融入動(dòng)態(tài)評(píng)量之?dāng)?shù)感教學(xué)效益研究

1、.融入動(dòng)態(tài)評(píng)量之?dāng)?shù)感教學(xué)效益研究芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄膇薁袀螇膃薀蕿肅聿蕿蟻袆莇薈螄肁芃薇袆襖腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅螀肈芀蚄羃袀芆蚃螞膆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇節(jié)芇蠆膂膈莆螁羅肄蒞襖螈蒃莄蚃羄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇裊肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁肄蕆螆肇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄膇薁袀螇膃薀蕿肅聿蕿蟻袆莇薈螄肁芃薇袆襖腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅螀肈芀蚄羃袀芆蚃螞膆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇節(jié)芇蠆膂膈莆螁羅肄蒞襖螈蒃莄蚃羄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇裊肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁肄蕆螆肇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄膇薁袀螇膃薀蕿肅

2、聿蕿蟻袆莇薈螄肁芃薇袆襖腿蚆薆聿肅蚅蚈袂莄蚅螀肈芀蚄羃袀芆蚃螞膆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇節(jié)芇蠆膂膈莆螁羅肄蒞襖螈蒃莄蚃羄荿莃螅袆芅莃袈肂膁莂薇裊肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)葿襖肈膈蒈薄袁肄蕆螆肇肀蕆衿羀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆薃裊羆蒞薂薅蝿芁薁蚇羄膇薁袀螇膃薀蕿肅聿蕿蟻袆莇薈螄 融入動(dòng)態(tài)評(píng)量之?dāng)?shù)感教學(xué)效益研究劉琪玲1 本研究的順利完成得感謝臺(tái)南師院謝淡宜、洪碧霞兩位教授的悉心指導(dǎo) 謝哲仁21高雄市博愛(ài)國(guó)小 2美和技術(shù)學(xué)院（投稿日期：92年1月16日；修正日期：92年3月25日、5月22日；接受日期：92年6月7日）摘要本研究旨在將數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量融入現(xiàn)行學(xué)校的數(shù)學(xué)科教學(xué)中，以檢視其教學(xué)效益，並探討學(xué)生數(shù)感

3、能力的改變情形。本研究採(cǎi)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)研究，以第一研究者任教的四年級(jí)班級(jí)為實(shí)驗(yàn)組，同校同學(xué)年的其它一個(gè)班級(jí)為控制組，進(jìn)行為期2個(gè)月數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量之行動(dòng)研究。其中動(dòng)態(tài)評(píng)量包含了教學(xué)與評(píng)量二部分：教學(xué)介入以單元主題小組討論與個(gè)人學(xué)習(xí)單後續(xù)討論二活動(dòng)交叉進(jìn)行；教學(xué)評(píng)量亦從量與質(zhì)二方面著手，一是透過(guò)連續(xù)數(shù)次的個(gè)人學(xué)習(xí)單予以量化，以記錄學(xué)生數(shù)感能力的改變，另一則以學(xué)生的小組討論記錄單與個(gè)人學(xué)習(xí)單，為學(xué)生的數(shù)感能力改變歷程作質(zhì)化的呈現(xiàn)。研究中並利用自編的數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)作為教學(xué)前、後測(cè)，以比較實(shí)驗(yàn)組與控制組二組學(xué)生數(shù)感能力是否有所差異。茲將主要結(jié)果摘述如下：一、數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量具有教學(xué)效益：經(jīng)過(guò)相依樣本t考驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)組的後測(cè)

4、成績(jī)明顯高於前測(cè)成績(jī)；以單因子共變數(shù)分析，實(shí)驗(yàn)組後測(cè)成績(jī)也明顯優(yōu)於控制組後測(cè)成績(jī)。二、學(xué)生在數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量過(guò)程中，數(shù)感能力在量方面的改變：經(jīng)過(guò)相依樣本t考驗(yàn)，每單元的連續(xù)5張個(gè)人學(xué)習(xí)單幾乎均有明顯進(jìn)步。三、 學(xué)生在數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量過(guò)程中，數(shù)感能力在質(zhì)方面的改變：學(xué)生的概念被強(qiáng)化，思考變得靈活，策略顯現(xiàn)多元。在分?jǐn)?shù)的加減、除法、小數(shù)的加減、統(tǒng)計(jì)圖表四個(gè)單元中，不僅能連結(jié)生活經(jīng)驗(yàn)、掌握數(shù)字的基準(zhǔn)點(diǎn)作有效的估計(jì)、真正內(nèi)化大數(shù)意義、彈性運(yùn)用策略或工具解題，並能依不同情境作合理判斷，把數(shù)學(xué)帶入實(shí)際生活中。關(guān)鍵字: 數(shù)感、動(dòng)態(tài)評(píng)量壹、前言數(shù)感（number sense）是兒童對(duì)數(shù)字概念的理解與應(yīng)用，學(xué)童利用已知

5、的數(shù)學(xué)知識(shí)，來(lái)探究各種情境下數(shù)字、運(yùn)算，以及其相互關(guān)係；同時(shí)，數(shù)感重視各種數(shù)學(xué)知識(shí)間的連結(jié)，自行發(fā)明有效的解題策略；數(shù)感並含有後設(shè)認(rèn)知的能力，能夠彈性思考，作出合理的數(shù)學(xué)檢驗(yàn)、判斷、批判與反省，這些特徵正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育所希望達(dá)成的目標(biāo)。數(shù)感因?yàn)閺?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是有意義的，因此近年來(lái)一直受數(shù)學(xué)教育學(xué)者與認(rèn)知心理學(xué)家的重視。早在八年代，許多先進(jìn)國(guó)家就呼籲將數(shù)感融入正式數(shù)學(xué)教育的一環(huán)。例如：美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics NCTM, 1989）、美國(guó)教育研究中心（National Research Council, 1989）、

6、澳洲數(shù)學(xué)教育協(xié)會(huì)（Australian Education Council, 1991），均主張數(shù)感應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個(gè)重要的要素，進(jìn)而將數(shù)感列為數(shù)學(xué)課程及教學(xué)的主要目標(biāo)之一。NCTM更在2000年出版的學(xué)校數(shù)學(xué)之原則與標(biāo)準(zhǔn)中，強(qiáng)調(diào)兒童數(shù)感能力的發(fā)展。由此可見(jiàn)，注重?cái)?shù)學(xué)思考與知識(shí)內(nèi)化的數(shù)感能力，將是數(shù)學(xué)教育一個(gè)很重要的焦點(diǎn)及趨勢(shì)。然而許多研究顯示，學(xué)生缺乏數(shù)感的情形普遍且嚴(yán)重（Markovits & Sowder, 1994；Reys & Yang, 1998；支毅君，1997；楊德清，1998；Reys et al., 1999）。許多學(xué)者認(rèn)為數(shù)感是可透過(guò)教學(xué)情境來(lái)建立的（Sil

7、ver, 1989；Reys, 1989；Trafton, 1989；Markovits, 1989；Sowder, 1992a, 1992b），有些學(xué)者甚至進(jìn)行研究來(lái)證明教學(xué)確實(shí)可行。法國(guó)數(shù)學(xué)家兼神經(jīng)心理學(xué)家Dehaene（1997）雖證明大多數(shù)動(dòng)物天生擁有數(shù)感，但也承認(rèn)後天的教學(xué)與環(huán)境會(huì)更深、更廣地?cái)U(kuò)展數(shù)感能力。因此，本研究希望能在數(shù)學(xué)教學(xué)中，融入自行設(shè)計(jì)的數(shù)感教學(xué)活動(dòng)，以發(fā)展並提昇兒童的數(shù)感能力，並藉由與傳統(tǒng)教學(xué)的對(duì)照，以檢視其對(duì)數(shù)感能力提升之影響。此外，本研究期望透過(guò)動(dòng)態(tài)評(píng)量（dynamic assessment）作為數(shù)感能力的教學(xué)與評(píng)量工具。由於動(dòng)態(tài)評(píng)量兼重歷程和結(jié)果，亦扮演教學(xué)介入

