2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第14講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(含解析)

1、第 14 講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考試說明 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多 項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)-般不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.考情分析真題再現(xiàn) 2017-2013課標(biāo)全國(guó)真題再現(xiàn)1.2017 全國(guó)卷II若x=-2 是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A- 1B.-2e-3C 5e-D. 1解析Af(x)=x2+(a+2)x+a-1ex

2、-1.因?yàn)閤=-2 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以f(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此時(shí)f(x)=(x +x-2)e-.由f(x)=0,解得x=-2 或x=1,且當(dāng)-2x1 時(shí),f(x)1 時(shí),f(x)0,故x=1 為f(x)的極小值點(diǎn)，所以f(x)的極小值為f(1)=-1.2. 2015 全國(guó)卷I設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整數(shù)xo使得f(xo)0 得x-_,由g(x)0 得xv-一,故函數(shù)g(x)在1 1上單調(diào)遞增又函數(shù)g(x)在x時(shí),g(x)時(shí),g(x)0,所以其大致圖CD.l?1)像如圖所示結(jié)合函數(shù)圖像可知,存在唯一的整

3、數(shù)xo,使得f(xo)0,即存在唯一的整數(shù)xo,使得點(diǎn)(xo,axo-a)在點(diǎn)(xo,g(xo)直線y=ax-a過點(diǎn)(1,0).若a 0,則f(x)0.3e4+2a0Jrl+aQ,Q解得？EWaO 時(shí),xf(x)-f(x)O 成立的x的取值范圍是()A (-g,-1)U(O,1)B. (-1,O)U(1,+R)C(-g,-1)U(-1,O)D.(O,1)U(1,+g)迴 世也解析A 設(shè)函數(shù)g(x)=,則g(x)=.因?yàn)楫?dāng)xO 時(shí)，xf (x)-f(x)O 時(shí)，g(x)0,則f(x)0;當(dāng)x-1 時(shí),g(x)0.綜上所述,使得f(x)0 成立的x的取值范圍是(-g,-1)U(0,1).故選 A.

4、4.2014 全國(guó)卷I已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)xo,且xoO,則a的取值范圍是( )A(2,+g)B. (1,+g)C (-g,-2)D. (-g,-1)解析C 當(dāng)a=0 時(shí)，f(x)=-3x2+1,存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，故az0.2由f(x)=3ax2-6x=0,得x=0 或x=.若a0,則f(x)極大值=f(0)=10,此時(shí)函數(shù)f(x) 一定存在小于零的零點(diǎn)，不符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-g,-2).5. 2013 全國(guó)卷n已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A ?xo R,f(xo)=O的上方，則xo只能

5、是 O,故實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足若a0,即可解得a-2;x=,且f(x)極小值=f，此時(shí)只需結(jié)合函數(shù)圖像可知,存在唯一的整數(shù)xo,使得f(xo)0,即存在唯一的整數(shù)xo,使得點(diǎn)(xo,axo-a)在點(diǎn)(xo,g(xo)B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C 若xo是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-g,xo)上單調(diào)遞減D 若xo是f(x)的極值點(diǎn),則f(xo)=o解析CxT-g時(shí),f(x)0,f(x)連續(xù)，？XoR,f(xo)=O,A 正確；通過平移變換，函數(shù)可以化為f(x)=x3+c,從而函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，B 正確；若xo是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還 有極大值點(diǎn)xi,則f

6、(x)在區(qū)間(xi,xo)上單調(diào)遞減.C 錯(cuò)誤.D 正確.故答案為 C.6._ 2oi3 全國(guó)卷I若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2 對(duì)稱，則f(x)的最大值 為.答案16解析方法一：因?yàn)閒(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a,函數(shù)f(x)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且關(guān)于直線x=-2 對(duì)稱，所以f(-2)=0,即f(-2)=32-12a-4(1-b)+a=0,可得 11a-4b=28.又因?yàn)閒(0)=f(-4),所以 15a-4b=60.聯(lián)立方程組可得a=8,b=15,f(x)=(1-x2)(x2+8x+15),f(x)=-4(x3+6x2+7x-2),因?yàn)?

