回歸分析的基本知識點(diǎn)及習(xí)題

1、回歸分析的基本知識點(diǎn)及習(xí)題本周難點(diǎn)：(1)求回歸直線方程，會用所學(xué)的知識對實(shí)際問題進(jìn)行回歸分析(2)掌握回歸分析的實(shí)際價值與基本思想(3)能運(yùn)用自己所學(xué)的知識對具體案例進(jìn)行檢驗(yàn)與說明(4)殘差變量的解釋；(5)偏差平方和分解的思想；1 .回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點(diǎn)圖(由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系)，若存在線性相關(guān)關(guān)系-求回歸系數(shù)-寫出回歸直線方程，并利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測說明.2 .回歸分析：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用

2、方法。建立回歸模型的基本步驟是：確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；畫好確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(線性關(guān)系)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型.按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(最小二乘法)；得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否有誤，后模型是否合適等4.殘差變量它的主要來源：(1)用線性回歸模型近似真實(shí)模型(真實(shí)模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實(shí)模型到底是什么)所引起的誤差。可能存在非線性的函數(shù)能夠更好地描述T與矛之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果就會產(chǎn)生誤差。這種由于模型近似所引起的誤差包含在白中(2)忽略了

3、某些因素的影響。影響變量少的因素不只變量近一個，可能還包含其他許多因素(例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等其他因素的影響)，但通常它們每一個因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在日中。(3)觀測誤差。由于測量工具等原因，得到的少的觀測值一般是有誤差的(比如一個人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會得到不同的觀測值，它們與真實(shí)值之間存在誤差)，這樣的誤差也包含在上面三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講1為研究某市家庭平均收入與月平均生活支出的關(guān)系，該市統(tǒng)計部門隨機(jī)調(diào)查了書中。家庭編號12345678910Xi(

4、收入)千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8V、(支出)千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.510個家庭，得數(shù)據(jù)如下:判斷家庭平均收入與月平均生活支出是否相關(guān)?若二者線性相關(guān)，求回歸直線方程.(1)作出散點(diǎn)圖：(1)(2)解貝立業(yè)11rH2JC03F223i*平出收元觀察發(fā)現(xiàn)各個數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)都在一條直線附近，所以二者呈線性相關(guān)關(guān)系，一、1_(2)x=(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,101,_、一y=_(0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5)

5、=1.42,10n“xiyi-nx"1?=!=0.8136,?=1.42-1.74X0.81360.0043,:回歸方程y?=0.8136x+0.0043.Xi2_nx2i12下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù).(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;x3456y2.5344.5(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程？=?x+a?;(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？解(1)散點(diǎn)

6、圖如下圖：-3456/口-2.5344.5Q口(2)x=4.5,y=3.54444Vxiyi=3X2.5+4X3+4X5+6X4.5=66.5.工x2=32+42+52+62=86i1i14xiyi-4x*y.4=66.5-43.54.5=07U42.42286-44.52、xi-4xi生a?=y-?x=3.5-0.7X4.5=0.35.;所求的線性回歸方程為？=0.7x+0.35.(3)現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤y=0.7X100+0.35=70.35,;降低90-70.35=19.65(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤.3科研人員為了全面掌握棉花新品種的生產(chǎn)情況，查看了氣象局對該地區(qū)年降雨量與年平均氣溫的統(tǒng)計數(shù)

7、據(jù)(單位分別是計.mm,C),并作了統(tǒng)年平均氣溫12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量748542507813574701432(1)試畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系解(1)作出散點(diǎn)圖如圖所示，MH!洲由MWMm1*I1八，1153中F百二*t(2)由散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)并不在一條直線附近，所以兩個變量是非線性相關(guān)關(guān)系.4在研究硝酸鈉的可溶性程度時，對于不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得觀測結(jié)果如下:溫度(x)010205070溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0由資料看y與x呈線性相關(guān)，試求回歸方程.66.776.085

8、.0112.3128.0解x=30,y=93.6.55、Xiyi-5X*y?=烏=0.8809.?=y-b?X=93.6-0.8809X30=67.173.5Xi2_5X2i4;回歸方程為?=0.8809x+67.173.5.某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下:月份產(chǎn)量(千件)單位成本(元)127323723471437354696568(1)求出線性回歸方程；(2)指出產(chǎn)量每增加1000件時，單位成本平均變動多少?(3)假定產(chǎn)量為6000件時，單位成本為多少元？66y=71,9.x2=79,Xiyi=1481,i1i166解（1）n=6,XLXi=21,工yi=426,X=3.5,i1i