8、與教學(xué)評(píng)量二個(gè)角色（吳國(guó)銘、洪碧霞、邱上貞，1995；莊麗娟，1996；林素微，1996），因此重視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化與意義理解的數(shù)感能力，頗適合在這種連續(xù)且動(dòng)態(tài)的歷程中進(jìn)行評(píng)量。把動(dòng)態(tài)評(píng)量適當(dāng)融入數(shù)感的教學(xué)活動(dòng)中，正是本研究之核心所在。本研究將自行發(fā)展數(shù)感的動(dòng)態(tài)評(píng)量作為教學(xué)介入與教學(xué)評(píng)量之方法，使其融入國(guó)小數(shù)學(xué)教學(xué)中。藉由動(dòng)態(tài)評(píng)量的進(jìn)行，探討學(xué)生數(shù)感能力提升的歷程。同時(shí)編製一份數(shù)感能力的評(píng)量試題，作為一般教學(xué)的控制組與動(dòng)態(tài)評(píng)量的實(shí)驗(yàn)組前、後測(cè)之對(duì)照，期能藉此瞭解學(xué)生數(shù)感能力與動(dòng)態(tài)評(píng)量的影響。貳、文獻(xiàn)探討一、數(shù)感數(shù)感是一種對(duì)數(shù)的直覺(jué)（NCTM, 1989），可以在各種情境下有意義的探究數(shù)字、連結(jié)概念

9、，並與生活密切結(jié)合（Sowder, 1988； Schoen, 1989），自創(chuàng)策略有效解題（Reys et al., 1999），更能彈性思考與合理判斷（Markovits, 1989；Reys et al., 1999）。認(rèn)知心理學(xué)者認(rèn)為數(shù)感一種較高層次的思考方式（Resnick, 1989），建構(gòu)與推理的能力（Greeno, 1991），同時(shí)也是互相連結(jié)與統(tǒng)整的數(shù)學(xué)知識(shí)（Marshall, 1989）。從數(shù)學(xué)其它領(lǐng)域之教育學(xué)者觀點(diǎn)，數(shù)感是一種彈性操作的心靈表徵，能在各種表徵之間互相轉(zhuǎn)換（Behr, 1989），並且著重?cái)?shù)字的意義與彈性運(yùn)算（Carpenter, 1989；Silver,

10、1989）。一些數(shù)學(xué)教育學(xué)者列出數(shù)感的主要特徵及構(gòu)成要素（NCTM, 1989；Sowder, 1992；Thompson & Rathmell, 1989；Resnick, 1989；McIntosh, B. Reys, & R. Reys, 1992）。綜合而言，數(shù)感包含以下六項(xiàng)能力：能了解數(shù)字的意義並能結(jié)合生活情境、能合成與分解數(shù)字以作為多種表徵之間的轉(zhuǎn)換、能了解數(shù)字的大小、能了解數(shù)字運(yùn)算的結(jié)果、能使用基準(zhǔn)點(diǎn)、能自創(chuàng)有效策略並判斷合理性。有些學(xué)者認(rèn)為數(shù)感的教學(xué)與評(píng)量非常不容易進(jìn)行（Sowder, 1992；Resnick, 1989），但在國(guó)外已有許多數(shù)學(xué)教育工作者紛紛致

11、力整合數(shù)感教學(xué)於課程中。學(xué)者們普遍認(rèn)為數(shù)感的發(fā)展與提升，並不只靠一套教材就可達(dá)成，老師的角色與教學(xué)的情境才是重要的關(guān)鍵。老師如果能使數(shù)學(xué)有意義，並與生活緊密結(jié)合，多鼓勵(lì)學(xué)生由操作中建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)提供學(xué)生足夠的討論經(jīng)驗(yàn)，便能逐漸提升學(xué)生的數(shù)感（Thornton & Tucker, 1989；Hope, 1989；Howden, 1989）。數(shù)感的評(píng)量不容易進(jìn)行，乃因數(shù)感的界定困難，且數(shù)感強(qiáng)調(diào)各種數(shù)學(xué)知識(shí)相互連結(jié)的程度，而目前評(píng)量仍偏重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)別發(fā)展。學(xué)者們認(rèn)為要能有效評(píng)量數(shù)感能力，須靠連續(xù)的、動(dòng)態(tài)的、彈性的、深入的、並且多元化的評(píng)量（NCTM, 1987，引自Howden, 19

12、89；Sowder, 1992；Resnick, 1989；Ritchhart, 1994）。從數(shù)感的相關(guān)研究可知，數(shù)感教學(xué)可以成功施於各個(gè)年級(jí)的學(xué)生、普通學(xué)生與特殊學(xué)生，教學(xué)方式可成功地以個(gè)別或團(tuán)體進(jìn)行，教學(xué)時(shí)間可成功地施以數(shù)星期到數(shù)年，而教學(xué)課程亦可成功地從各種合理的角度設(shè)計(jì)（Vacc, 1995；Markovits et al. , 1989；Markovits & Sowder, 1994；Trafton & Hartman, 1997；Hopkins, 1995；Stanger et al. , 2000；支毅君，1997）。二、動(dòng)態(tài)評(píng)量動(dòng)態(tài)評(píng)量最主要的論點(diǎn)是俄國(guó)心理

13、學(xué)家Vygotsky的社會(huì)認(rèn)知發(fā)展理論，強(qiáng)調(diào)社會(huì)中介與內(nèi)化兩個(gè)觀點(diǎn)，並提出近側(cè)發(fā)展區(qū)（zone of proximal development）的概念以評(píng)估學(xué)習(xí)潛能（莊麗娟，1996）。評(píng)量的歷程中，主張?jiān)u量者與受試者的適度互動(dòng)與協(xié)助，以檢視受試者的最佳表現(xiàn)。動(dòng)態(tài)評(píng)量中的動(dòng)態(tài)有二個(gè)涵義（吳國(guó)銘，洪碧霞，邱上貞，1995）：一是跨多個(gè)時(shí)間點(diǎn)，觀察受試者的進(jìn)步及改變情形，即連續(xù)用測(cè)驗(yàn)教學(xué)測(cè)驗(yàn)程序。二是受試者與施測(cè)者有適量互動(dòng)，是歷程、協(xié)助、診斷導(dǎo)向，可了解受試者的學(xué)習(xí)歷程與發(fā)展脈絡(luò)。特色是兼重學(xué)習(xí)結(jié)果與學(xué)習(xí)歷程，強(qiáng)調(diào)結(jié)合評(píng)量和教學(xué)。綜合相關(guān)研究結(jié)果，動(dòng)態(tài)評(píng)量對(duì)於數(shù)學(xué)教育各領(lǐng)域均有不錯(cuò)效果（Jite

14、ndra & Kameenui, 1993, 引自莊麗娟，2000；Gerber, Semmel & Semmel, 1994, 引自莊麗娟，2000；Jitendra & Kameenui, 1996，引自莊麗娟，2000；吳國(guó)銘、洪碧霞、邱上真，1995；林素微，1996；陳進(jìn)福，1997）。參、研究方法一、研究對(duì)象本研究採(cǎi)取準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)研究法，研究對(duì)象分為實(shí)驗(yàn)組與對(duì)照組學(xué)生各一班。實(shí)驗(yàn)組為第一研究者任教班級(jí)四年級(jí)的學(xué)生，共37人。同一學(xué)校同一學(xué)年之一個(gè)班級(jí)為控制組，教學(xué)者仍為原班級(jí)任老師，學(xué)生人數(shù)共33人。二、研究設(shè)計(jì)本研究先建立數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)試題，作為教學(xué)介入前、後數(shù)感