7、2 是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f(x)=-4(x+2) J；一鳥八：I,可知當(dāng)x (-g,-2)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x (-2- - ,-2)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x (-2,-2+-)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x (-2+，+g)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,且f(-2+)=f(-2- J所以f(x)max=f(-2+)=f(-2-)=(4 ：-8)(4+8)=80-64=16.|/(-5)=0,p=8,方法二：令f(x)=o 可得x=1 或x=-1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2 對(duì)稱，所以爪3)二0可得昭二15 以下同方法一.,_ _ x x27. 2017 全國(guó)卷I已知函數(shù)f

8、(x)=e (e-a)-a x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；若f(x) 0,求a的取值范圍.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-g,+g),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).1若a=0,則f(x)=e2x,在(-g,+g)單調(diào)遞增.2若a0,則由f(x)=0 得x=lna.當(dāng)x (-g,lna)時(shí),f(x)0.故f(x)在(-g,lna)單調(diào)遞減,在(Ina,+g)單調(diào)遞增.若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x) 0.若a0,則由(1)得，當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值，最小值為f(lna)=-a2lna.從而當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna 0, 即aw1 時(shí),f(x

9、) 0.0,即a-2(時(shí)f(x) 0.8.2017 全國(guó)卷n已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x) 0.(1)求a;證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)X。,且 e-2f(X。) 0 等價(jià)于g(x) 0.因?yàn)間(1)=0,g(x) 0,故g(1)=0,而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,則g(x)=1-.當(dāng) 0 x1時(shí),g(x)1 時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=1 是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x) g(1)=0.綜上,a=1._ 2(2)證明:由(1)知f(x)=x -x-xlnx,f(x)=2x-2-1nx.設(shè)h(x)=2x-2-lnx,則h(x)=

10、2-.若時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f；：=a2綜上，a的取值范圍是-2esl時(shí),h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.時(shí),f(x)0.故f(x)在單調(diào)遞減，在.從而當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)x(ii)當(dāng)a0,知g(-1)g(1)g2 a又h(e-)0,h0;當(dāng)x (X0,1)時(shí),h(x)0.因?yàn)閒(x)=h(x),所以x=xo是f(x)的唯一極大值點(diǎn).由f(Xo)=0 得 InXO=2(XO-1),故f(Xo)=Xo(1-Xo).1 1由x 0, _ 得f(X0)f(e-)=e-.所以 e-2vf(x。)0,記|f(x)|的最大值為A.(1)求 f (X)；求 A證明：|f(x)|1 時(shí),

11、|f(x)| = |aCOS 2X+(a-1)(COSX+1)| a+2(a-1)=3a-2=f(0),因此A=3a-2.當(dāng) 0a1 時(shí)，將f(x)變形為f(x)=2aCOSX+(a-1)COSX-1.H令g(t)=2at2+(a-1)t-1,則A是| g(t)|在-1,1上的最大值,g(-1)=a,g(1)=3a-2,且當(dāng)t=時(shí)，g(t)取H竺 嵐+1得極小值，極小值為gJ* =-二-1=-】.H11 令-1V：. 1,解得a.1(i)當(dāng) 0aW一 時(shí),g(t)在(-1,1)內(nèi)無極值點(diǎn)，|g(-1)|=a,|g(1)|=2-3a,|g(-1)|g(1)|,所以A=2-3a.上有唯一零點(diǎn)X0,

12、在 L 2,+8丿上有唯一零點(diǎn) 1,且當(dāng)x (0,X0)2-3a1Qa彳F+血1 1 .ial.證明：由(1)得|f(X)|=|-2 a sin 2X-(a-1)sinx| 2a+|a-1|.1當(dāng) 0a w一時(shí),|f (x)|w1+a w2-4a2(2-3a)=2A.1a 1 3當(dāng) 一a 1,所以|f(X)|W1+a 1 時(shí),|f(x)|W3a-1W6a-4=2A,所以|f(X)|w2A.110.2015 全國(guó)卷I已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用 minmn表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x

