第八章 第七節(jié)雙曲線

1、第七節(jié) 雙 曲 線1.1.雙曲線的定義雙曲線的定義平面內(nèi)的動點(diǎn)平面內(nèi)的動點(diǎn)M M與兩定點(diǎn)與兩定點(diǎn)F F1 1,F,F2 2 _=2a _=2a (a (a為正常數(shù)為正常數(shù)) )12MFMF2a _2a _1 2FF 0(a0，b0)b0)_(a0_(a0，b0)b0)2222xy1ab2222yx1ab性性質(zhì)質(zhì)對稱性對稱性對稱軸：對稱軸：_對稱中心：對稱中心：_對稱軸：對稱軸：_對稱中心：對稱中心：_范圍范圍_頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)：A A1 1_,A_,A2 2 _頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)：A A1 1_,A_,A2 2_漸近線漸近線_坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸原點(diǎn)原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸原點(diǎn)原點(diǎn) x xa a或或

2、x x-a-ay y-a-a或或yaya(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0(0，-a)-a)byxaayxb(0(0，a)a)性性質(zhì)質(zhì)離心率離心率e=_,e(1,+)e=_,e(1,+)a,b,ca,b,c的關(guān)系的關(guān)系_實(shí)虛軸實(shí)虛軸線段線段A A1 1A A2 2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A|A1 1A A2 2|=_|=_；線段線段B B1 1B B2 2叫做雙曲線的虛軸，它的長叫做雙曲線的虛軸，它的長|B|B1 1B B2 2|=_|=_；a a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b b叫做雙曲線的虛半軸叫做雙曲線的虛半軸長長ca222cab2

3、a2a2b2b判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“”或或“”）. .（1 1）平面內(nèi)到點(diǎn)）平面內(nèi)到點(diǎn)F F1 1(0(0，4),F4),F2 2(0,-4)(0,-4)距離之差等于距離之差等于6 6的點(diǎn)的集的點(diǎn)的集合是雙曲線合是雙曲線.( ).( )（2 2）平面內(nèi)到點(diǎn)）平面內(nèi)到點(diǎn)F F1 1（0 0，4 4）,F,F2 2（0 0，-4-4）距離之差的絕對值）距離之差的絕對值等于等于8 8的點(diǎn)的集合是雙曲線的點(diǎn)的集合是雙曲線.( ).( )（3 3）方程）方程 （mn0)mn0)表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線軸上的雙曲線.( ).( )22xy1mn

4、（4 4）雙曲線方程）雙曲線方程 （m0,n0,0m0,n0,0）的漸近線方程）的漸近線方程是是 即即 ( )( )（5 5）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于 .( ).( )（6 6）若雙曲線）若雙曲線 (a0,b0)(a0,b0)的的離心率分別是離心率分別是e e1 1,e,e2 2, ,則則 （此結(jié)論中兩條雙曲線為共（此結(jié)論中兩條雙曲線為共軛雙曲線）軛雙曲線）.( ).( )2222xymn2222xy0mn ，222222222xyxy1 a0,b 01abba與2212111eexy0.m n【解析】【解析】（1 1）錯誤）錯誤. .由雙

5、曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部而非雙曲線的全部. .（2 2）錯誤）錯誤. .因為因為|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=8=|F|=8=|F1 1F F2 2| |，表示的軌跡為兩條，表示的軌跡為兩條射線射線. .（3 3）錯誤）錯誤. .當(dāng)當(dāng)m0,n0m0,n0時表示焦點(diǎn)在時表示焦點(diǎn)在x x軸上的雙曲線，而軸上的雙曲線，而m0,m0,n0n0,b0)(a0,b0)的漸近線方程為的漸近線方程為 當(dāng)當(dāng)00時，時， 的漸近線的漸近線方程為方程為 即即 同理當(dāng)同理當(dāng)00)(a0)的漸近線方程為的漸近線方程為x x2 2-y-y2 2