15、能力的對(duì)照比較。再透過(guò)每單元二個(gè)主題的小組討論、每個(gè)單元連續(xù)5張平行的個(gè)人學(xué)習(xí)單與完成每張學(xué)習(xí)單後實(shí)施的班級(jí)討論活動(dòng)，來(lái)探究學(xué)生數(shù)感能力之量與質(zhì)的改變。（一）國(guó)小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)試題的建立流程如表3-1所示。測(cè)驗(yàn)編製可分為試題編製、預(yù)試及正式施測(cè)三個(gè)階段。表3-1 數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)試題建立與施測(cè)的流程施測(cè)時(shí)間樣本人數(shù) 目的第一次預(yù)試第二次預(yù)試正式施測(cè)1正式施測(cè)290年2月90年3月90年4月90年5月6月一個(gè)班級(jí)（36人）一個(gè)班級(jí)（35人）九個(gè)班級(jí)（322人）二個(gè)班級(jí)（70人）（包含實(shí)驗(yàn)組37人和控制組33人）修訂題目修訂題目分析信度和效度作為教學(xué)介入之前、後測(cè)（二）數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量的設(shè)計(jì)數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)

16、量設(shè)計(jì)分為三部分：?jiǎn)卧黝}小組討論、個(gè)人學(xué)習(xí)單、學(xué)習(xí)單後續(xù)討論。表3-2 則將數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量之設(shè)計(jì)原則、實(shí)施與計(jì)分方法作一歸納整理：表3-2 數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量之設(shè)計(jì)、實(shí)施與計(jì)分動(dòng)態(tài)評(píng)量設(shè)計(jì)實(shí)施時(shí)間活動(dòng)性質(zhì)實(shí)施方法計(jì)分方法第一週第二週第三週第四週第五週第六週第七週第八週活動(dòng)單元單元主題小組討論1.分?jǐn)?shù)的加減1次1次教學(xué)介入每單元2次，共8次。每週一次，每次依主題而實(shí)施時(shí)間不同（40-120分鐘）。2.除法1次1次3.小數(shù)的加減1次1次4.統(tǒng)計(jì)圖表1次1次個(gè)人學(xué)習(xí)單1.分?jǐn)?shù)的加減2張3張?jiān)u量教學(xué)與評(píng)量交互進(jìn)行之連續(xù)動(dòng)態(tài)歷程每單元5張，共20張。每週2-3次，每次約20分鐘。每題5分，每張學(xué)習(xí)單依題數(shù)不同

17、，總分亦不同。同單元的學(xué)習(xí)單題目平行。2.除法2張3張3.小數(shù)的加減2張3張4.統(tǒng)計(jì)圖表2張3張學(xué)習(xí)單後續(xù)討論1.分?jǐn)?shù)的加減2次2次教學(xué)介入學(xué)習(xí)單完成後，研究者批改發(fā)回，班級(jí)集體討論，每單元最後一張不討論。每單元4次，共16次，每次約30分鐘。2.除法2次2次3.小數(shù)的加減2次2次4.統(tǒng)計(jì)圖表2次2次（三）數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量實(shí)施過(guò)程中的方案修正本研究為行動(dòng)研究，因此在動(dòng)態(tài)評(píng)量活動(dòng)中採(cǎi)用循環(huán)式的研究步驟。每個(gè)教學(xué)單元定為一個(gè)循環(huán)，有4個(gè)單元，因此有4個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)均包含擬定行動(dòng)方案研究團(tuán)隊(duì)事前討論行動(dòng)方案實(shí)施研究團(tuán)隊(duì)事後討論四個(gè)步驟，每個(gè)循環(huán)最後的反省改進(jìn)均為下一個(gè)循環(huán)的初始方案。為了形成較客觀的行

18、動(dòng)方案，因此組成一研究團(tuán)隊(duì)，作為諮詢、討論的對(duì)象。三、研究工具（一）國(guó)小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)為研究者自編，試題分六個(gè)向度：了解數(shù)字意義並能結(jié)合生活情境、合成與分解數(shù)字以作為多種表徵間的轉(zhuǎn)換、數(shù)字的大小、了解數(shù)字運(yùn)算的結(jié)果、使用基準(zhǔn)點(diǎn)、自創(chuàng)有效策略並判斷合理性。每個(gè)向度6題，共計(jì)36題。本測(cè)驗(yàn)採(cǎi)取團(tuán)體施測(cè)，一次一個(gè)班級(jí)，用於前、後測(cè)，實(shí)驗(yàn)處X理時(shí)間為期2個(gè)月。為避免學(xué)生依賴紙筆計(jì)算，本測(cè)驗(yàn)試題以PowerPoint 在電腦上呈現(xiàn)，每題出現(xiàn)時(shí)間為30秒。每題一分，滿分36分。本測(cè)驗(yàn)採(cǎi)內(nèi)部一致性信度Cronbachs 係數(shù)，與內(nèi)容效度、專家效度。內(nèi)部一致性信度Cronbachs 值為 .72，平均難度

19、為 .42。（二）單元主題小組討論為研究者自編，內(nèi)容企圖使討論活動(dòng)能密切連結(jié)數(shù)感的六個(gè)向度。單元主題小組討論配合研究期間課程教材的內(nèi)容，進(jìn)行4個(gè)教學(xué)單元，每個(gè)單元有2次的小組討論，每週進(jìn)行一次，每次討論時(shí)間依主題內(nèi)容不同而有差異。研究者採(cǎi)用異質(zhì)分組，4-5人一組。每次的討論均要求學(xué)生記錄，以作研究中質(zhì)的分析來(lái)源。（三）個(gè)人學(xué)習(xí)單為研究者自編，是教學(xué)與評(píng)量交互進(jìn)行之連續(xù)且動(dòng)態(tài)的活動(dòng)：個(gè)人完成學(xué)習(xí)單屬於評(píng)量活動(dòng)，而班級(jí)一起討論學(xué)習(xí)單則為教學(xué)活動(dòng)。藉由每單元連續(xù)5張平行學(xué)習(xí)單，可在量與質(zhì)二方面呈現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考與解題策略的改變歷程。學(xué)習(xí)單的設(shè)計(jì)是針對(duì)不同單元，強(qiáng)化數(shù)感的各種特徵。每單元分別給予學(xué)生連續(xù)

20、5張個(gè)人學(xué)習(xí)單，每週約2至3張，每次約20分鐘。為量化處理，每題均採(cǎi)用5分制。（四）學(xué)習(xí)單後續(xù)討論為研究群自編，學(xué)生完成每張學(xué)習(xí)單之後均要參與班級(jí)討論，此一活動(dòng)是教學(xué)介入的一部份。每張學(xué)習(xí)單完成後，研究群收回批改，每題以5分制方式計(jì)分。待下一節(jié)數(shù)學(xué)課，利用30分鐘作班級(jí)討論，研究者並適時(shí)介入，引導(dǎo)學(xué)生思考策略。每單元有5張學(xué)習(xí)單，最後一張不討論，作為最後評(píng)量。（五）學(xué)校第一、三次數(shù)學(xué)月考試題為了瞭解學(xué)生在接受數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量實(shí)施後，除數(shù)感能力外，在校數(shù)學(xué)成績(jī)是否也受到影響，同時(shí)也避免可能是教學(xué)效益所導(dǎo)致的研究限制，因此以兩組在實(shí)驗(yàn)處理前、後之的第一次、第三次月考數(shù)學(xué)成績(jī)作為客觀對(duì)照。試題以課本為範(fàn)

21、圍，命題者均非實(shí)驗(yàn)組與控制組的數(shù)學(xué)老師，兩組月考試題一樣，滿分為100分。四、資料處理本研究之資料包含二個(gè)部分：量的部分有兩班學(xué)生前、後測(cè)的數(shù)感分?jǐn)?shù)，進(jìn)行單因子共變數(shù)分析（ANCOVA），兩組第一、三次數(shù)學(xué)月考成績(jī)亦以單因子共變數(shù)分析進(jìn)行，個(gè)人學(xué)習(xí)單量化的部分，進(jìn)行成對(duì)樣本T檢定；質(zhì)的部分有實(shí)驗(yàn)組學(xué)生小組討論的錄影資料、學(xué)生的單元主題小組討論記錄表、研究群之小組討論記錄、學(xué)生個(gè)人連續(xù)數(shù)張的個(gè)人學(xué)習(xí)單、學(xué)習(xí)單後續(xù)討論記錄單。肆、研究結(jié)果與討論一、數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量的效益（一）實(shí)驗(yàn)組的前測(cè)成績(jī)與後測(cè)成績(jī)比較兩組學(xué)生前、後測(cè)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和相依樣本t考驗(yàn)結(jié)果，如表4-1所示： 表4-1 實(shí)驗(yàn)組與控制組在國(guó)

