高等數(shù)學同濟第六版下冊課后習題答案

1、習題8-11設uab2cva3bc試用a、b、c表示2u3v解2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c2如果平面上一個四邊形的對角線互相平分試用向量證明這是平行四邊形證ABOBOADCOCOD而OCOAODOB所以DCOAOBOBOAAB這說明四邊形ABCD的對邊ABCD且AB/CD從而四邊形ABCD是平行四邊形3把ABC的BC邊五等分設分點依次為D1、D2、D3、D4再把各分點與點A連接試以ABc、BCa表示向量D1A、D2A、D3A、D4A解D1ABABD1c-a52D2ABABD2c-a53D3ABABD3c_a54D4ABABD4c5a4已知兩點Mi(

2、012)和M2(110)試用坐標表示式表示向量M1M2及2MlM2解MJM2(1,1,0)(0,1,2)(1,2,2)2MlM22(1,2,2)(2,4,4)5求平行于向量a(676)的單位向量解|a|,6272(6)211平行于向量a(676)的單位向量為1,6761,676、a(一,一,)或a(,)/,/,/,/,/|a|111111|a|1111116在空間直角坐標系中指出以下各點在哪個卦限？A(123)B(234)C(234)D(231)解A在第四卦限B在第五卦限C在第八卦限D在第三卦限7在坐標面上和坐標軸上的點的坐標各有什么特征？指出以下各點的位置A(340)B(043)C(300)

3、D(010)解在xOy面上點的坐標為(xy0)在yOz面上點的坐標為(0yz)在zOx面上點的坐標為(x0z)在x軸上點的坐標為(x00)在y軸上點的坐標為(0y0)在z軸上點的坐標為(00z)A在xOy面上B在yOz面上C在x軸上D在y軸上8求點(abc)關于(1)各坐標面(2)各坐標軸(3)坐標原點的對稱點的坐標解(1)點(abc)關于xOy面的對稱點為(abc)點(abc)關于yOz面的對稱點為(abc)點(abc)關于zOx面的對稱點為(abc)(2)點(abc)關于x軸的對稱點為(abc)點(abc)關于y軸的對稱點為(abc)點(abc)關于z軸的對稱點為(abc)(3)點(abc

4、)關于坐標原點的對稱點為(abc)9自點Po(xoyozo)分別作各坐標面和各坐標軸的垂線寫出各垂足的坐標解在xOy面、yOz面和zOx面上垂足的坐標分別為(xoyo0)、(0yozo)和(xo0zo)在x軸、y軸和z軸上垂足的坐標分別為(xooo)(oyoo)和(oozo)io過點Po(xoyozo)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面問在它們上面的點的坐標各有什么特點？解在所作的平行于z軸的直線上點的坐標為(xoyoz)在所作的平行于xOy面的平面上點的坐標為(xyzo)11一邊長為a的立方體放置在xOy面上其底面的中心在坐標原點底面的頂點在x軸和y軸上求它各頂點的坐標解因為底面的

5、對角線的長為亞a所以立方體各頂點的坐標分別為(爭,o,o)(2a,o,o)(o,222a,。)(oVa,o)(222a,o,a)(-a,o,a)(o,a,a)(o,£a,a)12求點M(435)到各坐標軸的距離解點M到x軸的距離就是點(435)與點(400)之間的距離即dx、(3)252、34點M到y(tǒng)軸的距離就是點(435)與點(030)之間的距離即dy,4252、,41點M到z軸的距離就是點(435)與點(005)之間的距離即dz.42(3)2513在yOz面上求與三點A(312)、B(422)和C(051)等距離的點解設所求的點為P(0yz)與A、B、C等距離則|PA|232(y

6、1)2(z2)2|PB|242(y2)2(z2)2|PC|2(y5)2(z1)2由題意有|PA|2|PB|2|PC|232(y1)2(z2)2(y5)2(z1)242(y2)2(z2)2(y5)2(z1)2解之得y1z2故所求點為(012)14試證明以三點A(419)、B(1016)、C(243)為頂點的三角形是等腰三角直角三角形解因為|AB|(104)2(11)2(69)27|AC|,(24)2(41)2(39)27|BC|,(210)2(41)2(36)27,2所以|BC|2|AB|2|AC|2|AB|AC|因此ABC是等腰直角三角形15設已知兩點M1(4,拒,1)和M2(302)計算向量