6、=0=0即即y=y=x x，顯然兩直線互相垂直，其實(shí)軸、虛軸長均，顯然兩直線互相垂直，其實(shí)軸、虛軸長均為為2a,2a,（6 6）正確）正確. .雙曲線雙曲線 (a0,b0)(a0,b0)的離心率的離心率 同理同理答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (5) (6) (4) (5) (6) c2ac2ae2.aa ，2222xy1ab221cabe,aa2222222222212ab11abe()()1.beeabab，1.1.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-5,0),B(5,0)A(-5,0),B(5,0)，動點(diǎn)，動點(diǎn)M M滿足滿足|MA|-|MB|=6|MA

7、|-|MB|=6，則點(diǎn)則點(diǎn)M M的軌跡方程是的軌跡方程是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 22xy116922xy1(x 4)16922xy191622xy1(x 3)916【解析】【解析】選選D.D.由由|MA|-|MB|=6|MA|-|MB|=6，且，且6|AB|=1060,b0)C: (a0,b0)的離心率的離心率e=2,e=2,且它的一個且它的一個頂點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離為頂點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離為1 1，則雙曲線，則雙曲線C C的方程為的方程為_._.【解析】【解析】由已知由已知 c=2a. c=2a. 又一個頂點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離為又一個頂點(diǎn)到相應(yīng)焦

8、點(diǎn)的距離為1 1，即，即c-a=1. c-a=1. 由由得得a=1,c=2,ba=1,c=2,b2 2=c=c2 2-a-a2 2=4-1=3,=4-1=3,雙曲線雙曲線C C的方程為的方程為答案：答案：2222xy1abce2,a22yx1.322yx13考向考向 1 1 雙曲線的定義雙曲線的定義【典例【典例1 1】（1 1）（）（20122012遼寧高考）已知雙曲線遼寧高考）已知雙曲線x x2 2-y-y2 2=1=1，點(diǎn)，點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P P為雙曲線上一點(diǎn)，若為雙曲線上一點(diǎn)，若PFPF1 1PFPF2 2，則，則|PF|PF1 1|+|PF|

9、+|PF2 2| |的值為的值為_._.（2 2）（）（20132013寶雞模擬）已知定點(diǎn)寶雞模擬）已知定點(diǎn)A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以以C C為一個焦點(diǎn)作過為一個焦點(diǎn)作過A A，B B的橢圓，求另一個焦點(diǎn)的橢圓，求另一個焦點(diǎn)F F的軌跡方程的軌跡方程. .【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】（1 1）解題關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理）解題關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理構(gòu)建關(guān)于構(gòu)建關(guān)于|PF|PF1 1|,|PF|,|PF2 2| |的方程，進(jìn)而求解的方程，進(jìn)而求解. .（2 2）先根據(jù)橢圓的定義得出動點(diǎn)）先根據(jù)橢圓的定義得出動點(diǎn)

10、F F滿足的等式，再根據(jù)三定點(diǎn)滿足的等式，再根據(jù)三定點(diǎn)間關(guān)系，探究出動點(diǎn)間關(guān)系，探究出動點(diǎn)F F與兩定點(diǎn)與兩定點(diǎn)A A，B B的差為常數(shù)，從而用定義的差為常數(shù)，從而用定義法求軌跡方程法求軌跡方程. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）不妨設(shè)）不妨設(shè)|PF|PF1 1|PF|PF2 2|.|.由雙曲線方程由雙曲線方程x x2 2-y-y2 2=1=1知知a=b=1a=b=1，c= c= ，由雙曲線定義得由雙曲線定義得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2 |=2a=2 由已知條件由已知條件PFPF1 1PFPF2 2及勾股定理得及勾股定理得|PF|PF1 1| |2 2+|PF

11、+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=(2c)=(2c)2 2=8 =8 上述兩式上述兩式聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得|PF|PF1 1|= +1,|PF|= +1,|PF2 2|= -1,|= -1,故故|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 .|=2 .答案：答案：2 2 23333（2 2）由橢圓的定義知）由橢圓的定義知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因為又因為A(0,7),B(0,-7),C(12,2),A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以所以|AC|=13,|BC|=15,|AC