22、小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)得分之平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與t考驗(yàn)摘要表組別人數(shù)前測(cè)後測(cè)tP平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)驗(yàn)組3712.224.3616.225.31-7.07.000*控制組3314.005.4814.644.85-.88.384*P.05由表4-1可知，實(shí)驗(yàn)組前測(cè)成績(jī)低於控制組，後測(cè)成績(jī)卻高於控制組。以相依樣本t考驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)，控制組在前、後測(cè)無(wú)明顯差異，實(shí)驗(yàn)組卻有顯著的進(jìn)步。圖4-1和4-2顯示：控制組前、後測(cè)差異不明顯，實(shí)驗(yàn)組後測(cè)成績(jī)明顯優(yōu)於前測(cè)。圖4-2 實(shí)驗(yàn)組學(xué)生之前、後測(cè)成績(jī)比較圖（二）實(shí)驗(yàn)組與控制組後測(cè)成績(jī)的比較以前測(cè)成績(jī)?yōu)楣沧償?shù)，後測(cè)成績(jī)?yōu)橐雷冺?xiàng)，採(cǎi)單因子共變數(shù)分析來(lái)檢驗(yàn)。先進(jìn)行組內(nèi)迴

23、歸係數(shù)同質(zhì)性考驗(yàn)以決定是否適合進(jìn)行共變數(shù)分析。如表4-2所示：表4-2 實(shí)驗(yàn)組與控制組在國(guó)小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)得分之組內(nèi)迴歸係數(shù)同質(zhì)性考驗(yàn)摘要表變異來(lái)源離均差平方和自由度均方F值組別誤差42.11822.6416642.1112.46.07 n.s.表4-2顯示兩組學(xué)生之迴歸係數(shù)並無(wú)明顯差異，符合組內(nèi)迴歸係數(shù)同質(zhì)性之基本假定，於是進(jìn)行後續(xù)的共變數(shù)分析。其結(jié)果如表4-3所示，表4-4為兩組學(xué)生在國(guó)小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)所得調(diào)整後平均數(shù)的比較：表4-3 實(shí)驗(yàn)組與控制組在國(guó)小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)得分之共變數(shù)分析摘要表變異來(lái)源離均差平方和自由度均方F值共變項(xiàng)（前測(cè)）組別901.16141.9411901.

24、16141.9469.82*11.00*誤差864.756712.91*P.05表4-4 實(shí)驗(yàn)組與控制組在國(guó)小四年級(jí)數(shù)感能力測(cè)驗(yàn)之調(diào)整後平均數(shù)組別人數(shù)調(diào)整後平均數(shù)實(shí)驗(yàn)組控制組373316.8413.94表4-3顯示，排除前測(cè)分?jǐn)?shù)影響後，兩組學(xué)生分?jǐn)?shù)有顯著的差異。表4-1與4-4，顯示實(shí)驗(yàn)組前、後測(cè)平均數(shù)不僅提升，調(diào)整後平均數(shù)亦高於控制組。（三）實(shí)驗(yàn)組與控制組兩次數(shù)學(xué)月考成績(jī)的比較以第一次成績(jī)?yōu)楣沧償?shù)，第三次成績(jī)?yōu)橐雷冺?xiàng)，採(cǎi)單因子共變數(shù)分析來(lái)檢驗(yàn)。先進(jìn)行組內(nèi)迴歸係數(shù)同質(zhì)性考驗(yàn)，以決定是否適合進(jìn)行共變數(shù)分析。組內(nèi)迴歸係數(shù)同質(zhì)性考驗(yàn)的結(jié)果如表4-5所示：表4-5 實(shí)驗(yàn)組與控制組在第一次、第三次數(shù)學(xué)月

25、考得分之組內(nèi)迴歸係數(shù)同質(zhì)性考驗(yàn)摘要表變異來(lái)源離均差平方和自由度均方F值組別誤差14.03623.0816614.039.44.23 n.s.表4-5顯示兩組學(xué)生迴歸係數(shù)並無(wú)明顯差異，符合組內(nèi)迴歸係數(shù)同質(zhì)性基本假定，再進(jìn)行共變數(shù)分析。結(jié)果如表4-6，兩組學(xué)生確有顯著差異。表4-7為兩組學(xué)生所得調(diào)整後平均數(shù)比較，顯示實(shí)驗(yàn)組調(diào)整後平均數(shù)高於控制組。表4-6 實(shí)驗(yàn)組與控制組在第一次、第三次數(shù)學(xué)月考得分之共變數(shù)分析摘要表變異來(lái)源離均差平方和自由度均方F值共變項(xiàng)組別7047.9649.74117047.9649.74741.19*5.23*誤差637.11679.51*P.05表4-7 實(shí)驗(yàn)組與控制組在第

26、一次、第三次數(shù)學(xué)月考之調(diào)整後平均數(shù)組別人數(shù)調(diào)整後平均數(shù)實(shí)驗(yàn)組控制組373392.1190.42二、學(xué)生在數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量過(guò)程中的改變（一）量的分析進(jìn)行相依樣本t考驗(yàn)，檢驗(yàn)每單元連續(xù)5張學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)間的改變，並分析每單元第一張到最後一張學(xué)習(xí)單的分?jǐn)?shù)是否有顯著差異。結(jié)果如表4-8：四個(gè)單元5張平行學(xué)習(xí)單都有程度不同的進(jìn)步。圖4-3為平行學(xué)習(xí)單平均成績(jī)之剖面圖：表4-8 實(shí)驗(yàn)組在每單元5張的平行學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)之相依樣本t考驗(yàn)描述統(tǒng)計(jì)表學(xué)習(xí)單人數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差tP分?jǐn)?shù)的加減1-1分?jǐn)?shù)的加減1-2分?jǐn)?shù)的加減1-3分?jǐn)?shù)的加減1-4分?jǐn)?shù)的加減1-5374.805.8010.6213.6214.272.143.534.3

27、73.833.81-1.75.088-8.20.000*-5.16.000*-1.55.131除法2-1除法2-2除法2-3除法2-4除法2-5377.3510.5014.1614.2716.464.004.645.035.224.23-4.81.000*-5.69.000*-.17.868-4.11.000*小數(shù)的加減3-1小數(shù)的加減3-2小數(shù)的加減3-3小數(shù)的加減3-4小數(shù)的加減3-5379.3210.2312.1911.5813.683.503.683.363.132.70-2.45.019*-4.82.000*1.46.153-5.57.000*統(tǒng)計(jì)圖表4-1統(tǒng)計(jì)圖表4-2統(tǒng)計(jì)圖表4-

28、3統(tǒng)計(jì)圖表4-4統(tǒng)計(jì)圖表4-5375.848.1012.1413.2414.723.003.815.245.113.47-4.92.000*-7.70.000*-2.52.017*-2.53.016*P.05圖4-3 實(shí)驗(yàn)組學(xué)生每單元連續(xù)5張平行學(xué)習(xí)單成績(jī)得分剖面圖圖4-3可看出實(shí)驗(yàn)組在4個(gè)單元中，學(xué)生幾乎每個(gè)單元都有不同程度的進(jìn)步。由線條的傾斜角度觀之，亦可看出的學(xué)生進(jìn)步的速率。從上升斜率來(lái)看，雖然小數(shù)的加減單元進(jìn)步速度比起其它單元緩慢，卻也是穩(wěn)定成長(zhǎng)。若進(jìn)一步對(duì)照表4-5，標(biāo)準(zhǔn)差愈來(lái)愈小，表示學(xué)生在此單元的差異愈來(lái)愈小，分?jǐn)?shù)愈來(lái)愈接近。為更瞭解數(shù)感動(dòng)態(tài)評(píng)量影響數(shù)感能力的程度，故進(jìn)行相依樣本

