垂徑定理教學設計(2)

1、垂徑定理（第一課時）教學設計【教學內(nèi)容】§ 24.1.2垂徑定理（初三數(shù)學上冊課本 P81P8【教學目標】1 .知識目標：通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題;掌握輔助線的作法一一過圓心作一條與弦垂直的線段。2 .能力目標：通過定理探究，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力； 向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3 .情感目標：結(jié)合本課教學特點，向?qū)W生進行愛國主義教育和美育滲透；激發(fā)學生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的興趣和欲望?！窘虒W重點】垂徑定理及其應用?！窘虒W難點】垂徑定理的證明。【教學方法】探究發(fā)現(xiàn)法

2、?！窘叹邷蕚洹孔灾频慕叹?、自制課件、實物投影儀、電腦、三角板、圓規(guī)?！窘虒W設計】、實例導入，激疑引趣1 .實例：同學們都學過中國石拱橋這篇課文（初二語文第三冊第一課茅以升），其中介紹了我國隋代工匠李春建造的趙州橋（如圖）。因它位于現(xiàn)在的歷史文化名城河北省趙縣（古稱趙州）而得名，是世界上現(xiàn)存最早、保存 最好的巨大石拱橋，距今已有1400多年歷史，被譽 為“華北四寶之一”，它的結(jié)構(gòu)是當時世界橋梁界的首創(chuàng)，這充分顯示了我國古代勞動人民的創(chuàng)造智慧2.導入：趙州橋的橋拱呈圓弧形的米，拱高（弧的中點到弦AB的距離,也叫弓高)為7.2米。請問：橋拱的半徑(即AB所在圓的半徑)是多少？通過本節(jié)課的學習，我們將

3、能很容易解決這一問題。(圖1)二、嘗試誘導，發(fā)現(xiàn)定理1 .復習過渡：如圖2(a),弓A AB將。分成幾部分？各部分的名稱是什么？如圖2(b),將弦AB變成直徑，O O被分成的兩部分各叫什么?在圖2(b)中，若將。O沿直徑AB對折，兩部分是否重合？(a)(b)(a)(b)(c)(圖2)(圖3)2 .實驗驗證：讓學生將準備好的一張圓形紙片沿任一直徑對折，觀察兩部分是否重合；教師用電 腦演示重疊的過程。從而得到圓的一條基本性質(zhì)一一圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線(或直徑所在的直線)都是它的對稱軸。3 .運動變換：如圖3(a), AB、CD是。的兩條直徑，圖中有哪些相等的線段和相等的弧?如圖3(b

4、),當ABLCD時，圖中又有哪些相等的線段和相等的弧?如圖3(c),當AB向下平移，變成非直徑的弦時，圖中還有哪些相等的線段和相 等的??？止匕外，還有其他的相等關系嗎?4 .提出猜想：根據(jù)以上的研究和圖 3(c),我們可以大膽提出這樣的猜想一一AE BDCD是圓。的直徑c dAC BC(儂中)CD弦AB,垂足為EAd bD5 .驗證猜想：教師用電腦課件演示圖3(c)中沿直徑CD對折，這條特殊直徑兩側(cè)的 圖形能夠完全重合，并給這條特殊的直徑命名為一一垂直于弦的直徑。三、引導探究，證明定理1 .引導證明：猜想是否正確，還有待于證明。引導學生從以下兩方面尋找證明思路。證明"AE=BE&qu

5、ot;，可通過連結(jié)OA、OB來實現(xiàn)，利用等腰三角形性質(zhì)證明。證明“弧相等”，就是要證明它們“能夠完全重合”，可利用圓的對稱性證明。2 .歸納定理：根據(jù)上面的證明，請學生自己用文字語文進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。3 .鞏固定理：在下列圖形(如圖4(a)(d)中，AB是。O的弦，CD是。O的弦，它們是否適用 于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結(jié)論。CACCOOA(b)E是AB中點(a)AB± CD 于 E(c)OC±AB 于 E(d)OE，AB 于 E向?qū)W生強調(diào)BOO輔助線OELABAB的長為8

6、cm學生口述，教師板書分析：因為已知1.運用定理進行計算因為要求半徑，所以還要連結(jié) OAO到AB的距離為3cm”，所以要作O至I AB的距離為3cmA， E 、,E1" BD5中，若。O的半徑為10cm, OE=6cm ,貝U AB=A、 E ，BO E BBEE A、一 , BD-則R、a、d三者之間的關系式是。K變式二！如圖6,在。中，半徑OCLAB,垂足為E,（圖6）（圖7）若 CE=2cm , AB=8cm ,則。的半徑二。思考二：你能解決本課一開始提出的問題嗎？（由學生口述方法）4 .運用定理進行證明K例22已知：如圖7,在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、

7、D兩點。求證：AC = BD。分析：證明兩條線段相等，最常用的方法是什么？用這種方法怎樣證明?（證明 OACzXOBD 或證明 OADzXOBC）此外，還有更簡捷的證明方法嗎？若有，又怎樣證明？（垂徑定理） 證法一：連結(jié)OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”證明。證法二：過點。作OELAB于E,用“垂徑定理”證明。（詳見課本P77例2）注1:通過兩種證明方法的比較，選擇最優(yōu)證法。注2:輔助線“過圓心作弦的垂線段”是第二種證法的關鍵，也是常用輔助線。 思考：在圖7中，若AC=2, AB=10,則圓環(huán)的面積是K變式一R若將圖7中的大圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD ?K變式二R若將圖7

8、中的小圓隱去，還需什么條件， 才能保證AC=BD ?K變式三R將圖7變成圖8 （三個同心圓），你可以 證明哪些線段相等？（圖9）K例31（選講）如圖9, RtABC中，/ACB=90° AC = 3, BC=6五,以C為圓心、CA長為半徑畫弧，交 斜邊AB于D ,求AD的長。（答案：2）略解：過點C作CELAB于E,先用勾股定理求得AB=9,再用面積法求得CE=2<2 ,最后用勾股定理求得 AE=1 ,由垂徑定理得AD=2五、師生小結(jié)，納入系統(tǒng)1定理的三種基本圖形如圖 10、11、12。2 .計算中三個量的關系一一如圖13, R2 d2 （-）2o3 .證明中常用的輔助線一一過圓心作弦的垂線段。（圖 10）（圖 11）（圖 12）（圖 13）六、達標檢測，反饋效果1.（課本P78練習第1題）如圖14,在。的半徑為50mm,弦AB=50mm ,則點O到AB的距離為,/AOB =度。2 .作圖題：經(jīng)過已知。內(nèi)的已知點A作弦,使它以點A為中點（如圖15）。（圖 14）（圖 15）3 .課本P78練習第2題。課堂練習姓名得分1 .如圖，。的半徑為50mm,弓A AB=50mm,則點。到AB的