13、)(x0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)13解得xo=_,a=-.因此，當(dāng)a=-時(shí),x軸為曲線y=f(x)的切線.當(dāng)x (1,+s)時(shí),g(x)=-lnx0,從而h(x)=minf(x),g(x)wg(x)-,則f(1)=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1 是h(x)的零點(diǎn)；若a-,則f(1)0,所以A= g(技)/+齢1=壬.解:(1)設(shè)曲線y=f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x,0),則f(x)=0,f(x)=0,即3(1+別-|g(-1=g(1)=f(1)0,所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(i)若aw-3 或a0,則 f (x)=3x2+a在(0,1)上無

14、零點(diǎn)，故f(x)在(0,1)上單調(diào).而f(0)=,f(1)=a+,所以當(dāng)aw-3 時(shí),f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a 0 時(shí),f(x)在(0,1)上沒有零點(diǎn).0/(ii)若-3a0,則f(x)在 小值，最小值為 f = .+ .,即-a0,則f(x)在(0,1)上無零點(diǎn);3,即a=-,則f(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn);31553 ,即-3a-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以當(dāng)-va-時(shí)，f(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-3a-或a-時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=-或a=-時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-a-時(shí)，h(x)有三個(gè)零占八、-11. 2015 全國(guó)卷設(shè)函數(shù)f(x)=em

15、x+x2-mx.(1) 證明：f(x)在(-巴 0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增；(2) 若對(duì)于任意X1,X2 -1,1,都有|f(x”-f(X2)|we-1,求m的取值范圍.解:(1)證明:f(x) =n(emx-1)+2x.若 0,則當(dāng)x (-,0)時(shí),e-1w0,f(x) 0,f(x)0.若 mO,則當(dāng)x (-s,0)時(shí),emx-10,f(x)0；當(dāng)x (0,+)時(shí),em-10.所以f(x)在(-,0)上單 調(diào)遞減，在(0,+*)上單調(diào)遞增.上單調(diào)遞增，故在(0,1)上，當(dāng)上單調(diào)遞減，在時(shí),f(x)取得最(2)由(1)知,對(duì)任意的mf(x)在-1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，

16、故f(x)在x=0 處取得最小值.所以對(duì)于任意X1,X2 -1,1,|f(X1)-f(X2)|we-1 的充要條件是em*m e-1e-l設(shè)函數(shù)g(t)=e：t-e+1,則g(t)=e(-1.當(dāng)t0 時(shí),g(t)0 時(shí),g(t)0.故g(t)在(-g,0)上單調(diào)遞減,在(0,+乂)上單調(diào)遞增g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e0,故當(dāng)t -1,1時(shí),g(t) 0.故當(dāng) -1,1時(shí)，g(njw0,g(-m) 時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，知g(m 0,即e：me-1;當(dāng)m0,即 e-m+me-1.綜上，m的取值范圍是-1,1.012. 2014 全國(guó)卷I設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+,曲線y=f(

17、x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為(1)求a,b;證明：f(x)1.解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+g),abi xx x-1 x- 1f(x)=ae lnx+e-e+e.由題意可得f(1)=2,f (1)=e,故a=1,b=2.2證明：由(1)知，f(x)=exlnx+ex-1,2從而f(x)1 等價(jià)于xlnxxe-x-.設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g(x)=1+lnx,陰所以當(dāng)x:時(shí),g(x)0.y=e(x-1)+2.故g(x)在上單調(diào)遞減，在丿上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0,+g)上的最小值為2設(shè)函數(shù)h(x)=xe-x- ,則h(x)=e-x(1-x).所以當(dāng)x (0,1)時(shí)，

18、h(x)0;當(dāng)x (1,+R)時(shí)，h(x)0 時(shí),g(x)h(x),即f(x)1.13. 2014 全國(guó)卷 II已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.(1) 討論f(x)的單調(diào)性；(2) 設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x0 時(shí),g(x)0,求b的最大值;已知 1.414 2v. 0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增.g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g(x)=2e2x+e-紇2b(ex+e-x)+(4b-2)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).(i)當(dāng)b 0,等號(hào)僅當(dāng)x=0 時(shí)成