29、t考驗(yàn)。表4-9和4-10為每單元5張平行學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)的相依樣本t考驗(yàn)之相關(guān)係數(shù)與考驗(yàn)結(jié)果：表4-9 實(shí)驗(yàn)組在每單元5張的平行學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)之相依樣本t考驗(yàn)相關(guān)係數(shù)表學(xué)習(xí)單人數(shù)相關(guān)顯著性分?jǐn)?shù)的加減1-1和1-537.42.009*除法2-1和2-537.33.045*小數(shù)的加減3-1和3-537.66.000*統(tǒng)計(jì)圖表4-1和4-537.63.000*表4-10 實(shí)驗(yàn)組在每單元5張的平行學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)之相依樣本t考驗(yàn)學(xué)習(xí)單成對(duì)變數(shù)差異t自由度顯著性平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分?jǐn)?shù)的加減1-5和1-19.473.4916.5036.000*除法2-5和2-19.114.7611.6536.000*小數(shù)的加減3-5和3-1

30、4.352.669.9536.000*統(tǒng)計(jì)圖表4-5和4-18.882.8119.2236.000*P.05由表4-9可知，實(shí)驗(yàn)組在每個(gè)單元的第1張與最後1張學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)均有顯著相關(guān)。由表4-10的平均數(shù)可看出，每單元最後一張學(xué)習(xí)單分?jǐn)?shù)比第一張為優(yōu)。更進(jìn)一步檢驗(yàn)其進(jìn)步程度，從表4-7顯示，實(shí)驗(yàn)組每單元從第1張到第5張學(xué)習(xí)單的進(jìn)步情形，經(jīng)過(guò)相依樣本t檢定後，考驗(yàn)結(jié)果已達(dá)顯著。（二）質(zhì)的分析1.分?jǐn)?shù)的加減單元： （1）個(gè)人學(xué)習(xí)單與學(xué)習(xí)單後續(xù)討論方面的改變：本單元每張學(xué)習(xí)單均以第一張學(xué)習(xí)單舉例如下：1. 元太的數(shù)學(xué)程度不太好，柯南想用很多不同的方法來(lái)教會(huì)他。如果你是柯南，你會(huì)如何教這一題 ？ 請(qǐng)盡量想

31、出各種方法！在第1張學(xué)習(xí)單中，學(xué)生分解、合成數(shù)字的方法比較單一、制式，有超過(guò)一半的學(xué)生往往只呈現(xiàn)一種方法：前二項(xiàng)加減完再和第三項(xiàng)作加減，或是整數(shù)加減整數(shù)、分?jǐn)?shù)加減分?jǐn)?shù)。但經(jīng)過(guò)多次學(xué)習(xí)單後續(xù)討論，藉由同儕間多種不同策略的分享與刺激，再輔以研究者適時(shí)提問(wèn)以供學(xué)生討論（例如：剛才有位同學(xué)提到他是以小數(shù)方式來(lái)教元太，你覺(jué)得這個(gè)方式好不好？什麼情況下你可能會(huì)用？什麼情況下你可能不會(huì)用？），在之後的學(xué)習(xí)單評(píng)量過(guò)程中，學(xué)生的解法明顯多元化，對(duì)多種表徵的轉(zhuǎn)換有明顯進(jìn)步（例如：化成小數(shù)來(lái)做、化成假分?jǐn)?shù)來(lái)做、畫(huà)圖解釋），甚至能夠和生活經(jīng)驗(yàn)作具體連結(jié)（例如：能夠以實(shí)物示範(fàn)說(shuō)明，或以生活實(shí)例解釋等）。2. 大約是【

32、】。我的估計(jì)方法是：因尚未教過(guò)異分母加減，所以有一半學(xué)生一開(kāi)始就空白，有人嘗試用通分法解題，卻因數(shù)字複雜而中途放棄。也有人以錯(cuò)誤方法猜答案，例如：分子加減分子，分母加減分母。大部分學(xué)生並不明白估計(jì)的概念，仍試圖準(zhǔn)確計(jì)算答案。經(jīng)過(guò)全班同學(xué)多次討論可能策略，研究者並從旁提示（例如：我不想太精確，只想大約計(jì)算，且是很方便的計(jì)算。你覺(jué)得這三個(gè)分?jǐn)?shù)有沒(méi)有可能很方便的大約計(jì)算？）以引導(dǎo)學(xué)生思考基準(zhǔn)點(diǎn)的重要及探討如何取基準(zhǔn)點(diǎn)，在之後的學(xué)習(xí)單評(píng)量過(guò)程中，學(xué)生逐漸對(duì)數(shù)字敏感起來(lái)（例如：看到26/27知道大約為1，看到7/12知道大約為1/2），並能真正了解估計(jì)的意義，採(cǎi)用適當(dāng)?shù)墓烙?jì)策略（例如：能有效使用0、1/

33、2、1基準(zhǔn)點(diǎn)來(lái)估計(jì)並運(yùn)算結(jié)果）。3. 根據(jù)以上這個(gè)式子（ ），出一個(gè)生活中的問(wèn)題。剛開(kāi)始學(xué)生沒(méi)有分?jǐn)?shù)中當(dāng)作1單位的概念；或是寫(xiě)出不符合真實(shí)生活的例子，如糖果竟出現(xiàn)分?jǐn)?shù)顆。透過(guò)全班同學(xué)討論與分享，研究者適時(shí)澄清容易混淆的觀念（例如：提出學(xué)生的錯(cuò)誤例子，問(wèn)學(xué)生覺(jué)得對(duì)不對(duì)？為什麼？關(guān)鍵點(diǎn)在哪裡？如何修改？），和學(xué)生共同釐清分?jǐn)?shù)1單位的概念。之後學(xué)生有不同層次的進(jìn)步，例如：低成就學(xué)生不再出現(xiàn)分?jǐn)?shù)顆的離譜情況；中上程度學(xué)生不僅更加強(qiáng)化了分?jǐn)?shù)概念，並且也能考慮生活經(jīng)驗(yàn)。4.柯南想知道步美對(duì)分?jǐn)?shù)的加法是不是真的懂了，也想知道她的程度如何，因此打算出3個(gè)題目考考看，第一題簡(jiǎn)單的，第二題普通的，第三題難一點(diǎn)的。

34、請(qǐng)你幫幫忙。簡(jiǎn)單的： 普通的： 困難的：你的理由是：第一張學(xué)習(xí)單中，有高達(dá)三分之二的學(xué)生不太能夠明顯區(qū)分三個(gè)不同的層次，甚至連區(qū)分的理由都表達(dá)不清。極少數(shù)答對(duì)的學(xué)生也只會(huì)以數(shù)字的複雜程度或項(xiàng)目的多寡來(lái)作區(qū)分。透過(guò)多次討論，同儕之間解題策略的刺激，研究者提問(wèn)以引導(dǎo)學(xué)生思考（例如：如果1/102/10是簡(jiǎn)單的題目，怎樣的題目可能會(huì)比較難一點(diǎn)？為什麼會(huì)比較難？如果照這個(gè)理由，更難的題目可能是？），到了後面幾張學(xué)習(xí)單的評(píng)量，學(xué)生不僅愈來(lái)愈能清楚說(shuō)明區(qū)分的理由，甚至連區(qū)分程度的三題也有不同而多元的層次與類型，學(xué)生已能從各種角度思考，並呈現(xiàn)多元的策略。5. 還可以出不同類型的嗎？一開(kāi)始學(xué)生幾乎重複上一類型

35、，不清楚不同類型的意義。經(jīng)過(guò)多次的後續(xù)討論，同儕之間呈現(xiàn)並分享不同解法，研究者延續(xù)上一題的提問(wèn)並刺激學(xué)生思考，在後面的學(xué)習(xí)單評(píng)量過(guò)程中，學(xué)生的策略變得比較多元，可以寫(xiě)出各種類型的題目來(lái)區(qū)分三種程度，並能判斷這些區(qū)分方法的可行性，例如：以真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、分母的異同、進(jìn)位與否、文字題條件給予的直接或間接、解題的難易等多種角度來(lái)思考。在分?jǐn)?shù)的加減單元4次的後續(xù)討論中，學(xué)生討論歷程有很大的轉(zhuǎn)變。一開(kāi)始討論態(tài)度被動(dòng)消極，討論內(nèi)容貧乏粗淺，常需研究者從旁引導(dǎo)。後來(lái)幾次的討論，學(xué)生逐漸感受到討論環(huán)境安全而有趣，因此參與討論的情況愈加主動(dòng)而踴躍。最重要的是，學(xué)生已經(jīng)知道如何進(jìn)行討論才能有實(shí)質(zhì)收穫，並且

