上海交通大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)二維rv條件分布

1、3.2 二維二維 r.v.的條件分布的條件分布, 2 , 1,),(jipyYxXPijji設(shè)二維離散型 r.v. ( X ,Y )的分布若0)(1jijiipxXPp則稱(chēng)iijijippxXPyYxXP)(),(為為在在 X = xi 的條件下的條件下, Y 的條件分布律的條件分布律, 2 , 1j)(ijxXyYP記作二維離散 r.v.的條件分布律 若, 0)(1iijjjpyYPp則稱(chēng)jijjjippyYPyYxXP)(),(為在 Y = yj 的條件下X 的條件分布律, 2 , 1i)(jiyYxXP記作類(lèi)似乘法公式)()(),(ijijixXyYPxXPyYxXP)()(jijyYx

2、XPyYP或, 2 , 1,ji類(lèi)似于全概率公式),()(11jjijijiyYxXPpxXP)()(1jjjiyYPyYxXP, 2 , 1i),()(11ijiiijjyYxXPpyYP)()(1iiijxXPxXyYP, 2 , 1j例例1 1 把三個(gè)球等可能地放入編號(hào)為 1, 2, 3 的三個(gè)盒子中, 每盒可容球數(shù)無(wú)限. 記 X 為落入 1 號(hào)盒的球數(shù), Y 為落入 2 號(hào)盒的球數(shù)，求(1) 在Y = 0 的條件下，X 的分布律；(2) 在 X = 2 的條件下，Y 的分布律.解解 先求聯(lián)合分布，)()(),(iXjYPiXPjYiXPjijjiiiiCC333321213231; 3

3、 , 2 , 1 , 0;3 , 0iij其聯(lián)合分布與邊緣分布如下表所示XY pij0 1 2 3012327127127127191912710009191009191920pi278278929294941p j X ) 0( YiXP0 1 2 38 / 18/ 38 / 18/ 3將表中第一行數(shù)據(jù)代入得條件分布) 0() 0,() 0(YPYiXPYiXP27/ 8) 0,(YiXP3 , 2, 1 , 0i(1) Y ) 2(XjYP 0 12/ 12/ 1(2) 當(dāng) X = 2 時(shí)，Y 只可能取 0 與 1.將表中第三列數(shù)據(jù)代入下式) 2(XjYP,9/2), 2(jYXP1 ,

4、0j得Y 的條件分布解解例例2 2 已知一射手每次擊中目標(biāo)概率為 p ( 0 p 0, 則稱(chēng)dyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYxxYduyfyuf)(),(為Y = y 時(shí)，X 的條件分布函數(shù), 記作()XYFx y定義定義xYduyfyuf)(),(類(lèi)似地, 稱(chēng)yXdvxfvxf)(),(為X = x 的條件下Y 的條件分布函數(shù); ()Y XFy x( , )( )Xf x yfx為 X = x 的條件下Y 的條件 p.d.f.)( xyfXY( ,)( )Yf x yfy稱(chēng)為 Y = y 的條件下 X 的條件 p.d.f.)( yxfYX稱(chēng)注意注意y是常數(shù), 對(duì)每一

5、fY (y) 0 的 y 處, 只要),( xyFXY)( xyfXY相仿論述.0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXY),( yxFYX)( yxfYX僅是 x 的函數(shù), 類(lèi)似于乘法公式：符合定義的條件, 都能定義相應(yīng)的函數(shù).類(lèi)似于全概率公式dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()(類(lèi)似于Bayes公式)(),(yfyxfY)( yxfYX)()()(yfxfxyfYXXY)(),(xfyxfX)( xyfXY)()()(xfyfyxfXYYX例例3 已知(X,Y )服從圓域 x2

6、+ y2 r2 上的均勻分布,求),( yxfYX).( xyfXYr解解其他, 0,1),(2222ryxryxfdyyxfxfX),()(rxrdyrxrxr,12222222xr 22xr x其他, 0,2222rxrrxr-r其他, 0=同理，dxyxfyfY),()(其他, 0,2222ryrryr邊緣分布不是均勻分布！)(),(yfyxfY)( yxfYX當(dāng) r y r 時(shí)，其他, 0,21222222yrxyryr22yr 22yr y 這里 y 是常數(shù)，當(dāng)Y = y 時(shí)，2222,yryrUX)(),(xfyxfX)( xyfXY當(dāng) r x r 時(shí)，其他, 0,21222222

7、xryxrxr 這里 x 是常數(shù)，當(dāng)X = x 時(shí)，2222,xrxrUY22xr 22xr x例例4 已知;,;,),(222211NYX求)( yxfYX解解)( yxfYX)(),(yfyxfY222222222121212122)(2)()(2)()1 (2122121121yyyxxee)()()1 (21212211221121yxe同理，)( xyfXY)1 (),(2221122xN)1 (),(2212211yN)( yxfYX例例5 設(shè)其他, 010 ,0,8),(yyxxyyxf求)( yxfYX)(,xyfXY解解y = x11其他, 010,8)(1xxydyxfxX

8、其他, 010),1 (42xxxy = x11其他, 010,8)(0yxydxyfyY其他, 010,43yy當(dāng)0 y 1 時(shí)，)( yxfYX)(),(yfyxfYy其他, 00,22yxyx當(dāng)0 x 0 時(shí)，即 0 x 1 時(shí)，其他, 01,8yxxy當(dāng)f X(x) = 0 時(shí)，f (x,y) = 0故其他, 010 ,0,8),(yyxxyyxfx + y =1) 1(YXP)5 . 0(YP1y = x10.5yyxydxdy115 . 0865y = x110.521008yxydxdy1612132XYPy = x110.5323221dyyfXY322125 . 012dyy

9、322138dyy277876. 6 腳印長(zhǎng)度身高算出罪犯的身高. 這個(gè)公式是 公安人員根據(jù)收集到的罪犯腳印，通過(guò)公式 由腳印估計(jì)罪犯身高 如何推導(dǎo)出來(lái)的?顯然，兩者之間是有統(tǒng)計(jì)關(guān)系的，故X設(shè)一個(gè)人身高為 ,腳印長(zhǎng)度為 .Y 由于影響人類(lèi)身高與腳印的隨機(jī)因素是大量的、相互獨(dú)立的，且各因素的影響又是微小的,可以疊加的. 故),(YX應(yīng)作為二維隨機(jī)變量 來(lái)研究. 由中心極限定理知 可以近似看),(YX. );,(222211uuN成服從二維正態(tài)分布;,;,222211uu其中參數(shù) 因區(qū)域、民族、生活習(xí)慣的不同而有所變化 ，但它們都能通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法而獲得.密度為現(xiàn)已知罪犯的腳印長(zhǎng)度為 , 要y估計(jì)其身高就需計(jì)算條件期望 , 條件)(),()|(|yfyxfyxfYYX 的密度函數(shù), 因此 )1 (),(221