9、161481-63.571_=-1.82.一_279-63.52:Xiyi-6X*y?=36x2-6X2i1,?=y-|?X=71+1.82X3.5=77.37.回歸方程為？=a?+?x=77.37-1.82x.(2)因?yàn)閱挝怀杀酒骄儎樱?-1.82<0,且產(chǎn)量x的計量單位是千件，所以根據(jù)回歸系數(shù)b的意義有：產(chǎn)量每增加一個單位即1000件時，單位成本平均減少1.82元.(3)當(dāng)產(chǎn)量為6000件時，即x=6,代入回歸方程：7=77.37-1.82X6=66.45(元)當(dāng)產(chǎn)量為6000件時，單位成本為66.45元.1 .觀察下列散點(diǎn)圖，則正相關(guān)；負(fù)相關(guān)；不相關(guān).它們的排列順序與圖形對應(yīng)順序

10、是.答案a,c,b2 .回歸方程？=1.5x-15,則下列說法正確的有個.y=1.5x-1515是回歸系數(shù)a1.5是回歸系數(shù)ax=10時，y=0答案13 .（2009.湛江模擬）某地區(qū)調(diào)查了29歲兒童的身高，由此建立的身高y（cm）與年齡x（歲）的回歸模型為y?=8.25x+60.13,下列敘述正確的是.該地區(qū)一個10歲兒童的身高為142.63cm該地區(qū)29歲的兒童每年身高約增加8.25cm該地區(qū)9歲兒童的平均身高是134.38cm利用這個模型可以準(zhǔn)確地預(yù)算該地區(qū)每個29歲兒童的身高答案4 .某人對一地區(qū)人均工資x（千元）與該地區(qū)人均消費(fèi)y（千元）進(jìn)行統(tǒng)計調(diào)查，y與x有相關(guān)關(guān)系，得到回歸直線方

11、程7=0.66x+1.562.若該地區(qū)的人均消費(fèi)水平為7.675千元，估計該地區(qū)的人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為.答案83%885.某化工廠為預(yù)測產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對觀測值，計算，得£xi=52,£yi=228,yid88£xi2=478,Zxiyi=1849,則其線性回歸方程為i1i1答案？=11.47+2.62x6 .有下列關(guān)系：人的年齡與他（她）擁有的財富之間的關(guān)系；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系.其中，具有相關(guān)關(guān)系的是.答案

12、7 .已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0若y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，則回歸直線方程y>=t?x+a>表示的直線一定過定點(diǎn).答案（4,5）二、解答題8 .期中考試結(jié)束后，記錄了5名同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：、一-學(xué)生學(xué)科J-、ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462（1）數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系嗎？（2）請你畫出兩科成績的散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖，認(rèn)識（1）的結(jié)論的特點(diǎn)解（1）數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系.（2）以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如

13、下：'*號Eli噫axim由散點(diǎn)圖可以看出，物理成績和數(shù)學(xué)成績對應(yīng)的點(diǎn)不分散，大致分布在一條直線附近9.以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積x（m2）11511080135105銷售價格y（萬元）24.821.618.429.222（1）畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖;（2）求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線解（1）數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：訕在做*142?n驪ino13。15n<5、Xiyi-5X兩?=2-0.19625工-Xi2_5X2i455(2)x=109,y=23.2,、x2=60975,為yi=12952,i1i4a?=y-bX=1.8142

14、?=0.1962x+1.8142.10.某公司利潤y與銷售總額x（單位：千萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):X10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求回歸直線方程；(3)估計銷售總額為24千萬元時的利潤.解(1)散點(diǎn)圖如圖所示：劇得了1*K|，一14一一一一一一一(2)X=1(10+15+17+20+25+28+32)=21,77廠夫+1.8®2,2.7,'Xi'd+Hm20*5%28%3*3447,i17£Xiyi=10X1+15X1.3+17*1.8+20X2+25X2.6+28*2.7+32義3.3=346.3

15、,1 17.二Xiyi-7x*y?y346.3-7212.1?=-i=0.104,7993447-7212'、Xi2-7X2i1臺=y-I?X=2.1-0.104X21=-0.084,?=0.104x-0.084.（3）把x=24（千萬元）代入方程得，?=2.412（千萬元）.;估計銷售總額為24千萬元時，利潤為2.412千萬元.11某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)X24568y3040605070（1）畫出散點(diǎn)圖;(2)求回歸直線方程;(3)解試預(yù)測廣告費(fèi)支出為10百萬元時，銷售額多大?7U5040制(1)根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點(diǎn)圖如下：(2)列出下