7、M1M2的模、方向余弦和方向角解M1M2(34,0.2,21)(1,<2,1)1MlM2|(1)2(2)212212coscoscos222 J_3 4316設向量的方向余弦分別滿足(1)cos0(2)cos1(3)coscos0問這些向量與坐標軸或坐標面的關系如何？解(1)當cos0時向量垂直于x軸或者說是平行于yOz面(2)當cos1時向量的方向與y軸的正向一致垂直于zOx面(3)當coscos0時向量垂直于x軸和y軸平行于z軸垂直于xOy面17設向量r的模是4它與軸u的夾角是60求r在軸u上的投影解Prjur|r|cos-423218一向量的終點在點B(217)它在x軸、y軸和z軸

8、上的投影依次為447求這向量的起點A的坐標解設點A的坐標為(xyz)由已知得2x41 y47z7解得x2y3z0點A的坐標為A(230)19設m3i5j8kn2i4j7k和p5ij4k求向量a4m3np在x軸上的投影及在y軸上的分向量解因為a4m3np4(3i5j8k)3(2i4j7k)(5ij4k)13i7j15k所以a4m3np在x軸上的投影為13在y軸上的分向量7j習題821設a3ij2kbi2jk求ab及ab(2)(2a)3b及a2b(3)a、b夾角的余弦解(1)ab31(1)2(2)(1)3ijkab3125ij7k121(2)(2a)3b6ab6318a2b2(ab)2(5ij7k

9、)10i2j14kcos(a：b)S；rf76毫2設a、b、c為單位向量且滿足abc0求abbcca解因為abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是abbccag(aabbcc)1(111)23已知Mi(112)、M2(331)和M3(313)求與M1M2、M2M3同時垂直的單位向量解M1M2(31,31,12)(2,4,1)M2M3(33,13,31)(0,2,2)ijknM1M2M2M32416i4j4k022|n|3616162.17e-4(6i4j4k)3(3i2j2k)為所求向量2、17174設質量為100kg的物體從點M1(318)沿直線稱動到點M2(

10、142)計算重力所作的功(長度單位為m重力方向為z軸負方向)解F(0010098)(00980)SM1M2(13,41,28)(2,3,6)WFS(00980)(236)5880(焦耳)5在杠桿上支點。的一側與點。的距離為xi的點Pi處有一與OR成角1的力Fi作用著在O的另一側與點。的距離為X2的點P2處有一與OP2成角1的力Fi作用著問1、2、X1、X2、|Fi|、|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？解因為有固定轉軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零再注意到對力矩正負的規(guī)定可得使杠桿保持平衡的條件為xi|Fi|sin1X2F2|sin20f即xi|Fi|sin1X2F2|sin2X6求

11、向量a(434)在向量b(221)上的投影工-解與。一±Prjbaaeba1b1ab-=1?,(4,3,4)(2,2,1)1(423241)2|b|b|22221237設a(352)b(214)問與有怎樣的關系能使得ab與z軸垂直？解ab(32524)ab與z軸垂abk(32524)(001)0即240所以2當2時ab與z軸垂直8試用向量證明直徑所對的圓周角是直角證明設AB是圓O的直徑C點在圓周上則OBOA|OC|OA|因為ACBC(OCOA)(OCOB)(OCOA)(OCOA)|OC|2|OA|20所以ACBC/C909設已知向量a2i3jkbij3k和ci2j計算(1)(ab)c

12、(ac)b(2)(ab)(bc)(ab)c解(1)ab21(3)(1)138ac21(3)(2)8(ab)c(ac)b8c8b8(cb)8(i2j)(ij3k)8j24k(2)ab3i4j4kbc2i3j3kijk(ab)(bc)344jk233ijk(3)ab2318i5jk113(ab)c81(5)(2)10210 已知 OA i 3j OB j3k 求OAB的面積解 根據向量積的幾何意義|OA OB|表示以OA和OB為鄰邊的平行四邊形的面積于是OAB的面積為S 210A OB|i j k因為 OA OB 1 0 30 1 33i 3j k |OA OB| .( 3)3 ( 3)2 12

13、.19所以三角形 OAB的面積為S 210A OB| <1912試用向量證明不等式|aQ a2b2 a3b3|其中a1、a2、a3、b1、b2、b3為任意實數(shù)并指出等號成立的條件解設a(a1a2a3)b(b1b2b3)則有ab|a|b|cos(a,b)|a|b|于ala2a3b2b2b31a1bla2b2a3bd其中當cos(a：b)1時即a與b平行是等號成立習題831一動點與兩定點(231)和(456)等距離求這動點的軌跡方程解設動點為M(xyz)依題意有(x2)2(y3)2(z1)2(x4)2(y5)2(z6)2即4x4y10z6302建立以點(132)為球心且通過坐標原點的球面方程

