概率論與數理統(tǒng)計 第一章 第三節(jié)

1、三、全概率公式與貝葉斯定理考慮乘法法則例1（書中p16） 全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式 設設A1, A2, An是兩兩互不相容的事件，構成一個完備事是兩兩互不相容的事件，構成一個完備事件組，且件組，且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時發(fā)生，則全概率公式為：之一同時發(fā)生，則全概率公式為：l 若若A A1 1,A,A2 2, ,A,An n是是樣本空間樣本空間 的一個的一個劃分劃分, ,那么那么, ,對于每次對于每次試驗試驗, ,事件事件A A1 1,A,A2 2, ,A,An n中必有一個且僅有一個中必有

2、一個且僅有一個發(fā)生發(fā)生. . 貝葉斯公式 設設A1, A2, An構成一個完備事件組，并且它們都具有正概率，則對于任何一個概率不為零的事件B,有： 證明：根據條件概率定義及全概率公式求得iiimmmABPAPABPAPBAP 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率事件的概率, 它們實質上是加法定理和乘法定理它們實質上是加法定理和乘法定理的綜合運用。的綜合運用。 貝葉斯公式例題1仍考慮從仍考慮從1,2,3個箱子中抽取紅球的案例，現某人從任意一箱個箱子中抽取紅球的案例，現某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球，求該球是中任意摸出一球，發(fā)現是

3、紅球，求該球是取自取自1號箱號箱的概率的概率解：解：記記 Ai=球取自球取自 i 號箱號箱, i =1,2,3; B =取得紅球取得紅球 貝葉斯公式例題3某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005 P(A)A) ，患者對一種試驗反，患者對一種試驗反應是陽性的概率為應是陽性的概率為0.95 P(B|A)，正常人對這種試驗反應是，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為陽性的概率為0.04 ，現抽查了一個人，試驗反應，現抽查了一個人，試驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大? P(A | B)= ?解：解：設設 A = 抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥

4、, “抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥” B = 試驗結果是陽性試驗結果是陽性。已知。已知帶入貝葉斯公式帶入貝葉斯公式得得P(A | B)= 0.1066 )(ABP 結果的意義：結果的意義：(1). 該試驗對于診斷一個人是否患有癌有無意義？該試驗對于診斷一個人是否患有癌有無意義？如果不做試驗，抽查一人如果不做試驗，抽查一人, 他是癌癥患者的概率他是癌癥患者的概率 P(A)=0.005 ，患者陽性反應的概率是，患者陽性反應的概率是0.950.95，若試驗后呈陽，若試驗后呈陽性反應，則根據試驗得到的信息：此人是癌癥患者的概率性反應，則根據試驗得到的信息：此人是癌癥患者的概率為為 P(A|B)=

5、0.1066 ，概率從概率從0.005增加到增加到0.1066, 約約增加了增加了2121倍。試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。倍。試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。(2). 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥?試驗結果為陽性，此人確患癌癥的概率為試驗結果為陽性，此人確患癌癥的概率為P(A|B)=0.1066， 即使你檢出陽性，也不必過早下結論你有癌癥，這種可能即使你檢出陽性，也不必過早下結論你有癌癥，這種可能性只有性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個人中大約只有個人中大約只有107人確患人確患癌癥癌癥)，此時醫(yī)生常要通過其他試驗來確認，此時醫(yī)生常要通過其他試

6、驗來確認。 條件概率小節(jié)的區(qū)別與積事件概率條件概率)()(ABPBAP.)()(,)(,)(,.,)(,)(大比一般來說中基本事件數中基本事件數中基本事件數中基本事件數則用古典概率公式發(fā)生的概率計算中表示在縮小的樣本空間而的概率發(fā)生計算中表示在樣本空間ABPABPABABPABABPBABPABABPAA 1.4獨立試驗概型考察同一試驗的兩個事件，有時一件事情的發(fā)生與否會影響到另一事件發(fā)生的概率，但也有可能一件事情的發(fā)生于另一事件發(fā)生的概率毫無關系。例如，在投擲一枚硬幣和一枚骰子組成的試驗中，硬幣是否出現正面不會影響骰子出現點數為1（或其他點）的概率。這樣的兩個事情稱為獨立事件。 A=第二次擲

7、出第二次擲出6點點， B=第一次擲出第一次擲出6點點，顯然有：顯然有：P(A|B)=P(A)一、獨立事件定義直觀說法：對于兩事件A,B，若事件A發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響，則稱為事件A與事件B獨立. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B) 擴展：若 中任何一個事件發(fā)生的可能性都不受其它一個或者n個事件發(fā)生與否的影響，則稱為 相互獨立。 二、獨立事件的性質（1）若事件A與B獨立的充要條件：P(AB)=P(A)P(B)A與B相互獨立 P(AB)=P(A)P(B)（2）（3）若事件A1,A2,An相互獨立，則有 多個事件多個事件兩兩

