氫原子薛定諤方程的解

1、第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解0)()41(2)(2022rreEmr定態(tài)薛定諤方程為：定態(tài)薛定諤方程為：11.9 氫原子的氫原子的薛定諤方程薛定諤方程的解的解1、 氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子的定態(tài)薛定諤方程rerV2041)( 氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于核不動(dòng)，電氫原子中電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于核不動(dòng)，電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。若其半徑為子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。若其半徑為r，則其勢(shì)能函數(shù)為則其勢(shì)能函數(shù)為由于勢(shì)能只與由于勢(shì)能只與r有關(guān)，是球?qū)ΨQ的，而與方向無(wú)關(guān)，為了有關(guān)，是球?qū)ΨQ的，而與方向無(wú)關(guān)，為了計(jì)算方便，采用球坐標(biāo)。球坐標(biāo)下的拉普拉斯算符為：計(jì)

2、算方便，采用球坐標(biāo)。球坐標(biāo)下的拉普拉斯算符為：第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解在球坐標(biāo)系下：在球坐標(biāo)系下：,cossin rx,sinsin ry,cosrz zryx22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr0)4(2sin1)(sinsin1)(10222222222reEmrrrrrr在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：在球坐標(biāo)系下的薛定諤方程：此偏微分方程可以用分離變數(shù)法化成常微分方程此偏微分方程可以用分離變數(shù)法化成常微分方程求解，即設(shè)求解，即設(shè) 代入上式得：代入上式得：)()()(rR第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程

3、的解氫原子薛定諤方程的解)3(0) 1(242)(1)2(0sin) 1()(sinsin1) 1 (0220222222222RrllmreEmdrdRrdrdrmllddddmddll方程（方程（1）的解為）的解為2, 1, 0)(limmAel方程（方程（2）的解為）的解為)(coscos)cos1 ()(2/2lmmmPddlll由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：由標(biāo)準(zhǔn)化條件決定：l=0,1,2, , 同時(shí)限定給定一同時(shí)限定給定一 lml只能取下列只能取下列2l+1lml2, 1, 0第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解是連帶的勒讓德函數(shù)是連帶的勒讓德函數(shù))(co

4、slP角度部角度部分的解：分的解：imlmmmlmePddNYlll)(coscos)cos1 (),(2/2方程（方程（3）的解為）的解為)2()2(01200narLnareNRllnlnarnlnl其中：其中：Nnl為歸一化常數(shù)，為歸一化常數(shù)， 為一常數(shù)，為一常數(shù)，220mea12 llnL為締合勒蓋爾多項(xiàng)式。為締合勒蓋爾多項(xiàng)式。同時(shí)規(guī)定了同時(shí)規(guī)定了 l 的取值范圍，即對(duì)于某一確定的取值范圍，即對(duì)于某一確定n ,l可能取可能取n個(gè)值：個(gè)值：l=0,1,2,n-1氫原子的波函數(shù)：氫原子的波函數(shù)：),()(),(lmnlnlmYrRr第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原

5、子薛定諤方程的解討論討論n、l、ml 參數(shù)的物理意義參數(shù)的物理意義為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)。為主量子數(shù)或稱能量量子數(shù)。n（1）能量量子化）能量量子化在求解方程（在求解方程（3）時(shí)，電子處于束縛態(tài)時(shí)，）時(shí)，電子處于束縛態(tài)時(shí)，E只能取只能取一些分立的負(fù)值，即：一些分立的負(fù)值，即：, 2 , 1132222024nnmeEn能級(jí)公式能級(jí)公式n=1的能級(jí)稱為基態(tài)能級(jí)的能級(jí)稱為基態(tài)能級(jí)eVmeE6 .1332220241n1的能級(jí)稱為激發(fā)態(tài)能級(jí)的能級(jí)稱為激發(fā)態(tài)能級(jí),取值如下：取值如下：第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解0544. 05/85. 04/51. 13/