12、|=13,|BC|=15,因此因此|AF|-|BF|=2,|AF|-|BF|=2,所以所以F F的軌跡是雙曲線的一支，其中的軌跡是雙曲線的一支，其中c=7,a=1,c=7,a=1,b b2 2=48,=48,因此所求軌跡方程為：因此所求軌跡方程為：22xy1 y1 .48【互動探究】【互動探究】本例題（本例題（1 1）中）中“PFPF1 1PFPF2 2”改為改為“FF1 1PFPF2 2= =6060”，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？【解析】【解析】不妨設(shè)不妨設(shè)|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |，由雙曲線方程由雙曲線方程x x2 2-y-y2 2=1,=1,知知a=b=1,a=b=1, 由雙

13、曲線定義得由雙曲線定義得|PF|PF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a=2,|=2a=2,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4 |=4 又又FF1 1PFPF2 2=60=60, ,由余弦定理得：由余弦定理得：c2,|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-|PF-|PF1 1|PF|PF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |2 2=(2c)=(2c)2 2=8 =8 - -得得|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=4 |=4 代入代入得：得：|PF|PF1 1| |2 2+|

14、PF+|PF2 2| |2 2=4+2|PF=4+2|PF1 1|PF|PF2 2| |=4+2=4+24=12.4=12.|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|= |= 212(|PFPF |)221212|PF|PF |2|PF|PF |12 2 42 5. 【拓展提升】【拓展提升】1.“1.“焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形”中常用到的知識點(diǎn)及技巧中常用到的知識點(diǎn)及技巧（1 1）常用知識點(diǎn)：在）常用知識點(diǎn)：在“焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用理、雙曲線的定義經(jīng)常使用. .（2 2）技巧：經(jīng)常結(jié)合）技巧：經(jīng)常結(jié)合|PF|PF1 1|-|PF

15、|-|PF2 2|2a2a，運(yùn)用平方的方法，運(yùn)用平方的方法，建立它與建立它與|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |的聯(lián)系的聯(lián)系. .2.2.利用雙曲線定義求點(diǎn)的軌跡方程的注意點(diǎn)利用雙曲線定義求點(diǎn)的軌跡方程的注意點(diǎn)特別注意條件特別注意條件“差的絕對值差的絕對值”，弄清所求軌跡是整個雙曲線，弄清所求軌跡是整個雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中準(zhǔn)確限定變量準(zhǔn)確限定變量x(y)x(y)的范圍的范圍. .【變式備選】【變式備選】過雙曲線過雙曲線x x2 2-y-y2 2=8=8的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn)F F1 1有一條弦有一條

16、弦PQPQ交左支于交左支于P P，Q Q兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若|PQ|=7|PQ|=7，F(xiàn) F2 2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PFPF2 2Q Q的周長的周長為為_._.【解析】【解析】因為因為x x2 2-y-y2 2=8=8，所以，所以2a=2a=由題設(shè)及雙曲線的定義得由題設(shè)及雙曲線的定義得:|PF:|PF2 2|-|PF|-|PF1 1|=|=|QF|QF2 2|-|QF|-|QF1 1|=|=4 2，4 2，4 2，所以所以|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|-|PF|-|PF1 1|-|QF|-|QF1 1|=|=即即|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|-

17、|PQ|=|-|PQ|=又因為又因為|PQ|=7|PQ|=7，所以，所以|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|=7+|=7+因此因此, ,PFPF2 2Q Q的周長為的周長為|PF|PF2 2|+|QF|+|QF2 2|+|PQ|=14+|+|PQ|=14+答案：答案：14+14+8 2,8 2,8 2,8 2.8 2考向考向 2 2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)【典例【典例2 2】（1 1）（）（20122012湖南高考）已知雙曲線湖南高考）已知雙曲線C C：(a(a0,b0,b0)0)的焦距為的焦距為1010，點(diǎn)，點(diǎn)P(2,1)P(2,1)在在C C的漸近線