36、討論時(shí)能針對(duì)主題，嘗試向同儕澄清分?jǐn)?shù)概念與解題策略。（2）單元主題小組討論方面的改變：A.超級(jí)分?jǐn)?shù)偵探：這個(gè)活動(dòng)是先藉由研究者事先準(zhǔn)備的幾個(gè)提示，讓學(xué)生以小組討論的方式猜出研究者的答案。猜完後，各組需討論猜測(cè)過(guò)程中，哪一個(gè)提示最有幫助，哪一個(gè)提示最沒(méi)有用處。各組討論完後上臺(tái)發(fā)表，除了需記錄別組的想法外，也要說(shuō)出欣賞哪幾組的想法及理由。接著討論並分享猜一個(gè)答案最少需要多少提示。最後，每組都要設(shè)計(jì)一些提示，和別組交換解題，再記下討論心得。在本活動(dòng)中，約有一半學(xué)生一開(kāi)始是隨機(jī)亂猜，但藉由同儕討論，互相分享策略、修正想法，大部分學(xué)生逐漸可以掌握猜測(cè)答案的技巧。自己設(shè)計(jì)題目並與別人交換解題，顯得有趣並極

37、具挑戰(zhàn)，但因出題經(jīng)驗(yàn)不夠，第一次出題時(shí)很多組都出了不適合的提示，例如：沒(méi)有用的或與其它提示類似。透過(guò)各組觀摩學(xué)習(xí)，加上研究者暗示或引導(dǎo)（例如：提示一是分母是偶數(shù)，提示二是分母是2的倍數(shù)，去掉其中一個(gè)提示，你覺(jué)得還猜得出來(lái)嗎？），之後的出題幾乎每一組都很成功。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣比開(kāi)始時(shí)高，討論技巧和互動(dòng)情形也有很大的進(jìn)步，並能依照提示有系統(tǒng)地猜測(cè)答案。B.奇妙的組合：先讓學(xué)生討論6枝箭射在分子是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)靶上，是否可以得到分子是奇數(shù)或偶數(shù)的總分，小組討論完上臺(tái)分享，並記下認(rèn)為最棒的解法和原因。其次，討論6支箭換成5支箭時(shí)情況是否改變，判斷的方法是否相同，再討論靶上分?jǐn)?shù)之分子由奇數(shù)改成偶數(shù)時(shí)是否一樣

38、，總分有沒(méi)有限制。最後記下討論心得。剛開(kāi)始學(xué)生覺(jué)得一直計(jì)算分?jǐn)?shù)的加減很煩，研究者引導(dǎo)學(xué)生觀察並反思計(jì)算的過(guò)程，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)不必每個(gè)都算，只要找出奇數(shù)與偶數(shù)加減的規(guī)則就可以。當(dāng)學(xué)生找到解題關(guān)鍵後，研究者馬上給予強(qiáng)化，因此幾乎都能應(yīng)付條件改變後的情況（例如：6支箭改成5支箭，學(xué)生能清楚說(shuō)出5是奇數(shù)，不可能得到、的總分）。這個(gè)活動(dòng)使學(xué)生在分?jǐn)?shù)加減概念上有了進(jìn)步，同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生找出規(guī)則，作合理判斷，並能彈性應(yīng)用規(guī)則於不同情境中。2.除法單元：（1）個(gè)人學(xué)習(xí)單與學(xué)習(xí)單後續(xù)討論方面的改變：本單元題型以第一張學(xué)習(xí)單舉例如下：1. 生活中什麼時(shí)候你會(huì)用到除法？請(qǐng)盡量列出。學(xué)生開(kāi)始時(shí)大多只列出一種除法情境，經(jīng)過(guò)小

39、組討論與分享策略，研究者並從旁引導(dǎo)和提問(wèn)以不同角度思考（例如：除了分東西、分組外，在學(xué)?；蚣已e做什麼你可能會(huì)用到平均分配？做什麼可能也會(huì)用到幾個(gè)一組？），在後續(xù)學(xué)習(xí)單評(píng)量中，學(xué)生的答案多元且有創(chuàng)意（例如：畫(huà)圖時(shí)量長(zhǎng)度、算月考平均分?jǐn)?shù)、當(dāng)小老師出題目時(shí)各大題的配分、各國(guó)錢(qián)幣的換算、不同時(shí)間單位的換算等），顯示出學(xué)生已經(jīng)把除法和自己真實(shí)的生活情境作連結(jié)。2.估計(jì)4936÷48大約是（ ）。估計(jì)方法：估計(jì)7146÷23大約是（ ）。估計(jì)方法： 分成二小題，第一題有明顯的數(shù)字作估計(jì)基準(zhǔn)點(diǎn)，第二題數(shù)字則不明顯，用意是希望學(xué)生能對(duì)數(shù)字有敏銳感覺(jué)，作合理判斷，並運(yùn)用自創(chuàng)的策略估計(jì)。開(kāi)始時(shí)

40、學(xué)生拘泥於愈精準(zhǔn)愈好的框架中，估計(jì)時(shí)不敢放心大膽使用彈性策略，以致失去估計(jì)的真正意義。經(jīng)過(guò)數(shù)次的評(píng)量後，學(xué)生很有信心地運(yùn)用策略並作合理判斷，同時(shí)兼顧合理性與方便性，雖然可能較不精確，但也能接受合理範(fàn)圍內(nèi)的誤差，並以不同數(shù)字情境來(lái)作判斷的標(biāo)準(zhǔn)。以第一題來(lái)說(shuō)，剛開(kāi)始學(xué)生的估計(jì)只求接近原來(lái)數(shù)字而不管是否方便，學(xué)生無(wú)法判斷概數(shù)需求至哪一位。經(jīng)過(guò)多張的學(xué)習(xí)單討論與呈現(xiàn)學(xué)生多元解法，研究者並以提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生提高對(duì)數(shù)字的敏感程度（如果不想拿筆計(jì)算4936和48，又想方便算出大約的數(shù)，你覺(jué)得可以怎樣算？如果4936看成4900可以嗎？看成4900時(shí)，除以48好除嗎？要如何修正？這樣的修正合理嗎？為什麼？），激發(fā)

41、學(xué)生思考及討論，之後幾張學(xué)習(xí)單評(píng)量，學(xué)生不僅能運(yùn)用方便的基準(zhǔn)點(diǎn)來(lái)估計(jì)（例如：把1487÷15轉(zhuǎn)成1500÷15），並對(duì)數(shù)字有更敏銳的感覺(jué)（例如：看到 3419÷33可以很有信心地轉(zhuǎn)成3300÷33或3400÷34）。以第二題來(lái)看，開(kāi)始時(shí)學(xué)生不能馬上找出適合概數(shù)，有很多學(xué)生乾脆精確計(jì)算完再取概數(shù)（例如：先算出7146÷23311，因此估計(jì)約為310）。也有學(xué)生仍先取接近的概數(shù)，而不考慮是否方便估計(jì)（例如：把7146÷23轉(zhuǎn)換成7200÷23）。同樣在經(jīng)過(guò)多張的學(xué)習(xí)單討論，研究者引導(dǎo)學(xué)生思考後（如果只要大約的答案，需不

