阿基米德三角形在高考中的應(yīng)用（課堂PPT）

1、1高考題中的阿基米德三角形高考題中的阿基米德三角形2圖1回顧：回顧：過拋物線過拋物線x x2 2=2=2pypy( (pp0)0)上的點上的點P(P(x x0 0，y y0 0) )處的切線方程？處的切線方程？yx(x0,y0)x0 x=p(y0+y)OFP)(00yypxx可可以以表表示示什什么么直直線線？還還方方程程思思考考：)(00yypxx3結(jié)論：結(jié)論：過拋物線過拋物線x x2 2=2=2pypy( (pp0)0)外一點外一點P(xP(x0 0，y y0 0) )，分別作拋物線的切線，分別作拋物線的切線PAPA、PBPB，A A、B B分別是切點，則直線分別是切點，則直線ABAB的方程

2、的方程為為 )(00yypxxyxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA4由拋物線的弦與過弦的端點由拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形的兩條切線所圍成的三角形.OABPF阿基米德阿基米德三角形三角形 阿基米德是阿基米德是偉大數(shù)學家與力偉大數(shù)學家與力學家學家, ,并享有并享有“數(shù)數(shù)學之神學之神”的稱號。的稱號。 xy5結(jié)論：結(jié)論：直線直線ABAB的方程為的方程為 )(00yypxx圖2yxx0 x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA線線？的的軌軌跡跡是是否否為為一一條條定定直直點點P P則則阿阿基基米米德德三三角角形形的的頂頂( (1 1, ,3 3) ), ,內(nèi)內(nèi)一一

3、定定點點若若弦弦A AB B過過拋拋物物線線)y,(x2002yx (1,3)探究探究1 1：線線？的的軌軌跡跡是是否否為為一一條條定定直直) )y y, ,三三角角形形的的頂頂點點P P( (x x則則阿阿基基米米德德c c) ), ,點點( (0 0, ,2 2p py y內(nèi)內(nèi)一一定定物物線線x x若若弦弦A AB B過過拋拋 0 00 02 2探究探究2 2：(a,b)6 性質(zhì)性質(zhì)1 1：若阿基米德三角形若阿基米德三角形ABPABP的邊的邊ABAB即弦即弦ABAB過拋物線內(nèi)定點過拋物線內(nèi)定點C C，則另一頂點則另一頂點P P的軌跡為一條直線。的軌跡為一條直線。OABPFCxy7yxx0

4、x=p(y0+y)(x0,y0)POFBA則則弦弦A AB B是是否否過過定定點點？2 2p py y無無公公共共點點) ), ,1 1( (與與x xx xy y在在定定直直線線基基米米德德三三角角形形的的頂頂點點P P上上的的阿阿探探究究3 3：若若拋拋物物線線2 2pyx228性質(zhì)性質(zhì)2 2：若直線若直線l l與拋物線沒有與拋物線沒有公共點，以公共點，以l l上的點為頂點的上的點為頂點的阿基米德三角形阿基米德三角形ABPABP的底邊的底邊ABAB過定點。過定點。OABPFCxy9成成等等差差數(shù)數(shù)列列. .B B三三點點的的橫橫坐坐標標MM, , ,A A、B B兩兩點點. .求求證證：A

5、 A線線，切切點點分分別別為為過過MM引引拋拋物物線線的的兩兩條條切切2 2p p上上任任意意一一點點，y y: :MM為為直直線線l l0 0) ), ,( (p p2 2p py y如如圖圖，拋拋物物線線x x例例1 1：( (0 08 8. .山山東東) )2 2MOABxy-2pN思考：思考：把把M M改改成拋物線外任成拋物線外任意一點，結(jié)論意一點，結(jié)論仍然成立嗎？仍然成立嗎？10POABFxyN性質(zhì)性質(zhì)3 3：如圖如圖, ABP, ABP是阿基米德是阿基米德三角形，三角形，N N為拋物線弦為拋物線弦ABAB中點，中點，則直線則直線PNPN平行于拋物線的對稱平行于拋物線的對稱軸軸. .