18、上，則的漸近線上，則C C的方的方程為程為( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)2222xy1ab22xy120522xy152022xy1802022xy120 80（2 2）（）（20122012浙江高考改編）如圖，浙江高考改編）如圖，F(xiàn) F1 1,F,F2 2分別是雙曲線分別是雙曲線C C： (a(a0,b0)0,b0)的左、右焦點(diǎn)，的左、右焦點(diǎn)，B B是虛軸的端點(diǎn)，直線是虛軸的端點(diǎn)，直線F F1 1B B與與C C的兩條漸近線分別交于的兩條漸近線分別交于P,QP,Q兩點(diǎn)，線段兩點(diǎn)，線段PQPQ的垂直平分線與的垂直平分線與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)M M，若，若

19、|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |，則，則C C的離心率是的離心率是_._.2222xy1ab【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】（1 1）利用待定系數(shù)法）利用待定系數(shù)法. .先根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，先根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，由焦距為由焦距為1010，求出，求出c=5,c=5,再將再將P(2,1)P(2,1)代入漸近線方程，得代入漸近線方程，得a=2ba=2b，從而由從而由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，求出，求出a a，b b，得方程，得方程. .（2 2）利用雙曲線的簡單性質(zhì)，結(jié)合圖形的特征，通過求）利用雙曲線的簡單性質(zhì)，結(jié)合圖形的特征，通過求PQPQ的的中點(diǎn)，再由中點(diǎn)

20、，再由|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |構(gòu)建關(guān)于構(gòu)建關(guān)于a,b,ca,b,c的方程，進(jìn)而求解的方程，進(jìn)而求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）選）選A. A. 的焦距為的焦距為1010， 又雙曲線漸近線方程為又雙曲線漸近線方程為 且且P(2,1)P(2,1)在漸近線上，在漸近線上， =1 =1，即，即a=2b a=2b 由由解得解得a=2 a=2 ，b= b= ，所以方程為，所以方程為（2 2）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,0);(c,0);B(0,b),B(0,b),點(diǎn)點(diǎn)F F1 1，B B所在

21、直線為所在直線為2222xy1ab22c 5ab byxa，2ba5522xy1.205xy1,cb 雙曲線漸近線方程為雙曲線漸近線方程為 由由得得Q( )Q( )，由，由得得P( ),P( ),線段線段PQPQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為( ).( ).byx,abyx,axy1,cb acbc,c a c abyx,axy1,cb acbc,a c a c222222a cbc,caca由由a a2 2+b+b2 2=c=c2 2得，線段得，線段PQPQ的中點(diǎn)坐標(biāo)可化為的中點(diǎn)坐標(biāo)可化為( )( )，直線直線F F1 1B B的斜率為的斜率為線段線段PQPQ的垂直平分線為的垂直平分線為令令y=0

22、y=0，得，得由由|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2| |得得答案：答案：222a c c,bbbk,c222cca cy(x),bbb2222a ca cxc, M(c,0),bb 222a cFM.b2222222a ca c2c, 3a2c ,bca即236e, e.22 62【拓展提升】【拓展提升】1.1.利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的三種常見類型及相應(yīng)技巧利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的三種常見類型及相應(yīng)技巧(1)(1)當(dāng)已知雙曲線的焦點(diǎn)不明確而又無法確定時，其標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)已知雙曲線的焦點(diǎn)不明確而又無法確定時，其標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為可設(shè)為 這樣可避免討論和復(fù)雜的計算；也可這樣可避

23、免討論和復(fù)雜的計算；也可設(shè)為設(shè)為AxAx2 2+By+By2 2=1(AB =1(AB 0)0)，這種形式在解題時更簡便，這種形式在解題時更簡便. .22xy1 mn 0mn ，(2)(2)當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程bxbxay=0ay=0，求雙曲線方程時，求雙曲線方程時，可設(shè)雙曲線方程為可設(shè)雙曲線方程為 b b2 2x x2 2-a-a2 2y y2 2=(0)=(0)，再根據(jù)其他條件確，再根據(jù)其他條件確定定的值的值. .(3)(3)與雙曲線與雙曲線 有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為 （00），再根據(jù)其他條件確定），再根據(jù)其他條件確定的值