19、立，所以g(x)在(-s,+R)上單調(diào)遞增.而g(0)=0,所以對(duì)任意x0,g(x)0.(ii) 當(dāng)b2 時(shí),若x滿足 2ex+e-x2b-2,即 0 xln(b-1+)時(shí),g(x)0.而g(0)=0,因此當(dāng)0 xln(b-1+)時(shí),g(x)0,ln 2 120.692 8;當(dāng)b= 4 +13時(shí),ln(b-1+)=ln,g(ln)=-一-2+(3+2)ln 20,ln 2 -2 時(shí),f(x)wkg(x),求k的取值范圍.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4

20、,b=2,c=2,d=2.2x(2)由(1)知,f(x)=x +4x+2,g(x)=2e (x+1).設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可得F(0) 0,即k 1.令F(x)=0 得X1=-lnk,X2=-2.1若 1wke2,則-2VX1W0,從而當(dāng)x (-2,X時(shí)，F(xiàn)(x)0,即F(x)在(-2,x上單 調(diào)遞減，在(X1,+R)上單調(diào)遞增.故F(x)在-2,+R)上的最小值為F(X1).Y2而F(X1)=2X1+2-_-4X1-2=-X1(X1+2) 0.故當(dāng)x-2 時(shí),F(

21、x) 0,即f(x)wkg(x)恒成立.2若k=e2,則F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當(dāng)x-2 時(shí),F(x)0,即F(x)在(-2,)上單調(diào)遞增，而F(-2)=0,故當(dāng)x-2 時(shí),F(x) 0,即f(x)wkg(x)恒成立.3若ke2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)-2 時(shí),f(x)wkg(x)不可能恒成立.綜上，k的取值范圍是1,e2.15. 2013 全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1) 設(shè)x=0 是f(x)的極值點(diǎn)，求m,并討論f(x)的單調(diào)性；(2) 當(dāng)nW2 時(shí),證明f(x)0.1解：(1)f(x)=eX-.由x=0 是f(x

22、)的極值點(diǎn)得f(0)=0,所以m=.1 1于是f(x)=ex-1n(x+1),定義域?yàn)?-1,+s),f(x)=eX-:：,.函數(shù)f(x)=eX-計(jì) 1 在(-1,+)上單調(diào)遞增,且f(0)=0,因此當(dāng)x (-1,0)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+R)上單調(diào)遞增.證明：當(dāng)nW2,x(-m,+R)時(shí),ln(x+njwln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時(shí),f(x)0.當(dāng)m=時(shí),函數(shù)f(x)=ex-J.在(-2,+s)上單調(diào)遞增.又f(-1)0,故f(x)=0 在(-2,+)上有唯 一實(shí)根xo,且Xo(-1,0).當(dāng)x (-2,xo)時(shí),f(x)0,從而當(dāng)x=xo時(shí)

23、,f(x)取得最小值.1由f(xo)=0得-=胡乜,1 n(Xo+2)=-Xo, 迥故f(x) f(Xo)=-+Xo=冷沁0.綜上，當(dāng) m 2 時(shí),f(x)0. 2017-2016其他省份類似高考真題1. 2017 浙江卷函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是()解析D 由導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖像可知，y=f(x)在x軸的負(fù)半軸上有一個(gè)零點(diǎn)(不妨設(shè)為X1),并且當(dāng)x0,當(dāng)x (X2,X3)時(shí),f(x)X3時(shí),f(x)0.因此函數(shù)f(x)在x=X1處取得極小值,在x=X2處取得極大值, 在x=X3處取得極小值.由此對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖像，選項(xiàng) A 中，在

24、x=X1處取得極大值，不符合題意；選項(xiàng) B 中，極大值點(diǎn)小于 0,也不符合題意；選項(xiàng) C 中在x=X1處取得極大值,不符合題意；選項(xiàng) D 符合題意.因此選 Dx3-3xtx-1 時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值;當(dāng)aa時(shí)無 最大值，且-2aa3-3a,所以a.(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù);1因?yàn)?x- - -) =1-,(e%)=-由 f (x)=o,解得x=1 或x=.因?yàn)閤12(F1)1謁52討)f (x)-0+0-f(x)1 i0/1 5又f(x)=_( ：左婦Li)2e-x 0,所以f(x)在區(qū)間求f(x)在區(qū)間!；1上的取值范圍解:(1)-xeL丿上的取值范圍是4. 2017 北京卷已知函數(shù)f(