6、pyx2211斷斷D D. .無無法法判判 C C. .垂垂直直 B B. .平平行行 A A. .相相交交) ) ( ( 的的位位置置關(guān)關(guān)系系M M。則則直直線線P PM M與與x x軸軸弦弦A AB B的的中中點點為為B B, ,兩兩條條切切線線，切切點點為為A A, ,4 4x x的的物物線線y y任任意意一一點點，過過點點P P作作拋拋9 9上上y y4 4) )x x練練習習1 1. .動動點點P P是是圓圓( (2 22 22 2BBPAOxyM12. . QQ-c交于點P,-c交于點P,y y: :段AB和直線l段AB和直線l的直線，分別與線的直線，分別與線兩點，一條垂直于x軸兩

7、點，一條垂直于x軸 B B相交于A,相交于A,x xy y任作一直線，與拋物線任作一直線，與拋物線 ，c)，c)軸正方向上一點C(0軸正方向上一點C(0中，過y 中，過y 系xoy 系xoy 標標)如圖，在平面直角坐)如圖，在平面直角坐練習2：(07.江蘇練習2：(07.江蘇2 2是否成立？說明理由。是否成立？說明理由。命題命題（2）試問（1）的逆（2）試問（1）的逆O為為此此拋拋物物線線的的切切線線；QQA A 的的中中點點，求求證證： 為為線線段段A AB B（1 1) )若若P P QABCP PxyM M(M)(M)13性質(zhì)性質(zhì)4 4：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，則，

8、則|2FBFAPFOABPFxyB)2,(211pxxApyx22)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 的的關(guān)關(guān)系系？| |P PF F| | |與與F FB B| | |F FA A| |2 2探究探究4：)2, 0(p14) ). .t t, ,( (s s交交拋拋物物線線與與另另一一點點B B的的直直線線F FA A4 4y y上上的的點點，過過焦焦點點F F線線x x) )是是拋拋物物y y, ,( (x xA A, ,如如圖圖. .對對每每個個正正整整數(shù)數(shù)n n) )重重慶慶. .2 22 2例例2 2：( (0 06 6. .n nn nn nn n2 2n

9、 nn nn n1 1）; ;4 4（n ns sx x( (1 1) )試試證證：n nn n4 4y y上上x x2 2) ). .t t , ,( (s sB Bn nn nn n) )y y, ,( (x xA An nn nn n151,nyk x 4(1)nnx sn 1,n nnA B證明：證明：（）對任意固定的）對任意固定的因為焦點因為焦點F F（0,10,1）, ,所以可設(shè)直線所以可設(shè)直線的方程為的方程為 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得244 0nxk x 得得由由,412yxxkyn161 12 22 2| |F FC C| | |F FC C

10、| | |F FC C| |點點。試試證證：為為切切點點的的兩兩條條切切線線的的交交B B以以A A為為拋拋物物線線上上分分別別并并記記C C, ,2 2( (2 2) )取取x x1 1n nn nn n2 21 1n nn nn nn nn n 1 1）; ;4 4（n ns s( (1 1) )試試證證：x xn nn n4 4y y上上x x2 2性質(zhì)性質(zhì)4 4：在阿基米在阿基米德三角形德三角形ABPABP，則則| |2nnnFBFAFC) ). .t t , ,( (s sB Bn nn nn n) )y y, ,( (x xA An nn nn nF F( (0 0, ,1 1)

11、)17OABPFxyB)2,(211pxxA)(2,(21222xxpxxB)2,2(2121pxxxx 性質(zhì)性質(zhì)5 5：如圖：在阿基米德三如圖：在阿基米德三角形角形ABPABP，若，若F F為拋物線焦點，為拋物線焦點，則則PFBPFA )2, 0(p18PFB.PFB.= =PFAPFA: :證明證明. .分別相切于A、B兩點分別相切于A、B兩點，且與拋物線C，且與拋物線C的兩條切線PA、PB的兩條切線PA、PB線C線C0上運動，過P作拋物0上運動，過P作拋物2 2- -y y- -x x: :直線l直線l的焦點為F，動點P在的焦點為F，動點P在 x xy y拋物線C：拋物線C：(05.江西