24、的值. .2222xy1ab2222xyab2.2.雙曲線的簡單性質(zhì)的三大關(guān)注點(diǎn)雙曲線的簡單性質(zhì)的三大關(guān)注點(diǎn)（1 1）“六點(diǎn)六點(diǎn)”: :兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn)兩焦點(diǎn)、兩頂點(diǎn)、兩虛軸端點(diǎn). .（2 2）“四線四線”：兩對稱軸（實(shí)、虛軸），兩漸近線：兩對稱軸（實(shí)、虛軸），兩漸近線. .（3 3）“兩形兩形”：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形，雙曲：中心、頂點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形，雙曲線上的一點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形線上的一點(diǎn)（不包括頂點(diǎn)）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形. .3.3.雙曲線的離心率與漸近線斜率的關(guān)系雙曲線的離心率與漸近線斜率的關(guān)系(1)(1)已知雙曲線的離心率已知雙曲

25、線的離心率e e求漸近線方程時要注意求漸近線方程時要注意及判斷焦點(diǎn)的位置及判斷焦點(diǎn)的位置. .(2)(2)已知漸近線方程已知漸近線方程y=mx(my=mx(m0)0)求離心率時，當(dāng)焦點(diǎn)不確定時，求離心率時，當(dāng)焦點(diǎn)不確定時， 因此離心率有兩種可能因此離心率有兩種可能. .【提醒】【提醒】雙曲線中雙曲線中a a，b b，c c之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為c c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,不要和橢圓不要和橢圓之間的關(guān)系混淆之間的關(guān)系混淆. .2be1 ( )abammab或，【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】已知雙曲線的漸近線方程為已知雙曲線的漸近線方程為2x2x3y=0.3y=0.（1 1）求該雙曲

26、線的離心率）求該雙曲線的離心率. .（2 2）若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)）若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P P（ ），求雙曲線的方程），求雙曲線的方程. .【解析】【解析】（1 1）當(dāng)焦點(diǎn)在）當(dāng)焦點(diǎn)在x x軸上時，軸上時，所以所以當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y y軸上時，軸上時，6,2222b2ca4a3a9，即，21313ee93，解得；222b3ca9a2a4，即，所以所以即雙曲線的離心率為即雙曲線的離心率為 或或 . .（2 2）由雙曲線的漸近線方程為）由雙曲線的漸近線方程為2x2x3y=0,3y=0,可設(shè)雙曲線方程為可設(shè)雙曲線方程為4x4x2 2-9y-9y2 2=(0).=(0).雙曲線過點(diǎn)雙曲線過點(diǎn)P( ),P( ),4

27、46-96-94=,=-12,4=,=-12,故所求雙曲線方程為故所求雙曲線方程為4x4x2 2-9y-9y2 2=-12,=-12,即即21313ee42，解得，1321336,222yx1.433考向考向 3 3 雙曲線與直線、其他圓錐曲線的綜合雙曲線與直線、其他圓錐曲線的綜合【典例【典例3 3】（1 1）（）（20132013景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)離心率為景德鎮(zhèn)模擬）設(shè)離心率為e e的雙曲線的雙曲線C C： （a a0 0，b b0 0）的右焦點(diǎn)為）的右焦點(diǎn)為F F，直線，直線l過焦點(diǎn)過焦點(diǎn)F F且斜且斜率為率為k k，則直線，則直線l與雙曲線與雙曲線C C的左、右兩支都相交的充要條件是的左、右

28、兩支都相交的充要條件是 ( )( )(A)k(A)k2 2-e-e2 21 (B)k1 (B)k2 2-e-e2 21 1(C)e(C)e2 2-k-k2 21 (D)e1 (D)e2 2-k-k2 21 12222xy1ab（2 2）（）（20132013蚌埠模擬）已知雙曲線蚌埠模擬）已知雙曲線 （a0,b0a0,b0）的兩條漸近線均和圓的兩條漸近線均和圓C C：x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0相切，且雙曲線與橢圓：相切，且雙曲線與橢圓： 有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_._.【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】（1 1）將直線）將直線l的

