高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體錐體球體的體積課件1

1、祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積 祖暅祖暅, ,字景爍，祖沖之之子，字景爍，祖沖之之子，范陽(yáng)郡薊縣人（今河北省淶源縣范陽(yáng)郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家。人），南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家。祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5 5世紀(jì)末提出世紀(jì)末提出了體積的計(jì)算原理。祖暅原理：了體積的計(jì)算原理。祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異冪勢(shì)既同，則積不容異”?！皠?shì)勢(shì)”即是高，即是高，“冪冪”即是面積。即是面積。祖暅原理 “冪勢(shì)既同，則積不容異冪勢(shì)既同，則積不容異” 夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，

2、被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。祖暅原理 祖暅原理的提出要比其他國(guó)家的祖暅原理的提出要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年。在歐洲直到數(shù)學(xué)家早一千多年。在歐洲直到1717世世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出上述結(jié)論。上述結(jié)論。祖沖之父子是祖沖之父子是我們中華民族的我們中華民族的驕傲和自豪驕傲和自豪祖暅原理 “冪勢(shì)既同，則積不容異冪勢(shì)既同，則積不容異” 設(shè)有底面積都等于設(shè)有底面積都等于S S，高都等，高都等于于h h的任意

3、一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一平個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一平面內(nèi)。你能得到什么結(jié)論？面內(nèi)。你能得到什么結(jié)論？由祖暅原理可得：V柱體=Sh 其中S 是柱體的底面積， h是柱體的高。例例: : 如圖，是某幾何體的三視圖。由祖暅原理知：如圖，是某幾何體的三視圖。由祖暅原理知：“冪勢(shì)既冪勢(shì)既同，則積不容異同，則積不容異”。已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何。已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足體滿足“冪勢(shì)同冪勢(shì)同”，求該不規(guī)則幾何體的體積。，求該不規(guī)則幾何體的體積。( (圖中所給圖中所給長(zhǎng)度均為厘米長(zhǎng)度均為厘米) ) 解：解：-82121-2-

4、23半個(gè)圓柱正方體VVV所以某不規(guī)則幾何體的體積是以8-立方厘米 設(shè)有底面積都等于設(shè)有底面積都等于S S，高都等于，高都等于h h的兩個(gè)的兩個(gè)錐體（如圖：一個(gè)棱錐和一個(gè)圓錐），使它們的錐體（如圖：一個(gè)棱錐和一個(gè)圓錐），使它們的下底面在同一平面內(nèi)。你能得到什么結(jié)論？下底面在同一平面內(nèi)。你能得到什么結(jié)論？等底面積等高的兩等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等個(gè)錐體的體積相等如何把一個(gè)三棱柱分割成三個(gè)等體積的棱錐？ 結(jié)論：對(duì)于一個(gè)任意的錐體，設(shè)它的底面積為S，高為h，那么它的體積應(yīng)等于一個(gè)底面積為S，高為h的三棱錐的體積。即shV31錐體例：三個(gè)直角三角形如圖放置，它們圍繞固例：三個(gè)直角三角形如圖放置，它

5、們圍繞固定直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，求出該幾何體定直線旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，求出該幾何體的體積（圖中的長(zhǎng)度單位是厘米）。的體積（圖中的長(zhǎng)度單位是厘米）。先研究半球的體積思考：如何找到一個(gè)與半球等體積的“替代品”呢？結(jié)論結(jié)論 半徑為半徑為R R的球的球 的體積公式是的體積公式是334RV球例: 一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都是一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)都是 厘米，四厘米，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，求此球的體積。個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，求此球的體積。2課堂練習(xí)某幾何體的三視圖如圖，求該幾何體的體積。某幾何體的三視圖如圖，求該幾何體的體積。( (圖中所給數(shù)字單位為厘米圖中所給數(shù)字單位為厘米) )338 16322314222V解：所以該幾何體的體積是所以該幾何體的體積是33816課堂小結(jié)總結(jié)一下你在本節(jié)課中獲得的知識(shí)和學(xué)習(xí)心得祖暅原理柱、錐、球的體積公式布置作業(yè)布置作業(yè)例：三棱錐例：三棱錐P-ABCP-ABC三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的體積。求它外接球的體積。2 2、三棱錐、三棱錐P-ABCP-ABC中側(cè)棱中側(cè)棱PAPA長(zhǎng)為長(zhǎng)為3 3且垂直于底面且垂直于底面ABCABC，底面是邊長(zhǎng)為底面是邊長(zhǎng)為2 2的正三角形，求這個(gè)三棱錐外接球的正三