25、x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間 1 上的最大值和最小值解:(1)因?yàn)閒(x)=excosx-x,所以f(x)=ex(cosx-sinx)-1,f (0)=0.又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=1.xxx(2)設(shè)h(x)=e (cosx-sinx)-1,貝 Uh(x)=e (cosx-sinx-sinx-cosx)=-2e sinx.所以h(x)在區(qū)間2上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意x ( 2.,有h(x)h(0)=0,即 f (x)0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間21上單調(diào)遞減.因此f(x)在

26、區(qū)間2上的最大值為f(0)=1,最小值為 八2丿=-?.5. 2017 天津卷設(shè)a乙已知定義在 R 上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)Xo,g(x) 為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)m1,X。)U(X0,2,函數(shù)h(x)=g(x)(m-x)-f(n),求證：h(n)h(X0)0;9P1求證：存在大于 0 的常數(shù)A使得對(duì)于任意的正整數(shù)p, q,且2 1,X0)U(X0,2,滿足G-X0.解:(1)由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f(x)=8x3+9x2-6x-6,12進(jìn)而可得g(x)=24x +18x-6.

27、令g(x)=0,解得x=-1 或x=.當(dāng)x變化時(shí)，g(x),g(x)的變化情況如下表當(dāng)x時(shí),h(x)o,故當(dāng)x 1,xo)時(shí),Hi(x)o,H(x)單調(diào)遞增.因此,當(dāng)x 1,xo)U(Xo,2時(shí),H(x)H(xo)=-f(xo)=o,可得H(m)0,即h(m)0.令函數(shù)H2(x)=g(xo)(x-xo)-f(x),則H2(x)=g(xo)-g(x).由(1)知g(x)在1,2上單調(diào)遞增,故當(dāng)x 1,xo)時(shí),H2(x)o,H2(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x (xo,2時(shí),H2(x)o,H2(x)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x 1,xo)U(Xo,2時(shí),H2(x)H(Xo)=o,可得H2(m)o,即h(xo)o.所

28、以，h(m h(xo)0.fa證明：對(duì)于任意的正整數(shù)p, q,且， 1,xo)U(xo,2,tJk令m=,函數(shù)h(x)=g(x)(m-x)-f(m).由 知，當(dāng)m 1,xo)時(shí),h(x)在區(qū)間(mxo)內(nèi)有零點(diǎn)；當(dāng) m (xo,2時(shí),h(x)在區(qū)間(xo,m內(nèi)有零點(diǎn).(-)所以h(x)在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為X1,則h(x=g(X1)-xo-f - =0.由(1)知g(x)在1,2上單調(diào)遞增,故 0g(1)g(x1) .-=： ：因?yàn)楫?dāng)x 1,2時(shí)，g(x)0,故f(x)在1,2上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間1,2上除xo外沒有其他的零點(diǎn)又因?yàn)閜,q, a均為整數(shù)，所以|2p4+

29、3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整數(shù)，從而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 1,所以，只要取A=Q2),就有?-xo站1_32、._ _6.2017 江蘇卷已知函數(shù)f(x)=x +ax +bx+1(a0,b R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零 點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1) 求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域2(2) 證明:b 3a;若f(x),f(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-一，求a的取值范圍當(dāng)x=-:時(shí),f(x)有極小值b-:.因?yàn)閒(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn),IM M應(yīng)2護(hù)3I 所以f：=-_+-一+1=0

30、,又a0,故b=：+.因?yàn)閒(x)有極值，故f(x)=0 有實(shí)根，從而b- :(27-a3)w0,即a 3.于是h-x0解:(1)322由f(x)當(dāng)a=3 時(shí),f(x)0(x-1),故f(x)在 R 上是增函數(shù)，f(x)沒有極值.4*-va： ：3i -fl+v當(dāng)a3 時(shí),f(x)=0 有兩個(gè)相異的實(shí)根xi=_,X2=一列表如下：X(-8,X1)X1(X1,X2)X2(X2,+8)f(X)+0-0+f(x)/極大值極小值/故f(X)的極值點(diǎn)是Xi,X2.從而a3.因此b=：+.,定義域?yàn)?3,+8). 2M 2證明：由(1)知，-=：+嘛.2t 32I227設(shè)g(t)= +,則g(t)= -.