29、方程與雙曲線的方程與雙曲線C C的方程聯(lián)立，消去的方程聯(lián)立，消去y y得到關(guān)于得到關(guān)于x x的一元二次方程，只要保證其有相異的兩實(shí)根即可的一元二次方程，只要保證其有相異的兩實(shí)根即可求解求解. .（2 2）先寫出漸近線方程，利用其和圓相切，構(gòu)建關(guān)于）先寫出漸近線方程，利用其和圓相切，構(gòu)建關(guān)于a,ba,b的的方程，再利用與橢圓有相同的焦點(diǎn)得方程，再利用與橢圓有相同的焦點(diǎn)得c,c,從而得解從而得解. .2222xy1ab22xy125 16【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】（1 1）選）選C.C.設(shè)雙曲線設(shè)雙曲線C C的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為F F（c c，0 0），），（其中（其中c c2 2=a=a2 2+b

30、+b2 2），則直線），則直線l的方程為的方程為y=ky=k（x-cx-c），將其代入雙），將其代入雙曲線曲線C C的方程的方程 （a a0 0，b b0 0），并整理得（），并整理得（b b2 2-a-a2 2k k2 2）x x2 2+2a+2a2 2k k2 2cx-acx-a2 2（k k2 2c c2 2+b+b2 2）=0=0由已知直線由已知直線l與雙曲線與雙曲線C C的左、右兩支都相交，所以有的左、右兩支都相交，所以有b b2 2-a-a2 2k k2 20,0,且且2222xy1ab22 22222a k cb0ba k（），即：即：b b2 2-a-a2 2k k2 20 0

31、，又，又b b2 2=c=c2 2-a-a2 2，所以有所以有c c2 2-a-a2 2-a-a2 2k k2 20 0，即：即：c c2 2（1+k1+k2 2）a a2 2，ee2 21+k1+k2 2，得：，得：e e2 2-k-k2 21.1.222cc1 keaa即： ，而，（2 2）圓）圓C C：x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0可化為：可化為：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=4.=4.所以其圓心所以其圓心C(3,0),C(3,0),半徑半徑r=2,r=2,雙曲線雙曲線 的漸近線方程是：的漸近線方程是：bxbxay=0,ay=0,又漸近線與圓相切，所以

32、又漸近線與圓相切，所以 又橢圓又橢圓 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),2222xy1ab223b2ab22xy125 16雙曲線的焦點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)為(-3,0),(3,0),(-3,0),(3,0),即即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2=9 =9 由由得得b=2,c=3,ab=2,c=3,a2 2=5.=5.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：答案：答案：22xy1.5422xy154【拓展提升】【拓展提升】 1.1.解決簡單直線與雙曲線位置關(guān)系問題的方法及相應(yīng)的技巧解決簡單直線與雙曲線位置關(guān)系問題的方法及相應(yīng)的技巧（1 1）通法：將直線）通法

33、：將直線l的方程的方程Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A，B B不同時為不同時為0 0）代入）代入雙曲線雙曲線E E的方程的方程F F（x,y)=0 x,y)=0，消去，消去y y（也可以消去（也可以消去x x）得到一個關(guān)）得到一個關(guān)于變量于變量x x（或變量（或變量y y）的一元二次方程）的一元二次方程. .解此方程或利用根與系解此方程或利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入的思想解題數(shù)的關(guān)系整體代入的思想解題. .（2 2）點(diǎn)差法：在涉及直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)與斜率問）點(diǎn)差法：在涉及直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)與斜率問題時，常把直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作題時，常把直線與圓

34、錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解差后結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. .【提醒】【提醒】利用點(diǎn)差法時，對求出的結(jié)果要驗證其是否滿足相交利用點(diǎn)差法時，對求出的結(jié)果要驗證其是否滿足相交的要求，即的要求，即0.0.2.2.解決雙曲線與圓、橢圓、雙曲線交匯問題的兩大策略解決雙曲線與圓、橢圓、雙曲線交匯問題的兩大策略（1 1）以圖助解，數(shù)形結(jié)合）以圖助解，數(shù)形結(jié)合. .（2 2）各個擊破）各個擊破. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2013(2013陜西師大附中模擬陜西師大附中模擬) )已知雙曲線已知雙曲線E E的中心的中心為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0F(3,0）是）是E E的一個焦