14、解球的半徑R<1232(2)2曰4球面方程為(x1)2(y3)2(z2)214即x2y2z22x6y4z03方程x2y2z22x4y2z0表示什么曲面？解由已知方程得(x22x1)(y24y4)(z22z1)141即(x1)2(y2)2(z1)2(2所以此方程表示以(121)為球心以J6為半徑的球面4求與坐標原點。及點(234)的距離之比為12的點的全體所組成的曲面的方程它表示怎樣曲面？解設點(xyz)滿足題意依題意有、x2y2z21(x2)2(y3)2(z4)22化簡整理得(x|)2(y1)2(z4)2罟它表不'以(,1,當為球心以2/l9為半徑的球面3335將zOx坐標面上的

15、拋物線z25x繞x軸旋轉一周求所生成的旋轉曲面的方程解將方程中的z換成Jy2z2得旋轉曲面的方程y2z25x6將zOx坐標面上的圓x2z29繞z軸旋轉一周求所生成的旋轉曲面的方程解將方程中的x換成Jx2一y2得旋轉曲面的方程x2y2z29求所生成的旋轉7將xOy坐標面上的雙曲線4x29y236分別繞x軸及y軸旋轉曲面的方程解雙曲線繞x軸旋轉而得的旋轉曲面的方程為4x29y29z236雙曲線繞y軸旋轉而得的旋轉曲面的方程為4x24z29y2368畫出以下方程所表示的曲面(x|)2y2q)2x2 y2(2) x 1' '49(4)y2z0(5)z2x29指出以下方程在平面解析幾何中

16、和在空間解析幾何中分別表示什么圖形x2解在平面解析幾何中x2表示平行于y軸的一條直線在空間解析幾何中x2表示一張平行于yOz面的平面(2)yx1解在平面解析幾何中yx1表示一條斜率是1在y軸上的截距也是1的直線在空間解析幾何中，yx1表示一張平行于z軸的平面(3)x2y24解在平面解析幾何中x2y24表示中心在原點半徑是4的圓在空間解析幾何中x2y24表示母線平行于z軸準線為x2y24的圓柱面(4)x2y21解在平面解析幾何中x2y21表示雙曲線在空間解析幾何中x2y21表示母線平行于z軸的雙曲面10說明以下旋轉曲面是怎樣形成的或是zOx面上的橢圓2解這是xOy面上的橢圓42二1繞X軸旋轉一周

17、而形成的9v2.21繞X軸旋轉一周而形成的492(2)x2y-z2142或是yOz面上的雙曲解這是xOy面上的雙曲線x2二1繞y軸旋轉一周而形成的42線二z1繞y軸旋轉一周而形成的4(3)x2y2z21或是zOx面上的雙曲線解這是xOy面上的雙曲線x2y21繞x軸旋轉一周而形成的x2z21繞x軸旋轉一周而形成的(4)(za)2x2y2或是yOz面上的曲線解這是zOx面上的曲線(za)2x2繞z軸旋轉一周而形成的(za)2y2繞z軸旋轉一周而形成的11畫出以下方程所表示的曲面(1)4x2y2z24(2)x2y24z24習題841畫出以下曲線在第一卦限內的圖形x2y2a2x2z2a22指出下方程組

18、在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形解在平面解析幾何中y2x3表示直線y5x1與y2x3的交點3,17)在空33間解析幾何中y5xy2x1表不平面y35x1與y2x3的交線它表示過點417o,-,0)并33且行于z軸x2(2)4y解在平面解析幾何中1表示橢圓好式1與其切線y349的交點（03）在x2y2空間解析幾何中79y31表示橢圓柱面1與其切平面y3的交線3分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線2x2y2z2x2z2y2016的柱面方程解把方程組中的x消去得方程3y2z216這就是母線平行于x軸且通過曲線xx?）。16的柱面方程把方程組中的y消去得方程3x22z216這就是母