42、需要有很難或不方便的計(jì)算？如何才能使計(jì)算方便？比較被除數(shù)和除數(shù)這兩個(gè)數(shù)字，有沒(méi)有怎樣的想法？），學(xué)生不僅對(duì)數(shù)字敏感，可找出適當(dāng)數(shù)字作估計(jì)，並愈能兼顧估計(jì)的方便性，更重要的是，學(xué)生學(xué)會(huì)在不同的數(shù)字情境下，彈性採(cǎi)用不同的解題策略。3. 399 ÷21？有多少方法可以求出答案？請(qǐng)列出。剛開(kāi)始時(shí)，幾乎所有學(xué)生只列出最熟悉的一種方法，例如：用除法直式計(jì)算。經(jīng)過(guò)幾次的學(xué)習(xí)單討論，互相分享不同的做法，研究者並適時(shí)介入（例如：如果你沒(méi)有學(xué)過(guò)除法，你想怎麼做？如果你不一定拿筆計(jì)算，你會(huì)怎麼做？為什麼？?jī)?yōu)點(diǎn)是什麼？缺點(diǎn)呢？），到了後面幾張學(xué)習(xí)單，學(xué)生的解法顯得多元而靈活，例如：連加法、連減法、畫(huà)、以實(shí)物

43、操作解題，甚至有學(xué)生頗有創(chuàng)意地建議使用計(jì)算機(jī)，不僅符合生活經(jīng)驗(yàn)，亦能彈性運(yùn)用工具解題。4. 已經(jīng)知道891÷2733，則÷2833，應(yīng)該是891（×÷）【 】。（圈出正確的運(yùn)算符號(hào)）一開(kāi)始學(xué)生遇到這種非制式的題目時(shí)，半數(shù)以上幾乎空白，少數(shù)則亂猜。學(xué)生不能瞭解兩個(gè)算式之間的相關(guān)，也無(wú)法看出數(shù)字的合成、分解策略。因此，對(duì)於習(xí)慣直接求取答案的學(xué)生而言，這個(gè)不需紙筆計(jì)算的題目反而困難。經(jīng)過(guò)多次討論，研究者從旁提示（例如：前面兩個(gè)算式有什麼關(guān)係？你覺(jué)得除數(shù)多1，被除數(shù)應(yīng)該要多還是少多少才會(huì)有一樣的答案？為什麼？），後續(xù)幾張學(xué)習(xí)單，學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)照兩算式以作判斷，不再依

44、靠紙筆。學(xué)生在此類題中的進(jìn)步是：不再只靠計(jì)算求答案，學(xué)會(huì)仔細(xì)觀察算式，以舊有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)對(duì)數(shù)字合成與分解作合理判斷，並能清楚運(yùn)算前後的數(shù)字作如何改變。5.100個(gè)和尚總共吃了100個(gè)饅頭，每個(gè)大和尚吃3個(gè)饅頭，3個(gè)小和尚合吃1個(gè)饅頭。請(qǐng)問(wèn)大和尚和小和尚各有幾人？一開(kāi)始學(xué)生學(xué)生幾乎全部放棄不作。只有2位學(xué)生嘗試錯(cuò)誤，進(jìn)行一半。透過(guò)全班討論解題策略，研究者要學(xué)生嘗試用畫(huà)圖或其他可能比較慢、卻比較容易理解的方法，再全班討論是否合理或可行。在後續(xù)幾張學(xué)習(xí)單的評(píng)量過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)可以純熟運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕夥ń忸}（例如：畫(huà)慢慢整理、一個(gè)一個(gè)條列出來(lái)），這些方法並非最經(jīng)濟(jì)有效，卻是學(xué)生自行發(fā)展出的策略。尤其到第5張

45、學(xué)習(xí)單，大部分學(xué)生在互動(dòng)討論與自我學(xué)習(xí)的歷程中，找出適合自己的思考模式與方法。例如：在前幾次的後續(xù)討論時(shí)，有一位程度好的學(xué)生提出如下解法145，100÷520，20×480時(shí)，大多數(shù)學(xué)生雖然知道此法快速簡(jiǎn)單，但因還不能真正理解意義而無(wú)法認(rèn)同，因此前半段使用此法的學(xué)生不多，或是想嘗試使用卻因不懂而錯(cuò)誤百出。但在一次又一次的後續(xù)討論中，此種策略不斷出現(xiàn)，並一直有機(jī)會(huì)受到澄清與討論，學(xué)生在潛移默化中逐漸能夠瞭解意義，並能在內(nèi)化後變成自己的策略開(kāi)始使用。在此類題中，學(xué)生學(xué)會(huì)面對(duì)非例行性問(wèn)題時(shí)，如何自創(chuàng)並運(yùn)用適當(dāng)?shù)牟呗越忸}，同時(shí)也學(xué)會(huì)吸收別人方法的優(yōu)點(diǎn)，逐漸內(nèi)化成自己的策略。剛開(kāi)始進(jìn)

46、行後續(xù)討論時(shí)，一半以上學(xué)生對(duì)於解題策略有很制式的想法，認(rèn)為解法應(yīng)該有一套正式、標(biāo)準(zhǔn)的做法。經(jīng)過(guò)幾次的討論，研究者協(xié)助學(xué)生之間互相辨證、澄清後，學(xué)生對(duì)解題策略的觀念有了改變。他們能接受不同的方法有不同的優(yōu)點(diǎn)，可以用於不同的情境，而不是最快方法才是最好方法。（2）單元主題小組討論方面的改變：A.向空格挑戰(zhàn)：在這個(gè)活動(dòng)中，分別讓學(xué)生解出加、減、乘、除的4題空格題目，討論求最大或最小答案之思考方式是否相同，各組討論完上臺(tái)發(fā)表，並記下最欣賞的做法與理由。最後仍記錄自己的心得。在討論的過(guò)程中，學(xué)生一開(kāi)始不知如何著手，只好一直嘗試錯(cuò)誤。藉由學(xué)生間的討論、辨證，研究者的提示引導(dǎo)，到最後學(xué)生已經(jīng)能掌握要領(lǐng)（例如

47、：把大的數(shù)字都放在左邊能得到最大和：754972）。只是題目似乎對(duì)他們較難，學(xué)生的討論速度很緩慢，到最後有一點(diǎn)不耐煩。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)不同的數(shù)字可以有相同的結(jié)果時(shí)（例如：抽出2、4、5、7、7、9，可以排出754972或772954或974752最大和），有一點(diǎn)訝異，之後的嘗試似乎就比較多元而豐富，並能接受不同解法。此活動(dòng)中，學(xué)生嘗試錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)逐漸累積，不再尋求一定解法或唯一答案，並能欣賞、學(xué)習(xí)不同的解題策略與思考方式。B.超的減肥菜單：這個(gè)活動(dòng)列出了三個(gè)表：一是運(yùn)動(dòng)熱量消耗表，一是食物熱量表，另一是體重表。藉由這些資訊，學(xué)生要計(jì)算出同一運(yùn)動(dòng)，誰(shuí)的消耗量多；誰(shuí)運(yùn)動(dòng)多久才能消耗相同熱量：吃哪些東西可以

48、藉著做多久的某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)把熱量消耗光。同時(shí)，要各組學(xué)生設(shè)計(jì)一份1000卡的菜單。之後每組根據(jù)已給的三個(gè)表格出題並交換解題。另外要學(xué)生再設(shè)計(jì)一份屬於自己的午餐菜單，並配合選擇的運(yùn)動(dòng)與時(shí)數(shù)將熱量消耗完。最後仍記下這次的討論心得。這個(gè)活動(dòng)很能引起學(xué)生興趣，但初始時(shí)學(xué)生菜單設(shè)計(jì)得很離譜。經(jīng)過(guò)多次小組討論，研究者提出錯(cuò)誤例子討論，學(xué)生已能作適當(dāng)選擇（例如：午餐吃了2碗麵線，荷包蛋2個(gè)，雞腿二片，炸蝦二份，豆腐一份，青菜一份，芒果一個(gè)，哈密瓜二片，蘋(píng)果一個(gè)，就須跳繩4個(gè)小時(shí)才能消耗完熱量），並能藉此證明數(shù)字在生活中的實(shí)用性。這次活動(dòng)，學(xué)生不僅強(qiáng)化除法概念，同時(shí)比較能關(guān)心數(shù)學(xué)在生活中的運(yùn)用，而不再只是教室中的數(shù)