35、點(diǎn)，過的一個焦點(diǎn)，過F F的直線的直線l與與E E相交于相交于A A，B B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且A A與與B B的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為N(-12N(-12，-15-15），則），則E E的方程為的方程為( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D) (C) (D) 22xy13622xy14522xy16322xy154【解析】【解析】選選B.B.方法一：設(shè)雙曲線的方程為方法一：設(shè)雙曲線的方程為 (a0,b0)(a0,b0)，由題意知直線由題意知直線l的斜率為的斜率為 可知直線可知直線l的方程為的方程為y=x-3.y=x-3.聯(lián)立方程得聯(lián)立方程得 整理得整理得(b(b2 2-a-a2 2)x)x

36、2 2+6a+6a2 2x-9ax-9a2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則x x1 1+x+x2 2= = 2222xy1ab15 01,12 32222y x 3,xy1,ab 2226a,ba又又A A與與B B中點(diǎn)中點(diǎn)N N（-12,-15-12,-15）, =-24, =-24,5a5a2 2=4b=4b2 2, ,又又c=3,ac=3,a2 2+b+b2 2=9,=9,可得可得a a2 2=4,b=4,b2 2=5.=5.故雙曲線的方程為故雙曲線的方程為方法二：設(shè)雙曲線的方程為方法二：設(shè)

37、雙曲線的方程為 (a0,b0)(a0,b0)，由題意知，由題意知c=3,ac=3,a2 2+b+b2 2=9=9，設(shè)，設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，則有：，則有：2226aba22xy1.452222xy1ab兩式作差得：兩式作差得：又直線又直線ABAB的斜率是的斜率是所以所以4b4b2 2=5a=5a2 2，將，將4b4b2 2=5a=5a2 2與與a a2 2+b+b2 2=9=9聯(lián)立，聯(lián)立，解得解得a a2 2=4,b=4,b2 2=5=5，所以雙曲線的方程為所以雙曲線的方程為221122222222xy1,abxy1,ab221212

38、221212b xxyy4b,xxa yy5a15 01,12 322xy1.45【易錯誤區(qū)】【易錯誤區(qū)】忽略討論雙曲線的焦點(diǎn)位置致誤忽略討論雙曲線的焦點(diǎn)位置致誤【典例】【典例】（20132013淮南模擬）已知雙曲線淮南模擬）已知雙曲線 (mn(mn0)0)的的一條漸近線方程為一條漸近線方程為 則該雙曲線的離心率則該雙曲線的離心率e e為為_._.【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】 本題易出現(xiàn)的錯誤是誤認(rèn)為焦點(diǎn)在本題易出現(xiàn)的錯誤是誤認(rèn)為焦點(diǎn)在x x軸上，不討軸上，不討論焦點(diǎn)位置而丟解論焦點(diǎn)位置而丟解. .22xy1mn4yx3，【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】當(dāng)當(dāng)m0,n0m0,n0時，時，當(dāng)當(dāng)m0m0，n0n

39、0)0,b0)的的兩頂點(diǎn)為兩頂點(diǎn)為A A1 1,A,A2 2，虛軸兩端點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為B B1 1，B B2 2，兩焦點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為F F1 1,F,F2 2. .若以若以A A1 1A A2 2為直徑的圓內(nèi)切于菱形為直徑的圓內(nèi)切于菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2，切點(diǎn)分別為，切點(diǎn)分別為A,B,C,D.A,B,C,D.則則2222xy1ab（1 1）雙曲線的離心率）雙曲線的離心率e=_.e=_.（2 2）菱形）菱形F F1 1B B1 1F F2 2B B2 2的面積的面積S S1 1與矩形與矩形ABCDABCD的面積的面積S S2 2的比值的比值 =_.=_.【解析】【解析】（1 1）如題干圖：）如題干圖： 化簡得：化簡得：c c4 4-3a-3a2 2c c2 2+a+a4 4=0=0，即，即e e4 4-3e-3e2 2+1=0+1=0，又，又e1,e1,則則2 222OFB11Sbcbc a,2215e.212SS（2 2）由題意知：）由題意知：S S1 1=2bc,=2b