8、獨立兩兩獨立與與相互獨立相互獨立 定義定義: :設設A,B,CA,B,C是三事件是三事件, ,如果具有等式如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)P(CA)=P(C)P(A)稱稱A,B,CA,B,C兩兩獨立兩兩獨立 定義定義:設設A,B,C是三事件是三事件,如果具有等式如果具有等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 稱稱A,B,C為為相互獨立相互獨立的事件的事件(4)(4)零概率事件與任何

9、事件都是互相獨立的零概率事件與任何事件都是互相獨立的.證明:設設P(A)=0,B為任一事件為任一事件因為因為 AB A所以所以 0=P(AB)P(A)故故 P(AB)=0=0P(B)=P(A)P(B)（5 5）概率為）概率為1 1的事件與任何事件都是互相獨立的的事件與任何事件都是互相獨立的. .證明:考慮P(A+B)=1 注意:互斥與獨立的區(qū)別1.互斥的概念是事件本身的屬性； 獨立的概念是事件的概率屬性。2.兩事件互斥,即A與B不能同時發(fā)生； P(AB)=0P(AB) P(A)P(B) 即即A與與B不獨立不獨立獨立是指A與B的概率互不影響.P(AB)=P(A)P(B)3.若0P(A)1, 0P

10、(B)1, 互斥一定不獨立；獨立一定不互斥互斥一定不獨立；獨立一定不互斥。4.在用途上有區(qū)別：互斥通常用于概率的加法運算, 獨立通常用于概率的乘法運算。AB 例1:甲、乙兩個戰(zhàn)士打靶甲、乙兩個戰(zhàn)士打靶, ,甲的命中率為甲的命中率為0.9,0.9,乙的乙的命中率為命中率為0.85,0.85,兩人同時射擊同一目標兩人同時射擊同一目標, ,各打一槍各打一槍. .求目標被擊中的概率求目標被擊中的概率. .解:設設A=甲擊中目標甲擊中目標,B=乙擊中目標乙擊中目標,C=目標被目標被擊中擊中,則則“甲乙同時射擊，結果互不影響甲乙同時射擊，結果互不影響” P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB

11、) =P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.9+0.85-0.90.85=0.985 例2(P21) 甲、乙、丙三部機床獨立工作，由一個工人照管，某段時間內他們不需要工人照管的概率分別為0.9，0.8及0.85。求在這段時間內有機床需要工人照管的概率；機床因無人照管而停工的概率。解解:設設A=“機床甲不需要工人照管機床甲不需要工人照管”; B=“機床乙不需要工人照管機床乙不需要工人照管”;C=“機床丙不需要工人照管機床丙不需要工人照管”;根據題意根據題意,A、B、C相互獨立，并且相互獨立，并且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85理解：理解：“機床因無人照管

12、而停工機床因無人照管而停工”等價于同時有兩臺機器需等價于同時有兩臺機器需要要照管（至少兩臺機器需要同時照管？）。照管（至少兩臺機器需要同時照管？）。 例3： 若例1中的3部機床性能相同，設P(A)P(B)P(C)0.8，求這段時間內恰有一部機床需要照管的概率；恰有兩部機床需要照管的概率； 解：設解：設Di“恰有恰有i部機床需要照管部機床需要照管” P(D1)=？ P(D2)=？384. 08 . 02 . 0213C二、獨立試驗序列概型二、獨立試驗序列概型 在概率論中，把在相同條件下重復進行試驗的數學模型稱為獨立試驗序列概型。獨立試驗序列概型。 進行n次試驗，若任何一次試驗中各結果發(fā)生的可能性

13、都不受其他各次試驗結果發(fā)生情況的影響，稱這稱這n次試驗是相互獨立的。次試驗是相互獨立的。 進行n次試驗，如果這n次試驗滿足：)每次試驗的條件相同每次試驗的條件相同)每次試驗的結果互不影響每次試驗的結果互不影響稱這稱這n n次試驗為次試驗為：n n次重復獨立試驗概型次重復獨立試驗概型。特別的：當每次試驗只有兩種可能結果，即只有事特別的：當每次試驗只有兩種可能結果，即只有事件件A A與與，且在每次試驗中，且在每次試驗中P(A)=p, P()=1-p 時，時，稱為稱為n重貝努里試驗概型重貝努里試驗概型例1：一批產品的廢品率為0.1，每次抽取一個，觀察后放回去，下次再取一個，共重復3次，3次中恰有兩次取到廢品的概率 解：設B2“3次中恰有兩次取到廢品” Ai“第i次取到廢品” ( i=1,2,3) 貝努里定理 設一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0p1),則n重貝努里試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為： 其中q=1-p 例2(P24):一條自動生產線上產品的一級品率為0.6，現檢查了10件，求至少有兩件一級品的概率？ 設B表示：“至少有兩件為一級品” “至多有一件為一級品”B 第一章第一章 回顧與總結回顧與總結 重點：重點：隨機事件的概念隨機事件的概念古典概型的概率計算方法古典概型的概率計算方法概率的加法公式概率的加法公式條件概率和乘法公式的應用條件概率和乘法公式的應用全概率公式