31、 = -：/3/6/30,從而g(t)在一 -上單調(diào)遞增因?yàn)閍3,所以a 3 ,故丄g(a；)g(3 )=，即-.因此b23a.2昭60由(1)知,f(X)的極值點(diǎn)是X1,X2, 且xi+X2=-?a,%+坊=9從而舟X： ：12f(xJ+f(X2)=一+a一+bxi+1+一+a _+bx2+1=(3 _+2axi+b)+1 (3 一+2ax2+b)+ a( 一+一)+. b(xi+X2)+2=一4I-6GC4al+2=0.記f(x),f(x)所有極值之和為h(a),爪1 3因?yàn)閒(x)的極值為b-；=-2+.,13所以h(a)=-ja2+,a3.23因?yàn)閔(a)=-*a-一h(6),故a 0

32、,所以m(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閙(0)=0,所以當(dāng)x0 時(shí),m(x)0;當(dāng)x0 時(shí),mx)0.當(dāng)a0,當(dāng)x0 時(shí),h(x)0 時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0 時(shí)h(x)取到極小值,極小值是h(0)=-2a-1.當(dāng)a0 時(shí),h(x)=2(ex-eln a)(x-sinx),由h(x)=0 得xi=lna,X2=0.(i)當(dāng) 0a1 時(shí),lna0,當(dāng)x (-s,lna)時(shí),ex-eln a0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x (Ina,0)時(shí),ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=lna時(shí)h(x)取到極大值,極大值為h(lna)=-aIna-2lna+s

33、in(lna)+cos(lna)+2;當(dāng)x=0 時(shí)h(x)取到極小值,極小值是h(0)=-2a-1.(ii)當(dāng)a=1 時(shí),lna=0,所以當(dāng)x (-g,+s)時(shí),h(x) 0,函數(shù)h(x)在(-g,+s)上單調(diào)遞增，無極值.(iii)當(dāng)a1 時(shí),lna0,所以當(dāng)x (-g,0)時(shí),ex-eln a0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x (0,lna)時(shí),ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=0 時(shí)h(x)取到極大值,極大值是h(0)=-2a-1;當(dāng)x=lna時(shí)h(x)取到極小值,極小值是h(lna)=-aIna-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.綜上所述：

34、當(dāng)aw0 時(shí),h(x)在(-g,0)上單調(diào)遞減，在(0,+g)上單調(diào)遞增，函數(shù)h(x)有極小值,極小值是h(0)=-2a-1;當(dāng) 0a1 時(shí)，函數(shù)h(x)在(-g,lna)和(0,+g)上單調(diào)遞增，在(lna,0)上單調(diào)遞減，函數(shù)h(x)有極大值,也有極小值，.2極大值是h(lna)=-aIna-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,極小值是h(0)=-2a-1;當(dāng)a=1 時(shí)，函數(shù)h(x)在(-g,+g)上單調(diào)遞增，無極值；1此時(shí)，當(dāng)x0,3時(shí),f(x)1 時(shí),函數(shù)h(x)在(-g,0)和(Ina,)上單調(diào)遞增,在(0,lna)上單調(diào)遞減,函數(shù)h(x)有極大值,也有極小值，極大值是

35、h(0)=-2a-1,r .2極小值是h(lna)=-aIna-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.8. 2016 北京卷設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1) 求a,b的值；(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間.i/C2)=2e + 2,卩e+2& = 2e + 2,解:(1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx,所以 f (X)=(1-x)ea-x+b.依題設(shè),得V二即I評(píng)+b=e*l,解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2xex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及 e2-x0 知,f(x