19、線平行于y軸且通過曲線xx）：2。16的柱面方程4求球面x2y2z29與平面xz1的交線在xOy面上的投影的方程解由xz1得z1x代入x2y2z29得方程2x22xy28這是母線平行于z軸準線為球面x2y2z29與平面xz1的交線的柱面方程于是所求的投影方程為2x22xy28z05將以下曲線的一般方程化為參數(shù)方程x2y2z29yx解將y x代入x2y2z29得2x2z29即f三1(32)23故所求參數(shù)方程為則 z 3sin tcost3y cost z 3sin t(2)(x 1)2 z 0y2 (z 1)2 4解將z0代入(x1)2y2(z1)24得(x1)2y23令x13cost則y*3s

20、int于是所求參數(shù)方程為x1.3costyx3sintz0xacos6求螺旋線yasin在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程zb解由前兩個方程得x2y2a2于是螺旋線在xOy面上的投影曲線的直角坐標方程為x2y2a2z0由第三個方程得z代入第一個方程得bcos-即zbarccos-aba于是螺旋線在zOx面上的投影曲線的直角坐標方程為xzbarccosay0由第三個方程得斛入第二個方程得ysin即zbarcsin?aba于是螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標方程為x0.yzbarcsina7求上半球0zqa2x2y2與圓柱體x2y2ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上的投

21、影解圓柱體x2y2ax在xOy面上的投影為x2y2ax它含在半球0zJ?x2y2在xOy面上的投影x2y2a2內所以半球與圓柱體的公共部分在xOy面上的投影為x2y2ax為求半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影由圓柱面方程x2y2ax得y2axx2代入半球面方程zJa2x2y2得z<a2ax(0xa)于是半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影為0zMa2ax(0xa)即z2axa20xaz08求旋轉拋物面zx2y2(0z4)在三坐標面上的投影解令z4得x2y24于是旋轉拋物面zx2y2(0z4)在xOy面上的投影為x2y24令x0得zy2于是旋轉拋物面zx2y2(0z4)在yOz面

22、上的投影為y2z4習題8 51求過點(3 0令y0得zx2于是旋轉拋物面zx2y2(0z4)在zOx面上的投影為x2z41)且與平面3x7y5z120平行的平面方解所求平面的法線向量為n(375)所求平面的方程為3(x3)7(y0)5(z1)0即3x7y5z402求過點Mo(296)且與連接坐標原點及點Mo的線段OMo垂直的平面方程解所求平面的法線向量為n(296)所求平面的方程為2(x2)9(y9)6(z6)0即2x9y6z12103求過(111)、(222)、(112)三點的平面方程解m(112)(111)(023)n1(112)(222)(310)所求平面的法線向量為ijknn1n202

23、33i9j6k310所求平面的方程為3(x1)9(y1)6(z1)0即x3y2z04指出以下各平面的特殊位置弁畫出各平面(1)x0解x0是yOz平面(2)3y10解3y10是垂直于y軸的平面它通過y軸上的點1(0,1,0)3(3)2x3y60解2x3y60是平行于z軸的平面它在x軸、y軸上的截距分別是3和2(4)x3y0解x73y0是通過z軸的平面它在xOy面上的投影的斜率為空3(5)yz1解yz1是平行于x軸的平面它在y軸、z軸上的截距均為1(6)x2z0解x2z0是通過y軸的平面(7)6x5z0解6x5z0是通過原點的平面5求平面2x2yz50與各坐標面的夾角的余弦解此平面的法線向量為n(

24、221)此平面與yOz面的夾角的余弦為/ni22coscos(n,i)|n|i|,22(2)2113此平面與zOx面的夾角的余弦為coscos(n：j)nj/22|n|j|22(2)2113此平面與xOy面的夾角的余弦為coscos(n：k)-n-k-11|n|k|.22(2)21136一平面過點(101)且平行于向量a(211)和b(110)試求這平面方程解 所求平面的法線向量可取為ijknab211ij3k110所求平面的方程為(x1)(y0)3(z1)0即xy3z407求三平面x3yz12xyz0x2y2z3的交點解解線性方程組x3yz12xyz0x2y2z3得x1y1z3三個平面的交點

25、的坐標為(113)8分別按以下條件求平面方程(1)平行于zOx面且經過點(253)解所求平面的法線向量為j(010)于是所求的平面為0(x2)5(y5)0(z3)0即y5(2)通過z軸和點(312)解所求平面可設為AxBy0因為點(312)在此平面上所以3AB0將B3A代入所設方程得Ax3Ay0所以所求的平面的方程為x3y0(3)平行于x軸且經過兩點(402)和(517)解所求平面的法線向量可設為n(0bc)因為點(402)和(517)都在所求平面上所以向量ni(517)(402)(119)與n是垂直的即b9c0b9c于是n(09cc)c(091)所求平面的方程為9(y0)(z2)0即9yz2