6、4 . 32/6 .132152142132121EeVEEeVEEeVEEeVEEeVE如圖所示，如圖所示，n增大時(shí)增大時(shí)， 能級(jí)間隔減??；能級(jí)間隔減小；n很大時(shí)間隔非常小，很大時(shí)間隔非常小，可看成連續(xù)變化。可看成連續(xù)變化。126 534氫原子能級(jí)圖氫原子能級(jí)圖-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子數(shù)主量子數(shù) n第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解（2）角動(dòng)量量子化）角動(dòng)量量子化方程（方程（2）得到的波函數(shù)）得到的波函數(shù) ( )表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量是量子化的，其大小為：量是量子化的，其大小為：1

7、, 2 , 1 , 0) 1(nlllL其中：其中：l 稱為稱為角量子數(shù)或稱副量子數(shù)。用來(lái)描述波函數(shù)角量子數(shù)或稱副量子數(shù)。用來(lái)描述波函數(shù) 的空間對(duì)稱性。的空間對(duì)稱性。 說(shuō)明：說(shuō)明：1、L只能取由只能取由l 決定的一系列分立值，即量子化。決定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的、不同的 n 值，只要值，只要 l=0，則則L=0 3、對(duì)于同一對(duì)于同一n值，值，l 不同時(shí)，不同時(shí)，L有不同的值。所以有不同的值。所以 氫原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須同時(shí)用氫原子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必須同時(shí)用n, l 才能才能 確切地表征。確切地表征。 一般一般s、p、d、f、g等字母表示等字母表示 l=0,1,2, ，顯然，

8、對(duì)于顯然，對(duì)于s 態(tài)的電子來(lái)說(shuō)，其動(dòng)量矩態(tài)的電子來(lái)說(shuō)，其動(dòng)量矩L=0.第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解（3）角動(dòng)量的空間取向量子化）角動(dòng)量的空間取向量子化方程（方程（1）得到的波函數(shù)）得到的波函數(shù) ( )表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)表明：電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量量空間取向空間取向是量子化的，是量子化的，設(shè)：外磁場(chǎng)方向?yàn)樵O(shè)：外磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸方向，軸方向，Lz表示表示L在外場(chǎng)方向投影大小，則在外場(chǎng)方向投影大小，則lmmLllz, 2, 1, 0這里的這里的 ml即為前面講的即為前面講的m，稱為磁量子數(shù)。對(duì)應(yīng)一個(gè)稱為磁量子數(shù)。對(duì)應(yīng)一個(gè) l，ml有有2l+1個(gè)值，即角

9、動(dòng)量的空間取向有個(gè)值，即角動(dòng)量的空間取向有2l+1種可能。種可能。索末菲在索末菲在1915-1916年提出：氫原子中的電子繞核作圓周年提出：氫原子中的電子繞核作圓周軌道運(yùn)動(dòng)，軌道平面在空間的取向不是任意的，而只能取軌道運(yùn)動(dòng)，軌道平面在空間的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，這既是軌道空間量子化假設(shè)。有限的特定方位，這既是軌道空間量子化假設(shè)。第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解如圖，即為如圖，即為n=4(l=0,1,2,3)電子的角動(dòng)量空間取向量子化的電子的角動(dòng)量空間取向量子化的情形情形ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3第十一章第

10、十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解（4）電子自旋）電子自旋 電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫用實(shí)驗(yàn)證明的。在電子具有自旋是由施特恩和蓋拉赫用實(shí)驗(yàn)證明的。在相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，由理論推導(dǎo)電子必須具有自旋；但在非相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，由理論推導(dǎo)電子必須具有自旋；但在非相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，電子的自旋是根據(jù)實(shí)驗(yàn)引進(jìn)的。相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，電子的自旋是根據(jù)實(shí)驗(yàn)引進(jìn)的。KBNSPK原子射線；原子射線；B狹縫；狹縫；NS磁場(chǎng)；磁場(chǎng)；P照相板照相板結(jié)果：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，結(jié)果：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，P上沉積一上沉積一 條正對(duì)條正對(duì)B的痕跡；有外的痕跡；有外 場(chǎng)時(shí)，出現(xiàn)幾條不連場(chǎng)時(shí)，出現(xiàn)幾條不連 續(xù)的線狀痕跡。續(xù)的線狀痕

