計算方法第六章

1、1近似計算近似計算 badxxfI)(1 Newton-Cotes 公式公式思思路路利用利用插值多項式插值多項式 則積分易算。則積分易算。( )( )nL xf x 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多項式多項式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 決定，決定，與與 無關(guān)。無關(guān)。節(jié)點節(jié)點 f (x)插值型積分公式插值型積分公式/*interpolatory quadrature*/ bankkxnbanbanbankkkdxxx

2、nfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()( 誤差誤差第六章第六章 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分利用數(shù)值方法計算積分的近利用數(shù)值方法計算積分的近似值似值2若某個求積公式所對應(yīng)的誤差若某個求積公式所對應(yīng)的誤差R f 滿足：滿足：R Pk =0 對對任任意意 k n 階階的多項式成立，且的多項式成立，且 R Pn+1 0 對對某個某個 n+1 階多項式階多項式成立，則稱此求積公式的成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度代數(shù)精度為為 n 。定義定義例：例：對于對于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfabaxafbabxxL)()(2)(221bfafabdxx

3、fabAAbaf(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/* trapezoidal rule*/解：解：逐次檢查公式是否精確成立逐次檢查公式是否精確成立代入代入 P0 = 1：baabdx1 11 2ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abdxxba2baab3332abdxxba222baab代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1考察其代數(shù)精度?？疾炱浯鷶?shù)精度。( )bkkaAlx dx3例如，有積分公式例如，有積分公式: :求該積分公式的代數(shù)精確度。求該積分公式的代數(shù)精確度。 ( )()( )( )111f x dxf12f 0f 12 對于任意一個一次多項式，求積

4、公式都是精確成立的；對于任意一個一次多項式，求積公式都是精確成立的；至少存在一個二次多項式使求積公式不精確成立；至少存在一個二次多項式使求積公式不精確成立；故該求積公式的故該求積公式的代數(shù)精確度為代數(shù)精確度為1 1。 2 121 21)1 () 0(2) 1(21 21)(11 -11 -fffdxdxxf解：取解：取f(x)=1，取取f(x)=x ，0 10121)1 () 0(2) 1(21 0)(11 -11 -fffxdxdxxf取取f(x)=x2 ，1 101 21)1 () 0(2) 1(21 32)(11 -211 -fffdxxdxxf =4用直線代替用直線代替y=f(x)精度

5、不高，若用拋物線代替，即采用精度不高，若用拋物線代替，即采用二次插值多項式來代替被積函數(shù)，并等分二次插值多項式來代替被積函數(shù)，并等分a,b區(qū)間，使區(qū)間，使h=x2-x1=x1-x0=(b-a)/2，其中，其中，a=x0,b=x2，得到：，得到：0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL xf xf xf xxxxxxxxxxxxx012121(),(),()636AbaAbaAba( )bkkaAlx dx( ) ( )4 ()( )62babaabf x dxf aff b考察其精度。考察其精度。解

6、：解：逐次檢查公式是否精確成立逐次檢查公式是否精確成立代入代入 P0 = 1：baabdx1代入代入 P1 = x ：代入代入 P2 = x2 ：222abdxxba3332abdxxba=66ba3()6baab=22(222)6baaabb5 形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ）代入代入 P3 = x3：=32233()62baaa babb4434babax dx代入代入 P4 = x4：5545babax dx433224(54465)24baaa baba bb 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3 nkkkxfA0)

7、( bakkdxxlA)(從某種意義上說，代數(shù)精度越高，求積分公式就越精從某種意義上說，代數(shù)精度越高，求積分公式就越精確。為了提高代數(shù)精度，可以提高插值多項式的次數(shù)。確。為了提高代數(shù)精度，可以提高插值多項式的次數(shù)。小結(jié)：小結(jié)：1、2、6 當(dāng)節(jié)點當(dāng)節(jié)點等距分布等距分布時：時：ninabhhiaxi,., 1, 0, dxxxxxAnxxijjiji 0)()(00()()( 1)()()!()!n innj ij itj hbah dttj dtij hn i ni令令htax Cotes系數(shù)系數(shù))(niC注：注：Cotes 系數(shù)僅取決于系數(shù)僅取決于 n 和和 i，與，與 f (x) 及區(qū)間及區(qū)

8、間a, b均無關(guān)。均無關(guān)。( )()niiAba C7n = 1:)()(2)(bfafabdxxfba 梯形公式梯形公式dxbxaxffRbax)(!2)( 1, , )(1213abhbafh 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1( )0( 1)()!()!n innij iCtj dtni ni11(1)21000( 1)11(1)()|1 1 122Ctdttt 01(1)21100( 1)11(0)()|1 1 122Ctdtt 11(1)0100( )()()()()()22bkkkkakkbabaf x dxf xAf xba Cf xf x( )()niiAba C注：注：梯形公式是用直線

9、代替梯形公式是用直線代替y=f(x)，然后再求積分而得，然后再求積分而得，并且梯形公式只對線性函數(shù)積分精確。并且梯形公式只對線性函數(shù)積分精確。8n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC辛普森公式辛普森公式代數(shù)精度代數(shù)精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR 22(2)01200( )()()() ()4 ()()6bkkkiakkbaf x dxf xAf xba Cf xf xf x)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba 注：注：辛普森公式使用拋物線代替辛普森公式使用拋物線代替y=f(x)，即采用二次插，即采用二次插值多項式來代替被積函數(shù)