36、)與 1-x+ex-1同號(hào).令g(x)=1-x+ex-1,貝Hg(x)=-1+ex-1.所以，當(dāng)x (-g,1)時(shí),g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+g)上單調(diào)遞增.故g(1)=1 是g(x)在區(qū)間(-g,+g)上的最小值，從而g(x)0,x (-g,+g).綜上可知,f(x)0,x (-g,+g),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-g,+g).9.2016 四川卷設(shè)函數(shù)f(x)=ax -a-lnx,其中a R(1)討論f(x)的單調(diào)性；1確定a的所有可能取值，使得f(x) -e1-x在區(qū)間(1,+g)內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).1 2旳 -解:(1)f(x)=2ax- =(x0)

37、.當(dāng)aw0 時(shí),f(x)0 時(shí),由f(x)=0,有x= -,所以此時(shí)f(x)g(x)在區(qū)間(1,+R)內(nèi)不恒成立當(dāng)a -時(shí),令h(x)=f(x)-g(x)(x 1).當(dāng)x1 時(shí)，h(x)=2ax- + -因此，h(x)在區(qū)間(1,+x)內(nèi)單調(diào)遞增.1又因?yàn)閔(1)=0,所以當(dāng)x1 時(shí),h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.綜上,a 一，+10.2016 天津卷設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)-ax-b,x R,其中 a,b R(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;若f(x)存在極值點(diǎn)Xo,且f(X1)=f(X0),其中X& Xo,求證：X1+2X0=3；1設(shè)a0,函數(shù)g(x)=|f

38、(x)|,求證:g(x)在區(qū)間0,2上的最大值不小于-.32解:(1)由f(x)=(x-1)-ax-b,可得f(x)=3(x-1)-a.F面分兩種情況討論(2)令g(x)= - .,s(x)=ex-1-x,x 1則s(x)=e-1.而當(dāng)x1 時(shí),s(x)0,所以s(x)在區(qū)間(1,+s)內(nèi)單調(diào)遞增.又s(1)=0,所以當(dāng)x1 時(shí),s(x)0, 從而當(dāng)x1 時(shí),g(x)0.2當(dāng)aw0,x1 時(shí),f(x)=a(x -1)-Inxg(x)在區(qū)間(1,+x)內(nèi)恒成立時(shí)，必有a0.1當(dāng) 0a1.1 1e1-xx- + -=：0.時(shí)，f (x)0,f(x)單調(diào)遞增.由(1)有0,(i)當(dāng)a 0 恒成立，所

39、以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).(ii)當(dāng)a0 時(shí),令f(x)=0,解得x=1+一 或x=1-:.當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表：X(-1 -)1-Id- ,1+)1+(1+,+f(X)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1-一，1+：,單調(diào)遞增區(qū)間為-8,1-： , 1+一，+8(2)證明:因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn)所以由(1)知a0,且XOM1.由題意，得f(Xo)=3(Xo-1)-a=0,即(xo-1)=.,進(jìn)而f(Xo)=(xo-1)-axo-b=- xo-: -b.助fl- 又f(3-2xo)=(2-2xo)-a(3-2

40、xo)-b=；：(1-xo)+2axo-3a-b=-:,：xo- :-b=f(xo),且 3-2XoMxo,由題意及(1)知，存在唯一實(shí)數(shù)X1滿足f(X1)=f(xo),且X1豐xo,因此x1=3-2xo,所以X1+2xo=3.證明：設(shè)g(x)在區(qū)間o,2上的最大值為Mmaxx,y表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論迺 迺(i)當(dāng)a 3 時(shí),1 - : 02 1+：,由(1)知,f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減 所以f(X)在區(qū)間0,2上的取值范圍為f(2),f(0),因此M=max|f(2)|,|f(0)|=max|1-2a-b|,|-1-b|=max|a-1+(a+b)|,|a-1-(a+b)|=。亠仗+ 協(xié)盅 +b 2.32屈2、五(iii) 當(dāng) 0a時(shí),01- :1+：2,由(1)和 知迺 世 迺f(0)f1+ :；=f1-:所以f(x)在區(qū)間0,2上的取值范圍為f(0),f(2),因此M=max|f(0)|,|f(2)|=max|-1-b|,11-2a-b|=max|1-a+(a+b)|,11-a-(a+b)|=1-a+|a+b| -.綜上所述,當(dāng)a0 時(shí)，g(x)在區(qū)間0,2上的最大值不小于-.2x-l11.2016 山東卷已知f