49、字計(jì)算。3.小數(shù)的加減單元：（1）個(gè)人學(xué)習(xí)單與學(xué)習(xí)單後續(xù)討論方面的改變：本單元題型以第一張學(xué)習(xí)單舉例如下：1. 這裡有一個(gè)算式8.51.25 ，若此算式是要解決日常生活中的問(wèn)題，你認(rèn)為可能是哪些情況？請(qǐng)盡量列出。剛開(kāi)始學(xué)生只列出一、二種，其中有一半是不合常理的，例如：人數(shù)相加（有小數(shù)個(gè)人嗎？）。另有三分之一是不符合活經(jīng)驗(yàn)的，例如：糖果顆數(shù)相加。在幾次的學(xué)習(xí)單後續(xù)討論中，學(xué)生利用社會(huì)建構(gòu)，不斷的進(jìn)行澄清、辯證、溝通，研究者亦不斷連結(jié)舊有經(jīng)驗(yàn)（例如：生活中有些地方不可能看到小數(shù)，在哪裡？生活中用得到小數(shù)的是什麼時(shí)候？用什麼單位比較好？為什麼？在這種情況下會(huì)有相加的情況嗎？什麼時(shí)候？合理嗎？常見(jiàn)嗎？

50、）。後面幾張學(xué)習(xí)單，學(xué)生展現(xiàn)多種變化與創(chuàng)意，並能?chē)?yán)謹(jǐn)考慮小數(shù)在生活中的意義。例如：敏銳察覺(jué)出小數(shù)80.5和100.25可能適合美金的換算，0.5公尺和1.25公尺較適合跳高的高度相加。學(xué)生在本類題中的明顯改變，是答案從不合常理、單一例子，轉(zhuǎn)變?yōu)椴t解小數(shù)意義，考慮生活經(jīng)驗(yàn)，能呈現(xiàn)多元有創(chuàng)意的情境。2. 想用計(jì)算機(jī)計(jì)算以下的算式，卻發(fā)現(xiàn)6的按鍵壞掉了。請(qǐng)問(wèn)你會(huì)如何按才能求出答案？62.0616.728.666.69？一半學(xué)生在剛開(kāi)始作數(shù)字調(diào)整增減工作時(shí)常會(huì)出錯(cuò)。例如：中間過(guò)程總有一個(gè)鍵忘記避開(kāi)6。又如：8.66若拆成8.550.11，學(xué)生總是直覺(jué)寫(xiě)成8.550.11。有學(xué)生先把原始數(shù)字全部調(diào)整過(guò)後

51、，例如：52.0515.728.555.59，再一起增減，10.0110.111.1，這種按鍵方式為了避免忘記，實(shí)際生活中只能依賴紙筆記錄。但在幾次的後續(xù)討論後，學(xué)生們提出自己的解法互相觀摩學(xué)習(xí)，研究者引導(dǎo)學(xué)生思考每一種解法的優(yōu)缺點(diǎn)、適用的情境，因此接下來(lái)的幾張學(xué)習(xí)單，學(xué)生能運(yùn)用簡(jiǎn)單正確的策略避開(kāi)某一按鍵，並且錯(cuò)誤明顯減少，顯示學(xué)生能熟練運(yùn)用已經(jīng)內(nèi)化的解題策略。學(xué)生在本類題中能作有效的數(shù)字分解與合成，運(yùn)用簡(jiǎn)單方便的策略對(duì)數(shù)字運(yùn)算作彈性調(diào)整。3. 題目我的估計(jì)計(jì)算機(jī)計(jì)算的結(jié)果檢查估計(jì)值是否合理例： 1.95 3.04 12.07 2 3 12 1717.06合理 8.09 0.97 2.1 23

52、.89 15.1 8.93 124.92 6.99剛開(kāi)始一半學(xué)生不知道取概數(shù)就是取一個(gè)接近數(shù)的意義，認(rèn)為去掉小數(shù)位數(shù)就是最接近的數(shù)（例如：23.89取概數(shù)為23）。在判斷估計(jì)值是否合理方面，學(xué)生認(rèn)為合理就是精準(zhǔn)，因此出現(xiàn)在比較118和117.93時(shí)認(rèn)為不合理的情況。學(xué)生透過(guò)幾次討論的澄清與辯證，研究者並協(xié)助學(xué)生建立正確概念，學(xué)生在後面幾張的學(xué)習(xí)單中，已經(jīng)能夠有效取得概數(shù)估計(jì)，同時(shí)也能適當(dāng)?shù)暮饬砍叨?，作一合理判斷?.請(qǐng)從7個(gè)數(shù)字中，選擇最適合的填入【 】中。11040.47010000011.210冰島這個(gè)國(guó)家的人口多半集中於都市，其中首都的人口就達(dá)【 】人左右，大約佔(zhàn)了全國(guó)人口的【 】。冰島

53、的氣候並不是像名字一樣那麼冷，一月平均氣溫是攝氏零下【 】度，十月的平均氣溫是攝氏【 】度。冰島最有名的是火山。許多火山中，最常爆發(fā)的是赫克拉火山，它自西元【 】年以來(lái)就已經(jīng)爆發(fā)了【 】次，平均大約每隔【 】年爆發(fā)一次。一開(kāi)始有一半學(xué)生對(duì)數(shù)字的感覺(jué)不夠敏銳，也無(wú)法和生活經(jīng)驗(yàn)作連結(jié)，例如：出現(xiàn)西元100000年、爆發(fā)次、人口達(dá)0.4人的離譜情況，顯然學(xué)生對(duì)數(shù)字大小並沒(méi)有真正理解，且無(wú)法依生活經(jīng)驗(yàn)作合理判斷。經(jīng)過(guò)幾次的討論與研究者給予的提問(wèn)（例如：小數(shù)不可能出現(xiàn)在哪裡？分?jǐn)?shù)不可能在哪裡？為什麼？大數(shù)最可能出現(xiàn)在哪裡？為什麼？有兩個(gè)小數(shù)，你覺(jué)得他們應(yīng)該怎麼放？），之後的各張學(xué)習(xí)單，不論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)或

54、小數(shù)，甚至連學(xué)生較無(wú)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的大數(shù)，都能對(duì)數(shù)字大小有更深入瞭解，並依經(jīng)驗(yàn)作一合理判斷。後續(xù)討論中，透過(guò)一次又一次的同儕溝通與辯證，研究者從旁引導(dǎo)或澄清，學(xué)生由單一思考進(jìn)步到不同角度的考慮，同時(shí)也逐漸對(duì)數(shù)字有敏銳感覺(jué)。（2）單元主題小組討論方面的改變：A.創(chuàng)意的運(yùn)算：本活動(dòng)設(shè)計(jì)了幾題小數(shù)加減混合算式，每個(gè)式子都有一至數(shù)個(gè)空格，可能是數(shù)字或運(yùn)算符號(hào)，分別讓學(xué)生估計(jì)答案，各組討論估計(jì)方法並分享，再實(shí)際計(jì)算答案，並判斷估計(jì)值是否合理，或討論最大、最小的可能性。之後進(jìn)行各組出題並交換解題，同時(shí)記錄討論的心得。在開(kāi)始時(shí)，一半學(xué)生對(duì)於式子中含有二個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題束手無(wú)策，經(jīng)過(guò)幾次的練習(xí)，各組互相觀摩討論，研究者並引導(dǎo)學(xué)生觀察算式中相互關(guān)係，學(xué)生逐漸可以探討各種可能性，例如：針對(duì)題目3.15.68.7，學(xué)生在嘗試錯(cuò)誤過(guò)程中，不僅知道有許多組可能答案，同時(shí)也能找到兩個(gè)互相影響的關(guān)係。例如：題目8.12.51.24.67.2，欲填入或，有的小朋友利用3種方法反覆驗(yàn)證：先嘗試錯(cuò)誤；再試著取概數(shù)估計(jì)：82.514.57，以此判斷應(yīng)是82.514.57；最後利用每個(gè)數(shù)字的小數(shù)位作簡(jiǎn)單加減來(lái)驗(yàn)算1