26、09求點(121)到平面x2y2z100的距離解點(121)到平面x2y2z100的距離為d|1222110|1d22222習題861求過點(413)且平行于直線、3孑V的直線方程解所求直線的方向向量為s(215)所求的直線方程為x4y1z32152求過兩點M1(321)和M2(102)的直線方程解所求直線的方向向量為s(102)(321)(421)所求的直線方程為x3y2x13用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線x y z 12x y z 41 1)解平面xyz1和2xyz4的法線向量為ni(1n2(211)所求直線的方向向量為ijksn1n21112ij3k211在方程組Xyz1,中令y0得Xz

27、1,解得x32xyz42xz4z2于是點(302)為所求直線上的點所求直線的對稱式方程為x3yzJ-2彳虧參數(shù)方程為x32tytz23t4求過點(203)且與直線x2y4z70垂直的平面3x5y2z10方程解所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量即ijkn(1,2,4)(3,5,2)12416i14j11k352所平面的方程為16(x2)14(y0)11(z3)02x 2y z 123 ；的夾角16x14y11z6505求直線5x3y3z：0與直線3x2yz0的余弦解兩直線的方向向量分別為ijks15333i4jk321ijks222110i5j10k381兩直線之間的夾角的余弦為cos

28、(s1As2)s j ks2 3 63 9i 3j 15ks 1 1因為S2 3s1所以這兩個直線是平行的7求過點(0 2 4)且與兩平面x 2z 1和y 3z 2平行的直線方程解 因為兩平面的法線向量m (1 0 2)與n2 (0 13)不平行 所以兩平面相交于一直線此直線的方向向量可作為所求周3104(5)(1)1003242(1)2102(5)21026證明直線x_2yzJ與直線3x6y3z8平行2xyz72xyz0解兩直線的方向向量分別為1 jks11213ij5k2 11直線的方向向量s即ijks1022i3jk013所求直線的方程為xy2z4"2T8求過點(312)且通過

29、直線x54y23彳的平面方程解所求平面的法線向量與直線¥一弓的方向向量521si(521)垂直因為點(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法線向量與向量S2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法線向量可取為ijkns1s25218i9j22k142所求平面的方程為8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5909求直線xy3zc0與平面xyz10的夾角xyz0解已知直線的方向向量為ijks(1,1,3)(1,1,1)1132i4j2k2(i2jk)111已知平面的法線向量為n(111)因為sn214(1)(2)(1)0所以sn從而直線xy3zc

30、0與平面xyz10的夾角為0xyz010試確定以下各組中的直線和平面間的關系(1)x道上二z和4x2y2z3()273解所給直線的方向向量為s(273)所給平面的法線向量為n(422)因為sn(2)4(7)(2)3(2)0所以sn從而所給直線與所給平面平行又因為直線上的點(340)不滿足平面方程4x2y2z3所以所給直線不在所給平面上(2)x得.和3x2y7z8327解所給直線的方向向量為s(327)所給平面的法線向量為n(327)因為sn所以所給直線與所給平面是垂直的0、x2y2z3(3)二一七1和xyz33I4解所給直線的方向向量為s(314)所給平面的法線向量為n(111)因為sn311

31、1(4)10所以sn從而所給直線與所給平面平行又因為直線上的點(223)滿足平面方程xyz3所以所給直線在所給平面上11求過點(121)而與兩直線x2yz11n0和2xyz0xyz10xyz0平行的平面的方程解已知直線的方向向量分別為ijks1(1,2,1)(1,1,1)121i2j3k111ijkS1(2,1,1)(1,1,1)211jk111所求平面的法線向量可取為ijkns1s2123ijk011所求平面的方程為(x1)(y2)(z1)0即xyz012求點（120）在平面x2yz10上的投影解平面的法線向量為n（121）過點（120）弁且垂直于已知平面的直線方程為x1y2z1 21將此方

32、程化為參數(shù)方程x1ty22tzt代入平面方程x2yz10中1得(1t)2(22t)(t)10解得t2再將t2代入直線的參數(shù)方程得x5y233332z2于是點(120)在平面x2yz10上的投影為點3(522)2,3,313求點P(312)到直線Xyz1710c的距離2xyz40解已知直線的方向向量為ijks(1,1,1)(2,1,1)1113j3k211過點P且與已知直線垂直的平面的方程為3(y1)3(z2)0即yz10解線性方程組xyz102xyz40yz10得x1y2z2點P(312)到直線xyz1710c的距離就是點P(312)2xyz40與點(1,2,2)間的距離即d;(31)2(12