16、表，并用科學(xué)計算器進(jìn)行有關(guān)計算:i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因止匕，x=25=5,y=-250=50,55555、x2=145,'y2=13500,、x.y.=1380.i1i1i15、x.y.-5X*y于是可得：白=2=1380-5550=6.5；5145-555vXi2-5X2i1<?=y-I？X=50-6.5X5=17.5.因此，所求回歸直線方程為：7=6.5x+17.5.82.5(3)根據(jù)上面求得的回歸直線方程，當(dāng)廣告費(fèi)支出為10百萬元時，？=6.5X10+17.5=82.5(百萬元)，即這種產(chǎn)品的銷售收入大約為百

17、萬元.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本知識點(diǎn)及習(xí)題本周內(nèi)容：一、基礎(chǔ)知識梳理1 .獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量來確定在多大程度上可以認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。2 .判斷結(jié)論成立的可能性的步驟:（1）通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（2）可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。二、例題選講例1.為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示：患病不患病合計吸煙43162205不吸煙13121134合計56283339試問：

18、50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎？分析：最理想的解決辦法是向所有50歲以上的人作調(diào)查，然后對所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計處理，但這花費(fèi)的代價太大，實(shí)際上是行不通的，339人相對于全體50歲以上的人，只是一個小部分，已學(xué)過總體和樣本的關(guān)系，當(dāng)用樣本平均數(shù)，樣本方差去估計總體相應(yīng)的數(shù)字特征時，由于抽樣的隨機(jī)性，結(jié)果并不唯一。現(xiàn)在情況類似，我們用部分對全體作推斷，推斷可能正確，也可能錯誤。如果抽取的339個調(diào)查對象中很多人是吸煙但沒患慢性氣管炎，而雖不吸煙因身體體質(zhì)差而患慢性氣管炎，能夠得出什么結(jié)論呢？我們有95%（或99%）的把握說事件總與事件8有關(guān)，是指推斷犯錯誤的可能性為5%（或1%）,這也

19、常常說成是以95%（或99%）的概率”是一樣的。解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得1=燮金辿上衛(wèi)史二？小205x134x56x283因?yàn)槎?'三二，所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。例2.甲乙兩個班級進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表：班級與成績列聯(lián)表優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班103545乙班73845總計177390畫出列聯(lián)表的條形圖，并通過圖形判斷成績與班級是否有關(guān)；利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)估計，認(rèn)為成績與班級有關(guān)系”犯錯誤的概率是多少。解：列聯(lián)表的條形圖如圖所示：由表中數(shù)據(jù)計算得K2的觀察值為k0.653>0,455o由下

20、表中數(shù)據(jù)2-、P(K"0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828得：P(K2>0.455)y0.50從而有50%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān)系”，即斷言成績優(yōu)秀與班級有關(guān)系”犯錯誤的概率為0.5。評注：(1)畫出條形圖后，從圖形上判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系。這里通過圖形的直觀感覺的結(jié)果可能會出錯。(2)計算得到K2的觀測值比較小，所以沒有理由說明成績優(yōu)秀與班級有關(guān)系這與反證法也有類似的地方，在使用反證法證明結(jié)論時，假設(shè)結(jié)論不成立的

21、條件下如果沒有推出矛盾，并不能說明結(jié)論成立也不能說明結(jié)論不成立。在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，在假設(shè)成績優(yōu)秀與班級沒有關(guān)系”的情況下，計算得到的K2的值比較小，且P(K2>0.653)y0.42明事件(K2>0.653不是一個小概率事件，這個事件的發(fā)生不足以說明戰(zhàn)績優(yōu)秀與班級沒有關(guān)系”，即沒有理由說明成績優(yōu)秀與班級有關(guān)系這里沒有推出小概率事件發(fā)生類似于反證法中沒有推出矛盾。例3.為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)列表：藥物效果與動物試驗(yàn)列聯(lián)表患病未患病總計服用藥104555沒服用藥203050總計3075105請問能有多大把握認(rèn)為藥物有效？解：假設(shè)服藥情況與是否患病之間沒有關(guān)系”，則K2的值應(yīng)比較小；如果K2的值很大，則說明很可能服藥情況與是否患病之間有關(guān)系由題目中所給數(shù)據(jù)計算，得K2的觀測值為k6.110,而P(K2>5.024)y0.025以有97.5%的把握認(rèn)為服藥情況與是否患病之間有關(guān)系”，即大約有97.5%的把握認(rèn)為藥物有效。例4.在一次惡劣氣候的飛行航程中調(diào)查男女乘客在機(jī)上暈機(jī)的情況如下表所示，根據(jù)此資料你是否認(rèn)為在惡劣氣候中男人比女人更容易暈機(jī)？暈機(jī)不暈機(jī)合計男人243155女人82634合計325789分析：這是一個2x2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)求解。心受絲空三生二3689解：由條