10、，并且辛普森公式對不高值多項式來代替被積函數(shù)，并且辛普森公式對不高于三次的多項式積分是精確的。于三次的多項式積分是精確的。9n = 3:01233( ) ()3 ()3 ()()8bahf x dxf xf xf xf x5(4)3( )( ),( , ),803baR fh fa b h n = 4:012344( )7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()90bahf x dxf xf xf xf xf x7(6)8( )( ),( , ),9454baR fh fa b h 第二辛普森公式第二辛普森公式代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3科茨公式科茨公式代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5注：注：第二辛

11、普森公式雖然比辛普森公式的計算量大，但第二辛普森公式雖然比辛普森公式的計算量大，但是代數(shù)精度并沒有提高。當(dāng)是代數(shù)精度并沒有提高。當(dāng)n為偶數(shù)的時候，相對為偶數(shù)的時候，相對來說代數(shù)精度還是比較高的。來說代數(shù)精度還是比較高的。10( )nkC( )nkC科茨系數(shù)表科茨系數(shù)表11誤差公式誤差公式n n為偶數(shù)為偶數(shù)（奇數(shù)個節(jié)點）（奇數(shù)個節(jié)點）n n為奇數(shù)為奇數(shù)（偶數(shù)個節(jié)點）（偶數(shù)個節(jié)點）(2)0( )( )()(2)!nnbniaifRfxxx dxn(1)0( )( )()(1)!nnbniaifRfxx dxn注：注：從誤差公式可知，當(dāng)從誤差公式可知，當(dāng)n為偶數(shù)時，求積公式有為偶數(shù)時，求積公式有n+

12、1次代次代數(shù)精度，而數(shù)精度，而n為奇數(shù)時，求積公式只有為奇數(shù)時，求積公式只有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。12例：例：用辛普森公式求積分用辛普森公式求積分 ，并估計誤差。，并估計誤差。10 xe dx解：解：01e 120.606530659e10.367879441e10 ( )4 ()( )62xbaabe dxf aff b1(14*0.6065306590.367879441)60.6323336795(4)2|( )| |( )| 0.00034722290hRff 13例：例：已知函數(shù)表，試用牛頓已知函數(shù)表，試用牛頓- -科茨公式計算積分科茨公式計算積分 。2.61.8( )f x d

13、xx1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675解：根據(jù)已知條件可得：解：根據(jù)已知條件可得：2.6 1.84,0.244banh2.6012341.84( )7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )90hf x dxf xf xf xf xf x代入函數(shù)表中的數(shù)據(jù)可得：代入函數(shù)表中的數(shù)據(jù)可得：2.61.8( )0.00888*566.203715.0329f x dx 14牛頓牛頓- -科茨公式的討論：科茨公式的討論：0( )()nbkkakf x dxf xA( )0()()nnkkkbaf x C科茨

14、系數(shù)科茨系數(shù) 僅與插值次數(shù)僅與插值次數(shù)n及及k有關(guān)，與有關(guān)，與f(x)無關(guān)。令無關(guān)。令f(x)=1，由于積分公式至少有，由于積分公式至少有n次代數(shù)精度，對次代數(shù)精度，對1 1積分積分總是精確的，即總是精確的，即( )nkC( )01()1nbnkakdxbaCba因此，因此，( )01nnkkC如果如果f(xk)的近似值為的近似值為fk，舍入誤差不超過，舍入誤差不超過，有，有|()|kkf xf*( )0()()nnkkkIbaf x C( )0()nnkkkIbaf C15*( )0| |() ()|nnkkkkIIbaf xf C( )0()|nnkkbaC當(dāng)當(dāng) 均為正數(shù)時，均為正數(shù)時，

15、即即( )nkC( )( )00|1nnnnkkkkCC*| ()IIba 可見，積分公式是穩(wěn)定的。但當(dāng)可見，積分公式是穩(wěn)定的。但當(dāng)n88時，時， 中出現(xiàn)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，使負(fù)數(shù)，使 無法控制在較小的范圍內(nèi)，積分公式不穩(wěn)無法控制在較小的范圍內(nèi)，積分公式不穩(wěn)定，因此，高次積分至多用到定，因此，高次積分至多用到7 7次。次。( )nkC( )0|nnkkC()nkC16高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成分段低次合成Newton-Cotes 復(fù)合復(fù)合求積公式。求積公式。 復(fù)合梯形公式：復(fù)合梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每個在

16、每個 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk 2 2 復(fù)合求積復(fù)合求積中值定理中值定理17 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：為方便編程，

17、可采用另一記法：令為方便編程，可采用另一記法：令 n = 2n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， 這時這時 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS111012( ) ( )4()2()( )6nnbkakkkhf x dxf af xf xf bxi f (xi)01 1/80.997397867 1/40.9896158373/80.976726744 1/20.9588510775/80.936155637 3/40.908851687/80.877192574 10.841470985. dsin 10的值積公式求根據(jù)數(shù)據(jù)表利用復(fù)合求：x

18、xxI例例81131537( )( )( )( )( )( )( )848281 (0)2+ (1)248 0.94598690 .fffffTffff （）411357 (0)4 ( )( )( )( )648888113 2 ( )( )( )(1)0.9460832424Sfffffffff精確解精確解 ： 0.946083119若一個積分公式的誤差滿足若一個積分公式的誤差滿足 且且C 0，則則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphlim0定義定義 收斂速度與誤差估計：收斂速度與誤差估計：例：例：計算計算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運(yùn)算量基運(yùn)算量基本相同本相同24(),()nnTO hSO h可見，當(dāng)可見，當(dāng)h h趨近于趨近于0 0的時候，的時候，S Sn n比比T Tn n的收斂速度要快！的收斂速度要快！20Q: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12