33、)2(23)3'214設M0是直線L外一點M是直線L上任意一點且直線的方向向量為s試證點M0到直線L的距離|M0Ms|s|解設點M。到直線L的距離為dL的方向向量sMN根據向量積的幾何意義以M0M和MN為鄰邊的平行四邊形的面積為|M0MMN11MoMs|d |MN| d |s|又以M0M和MN為鄰邊的平行四邊形的面積為因此1MoMs|d|s|MoMs|d0|S|一15求直線2x4yoz0八在平面4xyz1上的投影直線3xy2z90的方程解過已知直線的平面束方程為(23)x(4)y(12)z90為在平面束中找出與已知平面垂直的平面令(411)(23412)0即4(23)(1)(4)1(1

34、2)0解之得13將13代入平面束方程中得111117x31y37z1170故投影直線的方程為4xyz117x31y37z117016畫出以下各曲面所圍成的立體圖形(1)x0y0z0x2y13x4y2z120(2)x0z0x1zixJ3y0x2y21（在第一卦限內）x2y2R2y2z2R2（在第一卦限內）(4)x0y0z0總習題八1填空(1)設在坐標系Oijk中點A和點M的坐標依次為(xoyozo)和(xyz)則在Aijk坐標系中點M的坐標為向量OM的坐標為解M(xxoyyozzo)OM(x,y,z)提示自由向量與起點無關它在某一向量上的投影不會因起點的位置的不同而改變(2)設數(shù)1、2、3不全為

35、o使ia2b3co則a、b、c三個向量是的解共面(3)設a(212)b(4110)cba且ac則解3提示因為ac所以ac0又因為由acabaa241(1)210(221222)279所以3(4)設a、b、c都是單位向量且滿足abc0則abbcca3解2提示因為abc0所以(abc)(abc)0即aabbcc2ab2ac2ca0于是abbcca12(aabbcc)1(111)2(5)設|a|3|b|4|c|5且滿足abc0則|abbcca|解36提示c(ab)abbccaabb(ab)(ab)aabbaba3ababbcca131ab|3|a|b|334362在y軸上求與點A(137)和點B(5

36、75)等距離的點解設所求點為M(0y0)則有12(y3)27252(y7)2(5)2即(y3)2(y7)2解得y2所求的點為M(020)3已知ABC的頂點為A(3,2,1)、B(5,4,7)和C(1,1,2)求從頂點C所引中線的長度解線段AB的中點的坐標為(亨,2,22)(4,1,3)所求中線的長度為d . (4 1)2 ( 1 1)2 (3 2)2<304設ABC的三邊BCa、CAb、ABc三邊中點依次為D、E、F試用向量a、b、c表示AD、BE、CF并證明ADBECF0解ADABBDc1a1BEBCCEa1b技2八八1CFCAAFb1c2ADBECF3(abc)-2(cc)05試用向

37、量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊半證明設DE分別為ABAC的中點則有DEAEAD1(ACAB)A且其長度等于第三邊長度的2BCBAACACAB所以DE1BC2從而DE/BC且|DE|2|BC|6設|ab|ab|a(358)解ab(248z)ab(4收2(4)2(8z)2J4解得z17設|a|后|b|1(a：b)-6解|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|ab|2(ab)(ab)|a|2|b/b(11z)求z68z)因為|ab|ab|所以2(6)2(8z)2求向量ab與ab的夾角)|22ab|a|2|b|22|a|b|cos(aAb)312</3cos76)|22ab|a|2|b|

38、22|a|b|cos(aAb)31273cos二16設向量ab與ab的夾角為則2.7cos(ab)(ab)|ab|ab|a|2|b|231|ab|ab|71arccos278 設 a 3b 7a 5b a 4b7a 2b 求(a, b)解所以 即因為 a 3b 7a 5b a 4b 7a 2b(a 3b) (7a 5b) 0 (a7|a2 16ab 15|b|2 04b) (7a 2b) 0 7|a|2 30a b 8|b|2又以上兩式可得|a|b|、2、abcos(a,b)a-b-|a|b|(a，b) w 3設 a (2 1 2) b(11 z)問z為何值時(a,b)最??？并求出此最小值解