11、跡。此實(shí)驗(yàn)最初用此實(shí)驗(yàn)最初用s態(tài)銀原子進(jìn)行，態(tài)銀原子進(jìn)行，原子射線分裂為二條，且二原子射線分裂為二條，且二者偏轉(zhuǎn)上下對(duì)稱。者偏轉(zhuǎn)上下對(duì)稱。 因因 s態(tài)原子態(tài)原子l=0本身無(wú)動(dòng)量矩和磁矩。本身無(wú)動(dòng)量矩和磁矩。第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解1925年倫貝克提出：電子不能看成簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷，除年倫貝克提出：電子不能看成簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷，除繞核的磁矩外，還有固有磁矩，該磁矩稱自旋磁矩。繞核的磁矩外，還有固有磁矩，該磁矩稱自旋磁矩。量子力學(xué)的計(jì)算：自旋動(dòng)量矩量子力學(xué)的計(jì)算：自旋動(dòng)量矩S為為為自旋量子數(shù)sssS23) 121(21) 1(自旋動(dòng)量矩也是量子化的，它在外

12、場(chǎng)方向投影自旋動(dòng)量矩也是量子化的，它在外場(chǎng)方向投影Sz只能有如下兩種取值：只能有如下兩種取值：為自旋磁量子數(shù)sssmmmS21第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解確定氫原子的狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)確定氫原子的狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)slmmln、主量子數(shù)主量子數(shù) 決定電子的能量。決定電子的能量。, 3 , 2 , 1n2220421)4(2nheEn) 1( llL角量子數(shù)角量子數(shù) 決定電子軌道角動(dòng)量決定電子軌道角動(dòng)量, 1, 2 , 1 , 0nl磁量子數(shù)磁量子數(shù) 決定軌道角動(dòng)量決定軌道角動(dòng)量的空間取向，的空間取向，, 2, 1, 0lml; lZmL 自旋磁量子數(shù)自

13、旋磁量子數(shù) 決定自旋角動(dòng)量的空決定自旋角動(dòng)量的空間取向，間取向， 。sZmS 21sm為正時(shí)，稱為自旋向上。為正時(shí)，稱為自旋向上。為負(fù)時(shí)，稱為自旋向下。為負(fù)時(shí)，稱為自旋向下。第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解1. 能量量子化能量量子化 能量能量n = 1 ，2 ，3 ， （主量子數(shù)）（主量子數(shù)） 電子云電子云mr101105290 .124rr 139rr 2122042)8(1nEhmenEn電子在這些地方出現(xiàn)電子在這些地方出現(xiàn)的概率最大的概率最大電子云密度電子云密度 概率密度概率密度| | |2玻爾氫原子理論中，電子的軌道位置玻爾氫原子理論中，電子的軌道位置 u 重要結(jié)論重要結(jié)論eVE6 .131rr d42第十一章第十一章 量子物理量子物理氫原子薛定諤方程的解氫原子薛定諤方程的解2. 角動(dòng)量量子化角動(dòng)量量子化 l = 0 ，1 ，2 ， , n-1 角量子數(shù)角量子數(shù)(副量子數(shù)副量子數(shù)) ) 1( llL3. 角動(dòng)量空間量子化角動(dòng)量空間量子化 電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 L 的大小的大小角動(dòng)量角動(dòng)量 L 的在外磁場(chǎng)方向的在外磁場(chǎng)方向Z 的投影的投影l(fā)zmL ml = 0 , 1 , 2 , , l （磁量子數(shù)）（磁量子數(shù)） r 討論討論: l = 0,