12、）如圖，(05.江西）如圖，2 2OABPFxy高高考考鏈鏈接接：19,|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP同理可得：同理可得： 分析：分析：)(,(),(0121120 xxxxBxxA設(shè)切點設(shè)切點 AFP=PFB.,|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP).,2P(1010 xxxx則).41,(),41,2(),41,(2111010200 xxFBxxxxFPxxFA20推論：推論：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPA

13、BP，若弦若弦ABAB過拋物線焦點過拋物線焦點F F，則，則ABPF OABPFOABPFxy21B推論：推論：在阿基米德三角形在阿基米德三角形ABPABP，若弦，若弦ABAB過拋物線焦點過拋物線焦點F F，則，則ABPF 22課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：2.2.關(guān)鍵點：關(guān)鍵點：阿基米德三阿基米德三角形三個頂點坐標之間角形三個頂點坐標之間的關(guān)系。的關(guān)系。QOABCF1.1.一個一個阿基米阿基米德三角形德三角形3. 3. 方法：方法：求導法；主元法；求導法；主元法；設(shè)而不求法。設(shè)而不求法。2324OABPFA1B1pyx22FAPFAPAPAPA A1 1 AFAF分析：AA分析：AA1 1FAPPAA

14、1AFPPAA11 11 1P PB BP PF FF FP P, ,P P 同同理理可可得得：BBBPFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即, ,P PB BP PA Axy25OABPFpyx22xy B BF FP P相相似似 P PF FA A與與根根據(jù)據(jù)剛剛才才的的證證明明，可可得得 | |F FB B| | |P PF F| | |P PF F| | |F FA A| | |FBFB| | |FAFA| |PF|PF|2 226, 0, 0,0000101yxxxxx則不妨設(shè)由于時)0,2(1x方法方法2:2:當當所以所以P P點坐標為

15、點坐標為的距離為：的距離為：，則，則P P點到直線點到直線AFAF,4141:;2|12111xxxyBFxd的方程而直線即即. 041)41(1121xyxxx所以所以P P點到直線點到直線BFBF的距離為：的距離為：2|412|)41()()41(|42)41( |1211212122111212xxxxxxxxxd所以所以d d1 1=d=d2 2，即得，即得AFP=PFB.AFP=PFB.27001xx, 041)41(),0(041410020020 xyxxxxxxy即2 2| |x xx x| |4 41 1x x) )4 41 1) )( (x x2 2x xx x| |x x

16、) )4 41 1( (x x| |x x4 41 1x xx x) )2 2x xx x) )( (4 41 1( (x x| |1 10 02 20 02 20 01 10 02 20 02 22 20 00 01 12 20 01 10 02 20 01d2|012xxd當當時，直線時，直線AFAF的方程：的方程：所以所以P P點到直線點到直線AFAF的距離為：的距離為：同理可得到同理可得到P P點到直線點到直線BFBF的距離的距離因此由因此由d d1 1=d=d2 2，可得到，可得到AFP=PFB.AFP=PFB.28OABPFA1B1pyx22FAPFAPAPAPA A1 1 AFAF分析：AA分析：AA1 1FAPPAA1AFPPAA11 1P PB B同同理理可可得得：P PF F PFPA11 11 11 11 11 11 1A AP PB BB BP PA A即即, ,P PB BP PA Axy29OABPFA1B1pyx22N N四四點點共共圓圓P P, , ,F F分分析析：M,B BP PB BF FP PA A1 1MNF FB BP PF FP PA Axy B BF FP P相相似似 P PF FA A與與| |F FB B| | |P