39、cos(a, b)|a|b| 3.22zz2因為當0 (a：b)時 cos(a, b)為單調減函數(shù)A求(a,b)的取小值也就是求f (z)1 2z3 . 2 z2的最大值4z(2z2)3/2,A、cos(a,b)色所以(a, b)minarccos二- 24.A_-.-10設團4|b|3(a,b)-求以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積6解(a2b)(a3b)3ab2ba5ba以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積為A1|(a2b)(a3b)|5|ba|5|b|a|sin(a,b)534：3011設a(231)b(123)c(212)向量r滿足rarbPrjcr14求r解設r(xyz)因為r

40、arb所以ra0rb0即2x3yz0x2y3z0又因為Prjcr14所以r-1-c14即|c|2xy2z42解線性方程組2x3yz0x2y3z02xy2z42得x14y10z2所以r(14102)ijk另解因為rarb所以r與ab2317i5jk平行故可設r(751)123又因為Prjcr14所以rc14rc42即|c|(725112)422所以r(14102)12設a(132)b(234)c(3126)證明三向量a、b、c共面并用a和b表小c證明向量a、b、c共面的充要條件是(ab)c0因為ijkab1326i3k234(ab)c(6)(3)012(3)60所以向量a、b、c共面設cab則有

41、(23324)(3126)即有方程組233312246解之得51所以c5ab13已知動點M(x,y,z)至ijxOy平面的距離與嵐M到點(1,1,2)的距離相等求點M的軌跡方程解根據題意有|z|(x1)2(y1)2(z2)2或z2(x1)2(y1)2(z2)2化簡得(x1)2(y1)24(z1)這就是點M的軌跡方程14指出以下旋轉曲面的一條母線和旋轉軸(1)z2(x2y2)zOx面上的曲線z 2X2旋轉軸為z軸X2 (2)36192 36 1解旋轉曲面的一條母線為(3)z2 3(x2 y2)xOy面上的曲線x2361旋轉軸為y軸解旋轉曲面的一條母線為yOz面上的曲線z <3y旋轉軸為z軸

42、解旋轉曲面的一條母線為x2y2z21x144旋轉曲面的一條母線為xOy面上的曲線x21旋轉軸為x軸15求通過點A(300)和B(001)且與xOy面成不角的平面的方程3解設所求平面的法線向量為n(abc)BA(3,0,1)xOy面的法線向量為k(001)按要求有nBA0nkcos|n|k|33ac0即c1,a2b2c22解之得c3ab腐a于是所求的平面的方程為(x3)、.26y3z0即x<126y3z3或x展y3z316設一平面垂直于平面z0并通過從點(1,1,1)到直線yz10的垂線求此平x0面方程解直線yz10的方向向量為s(011)(100)(011)x0設點(1,1, 1)到直線

43、y 0 1 0的垂線交于點(X0 y0 Z0)因為點(x0 y0 Z0)在直線y010 上所以(X0 y0 Z0) (0 y0 y0 1)于是垂線的方向向量為S1(1y01y0)顯然有ss10即y01y00y0從而S1(1,y01,y0)(1,-1,1)所求平面的法線向量可取為111nks1k(ij2k)2ij所求平面的方程為2(x1)(y1)0即X2y1017求過點(1,0,4)且平行于平面3x4yz100又與直線、1早叔相交的直線的方程解過點(1,0,4)且平行于平面3x4yz100的平面的方程為3(x1)4(y0)(z4)0即3x4yz10將直線x13-化為參數(shù)方程x1ty3tz2t代入

44、平面方程3x4yz10112得3(1t)4(3t)2t10解得t16于是平面3x4yz10與直線工工2Z的交點的坐標為(151932)這也112是所求直線與已知直線的交點的坐標所求直線的方向向量為s(151932)(1,0,4)(161928)所求直線的方程為x1yz416192818已知點A(1,0,0)及點B(0,2,1)試在z軸上求一點C使ABC的面積最小解設所求的點為C(00z)則AC(1,0,z)BC(0,2,z1)ijk因為ACBC10z2zi(z1)j2k02z1所以ABC的面積為S2|ACBC|2、.4z2(z1)24令dS1,8z2.10得z1所求點為C(0,0,)dz44z

