程解得A=.4.5故通解為x=c1et *

11、 5t32t 三、求下列方程（組）的通解（每題 10分，共30分）2 x1.y 2ay aye解：特征方程2 2a a2 0有2重根 -a.2當(dāng)a=-1時(shí)，齊線性方程的通解為S=c1et c2tet,1是特征方程的2重根，故 At2S代入原方程解得A=-2通解為 S=c1et c2tet.6當(dāng)a -1時(shí)，齊線性方程的通解為S=c1eatc2te at1不是特征方程的根，故 AS代入原方程解得A=1(a 1)2故通解為s= c1e atc2te at + 1-2 et(a 1).10dx2 dt .dy dt2x yx 2y求其基解矩陣.解:det (E A)=0得.3對(duì)應(yīng)于1的特征向量為u=對(duì)

12、應(yīng)于2的特征向量為1,3.5v=(23t e.3)e9(2L是對(duì)應(yīng)于 33te-是3)e 3t2的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)基解矩陣3.求方程dy dxy2通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第二次近似解.解：令0(x)于是1(x)V。x1x20 (x)dx2(X)V。x1x12(x)dx1 2 x 2113012,1 -x4120五、應(yīng)用題(10 分)1.求一曲線，過(guò)點(diǎn)(1,1),其任一點(diǎn)的切線在OY軸上的截距等于a2.解：設(shè)p(x,y)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在p點(diǎn)的切線l在Y軸上的截距為:由題意得dy y x -dxdy y x dx.5.10.3兩邊同除以X2,得血方 .5y a x即d In y a2 d ln|x| .7即y ex a2 .8將x 1,y 1代入上式得c a2 1 o .10六、證明題 (10分)1、試證：如果