45、2(z1)245519求曲線2x2y2(x1)2(y,在三個坐標面上的投影曲線的方程1)2解在xOy面上的投影曲線方程為(x1)2(y1)22x2y2z0在zOx面上的投影曲線方程為22x2y2xyz0z(x1)2(.2x2z1)2y02x22xzy0z24x3z20在yOz面上的投影曲線方程為z(,2y2z1)2(y1)2x02y22yzz24y3z20x020求錐面z7x2y2與柱面z22x所圍立體在三個坐標面上的投影解錐面與柱面交線在xOy面上的投影為zx0x2 y2 即(x 1)2 z 0y2 1所以 立體在xOy面上的投影為(x 1)2 y2 1 z 0錐面與柱面交線在yOz面上的投

46、影為z居z2)2y2即W2)2y21x0x0z2所以立體在yOz面上的投影為（521Vy1x0錐面z&y2與柱面z22x與平面y=0的交線為|x|和zV2x0y0所以立體在zOx面上的投影為z2x021畫出以下各曲面所圍立體的圖形拋物柱面2y2x平面z0及：2"51(2)拋物柱面x21z平面y0z0及xy1圓錐面z衣二刀2及旋轉拋物面z2x2y2(4)旋轉拋物面x2y2z柱面y2x平面z0及x1習題911判定以下平面點集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？弁分別指出它們的聚點所成的點集(稱為導集)和邊界(1)(xy)|x0y0解開集無界集導集為R2邊界為(xy)|x0或

47、y0(2)(xy)|1x2y24解既非開集又非閉集有界集導集為(xy)|1x2y24邊界為(xy)|x2y21或x2y24(3)(xy)|yx2解開集區(qū)域無界集導集為(xy)|yx2邊界為(xy)|yx2(4)(xy)|x2(y1)21(xy)|x2(y2)24解閉集有界集導集與集合本身相同邊界為(xy)|x2(y1)21(xy)|x2(y2)242已知函數(shù)f(x,y)x2y2xytanx試求f(txty).y解f(tx,ty)(tx)2(ty)2(tx)(ty)(tan't2(x2y2xytanx)t2f(x,y)3試證函數(shù)F(xy)Inxlny滿足關系式F(xyuv)F(xu)F(

48、xv)F(yu)F(yv)證明F(xyuv)ln(xy)ln(uv)(InxIny)(lnuInv)InxInuInxInvInyInuInyInvF(xu)F(xv)F(yu)F(yv)4已知函數(shù)f(uvw)uwwuv試求f(xyxyxy)解f(xyxyxy)(xy)xy(xy)(xy)(xy)(xy)xy(xy)2x5求以下各函數(shù)的定義域(1)zln(y22x1)解要使函數(shù)有意義必須y22x10故函數(shù)的定義域為D(xy)|y22x10(2)z1-1xy,xy解要使函數(shù)有意義必須xy0xy0故函數(shù)的定義域為D(xy)|xy0xy0(3)z,x、V解要使函數(shù)有意義必須y0xVy0即xVy于是有

49、x0且x2y故函數(shù)定義域為D=(xy)|x0y0x2yzln(yx)1xxy2解要使函數(shù)有意義必須yx0x01x2y20故函數(shù)的定義域為D=(xy)|yx0x0x2+y21(5)uR2x2y2z22122(Rr0)x2y2z2r2解要使函數(shù)有意義必須R2x2y2z20且x2+y2+z2r20故函數(shù)的定義域為D=(xyz)|r2x2+y2+z2R2(6)uarccos2z2x2y2解要使函數(shù)有意義必須x2+y20且|/z1即z2x2+y2,x2y2故函數(shù)定義域為D=(xyz)|z2x2+y2x2+y206求以下各極限1xy(1) lim7-(x,y)(0,1)x2ylim1 xy(x,y) (0

50、,1) x22y2ln(xey)(2) lim(x,y)(1,0).'x2y2ln(x ey)(x, y) (1,0) , x2 y2ln22，xy4(3) lim'(x,y)(0,0)xy2、,xy4(2.xy4)(2xy4)解limlim-(x,y)(0，0)xy(x,y)(Q0)xy(2,.xy4)(J)%。)(2.xy4)xy(4) lim')(x,y)(0,0)xy11解（枷。,。）,x11(x,y)lim(0,0)xy(工xy_1_1)(、xy11)(vxy11)xy(.xy11)lim一(x,y)(Q0)xy(瞧,0)兩11)2(J)%sin(xy)解（枷2,0）ysin(xy)y(J九)”22(”,0)1cos(