中考專題復(fù)習(xí)——最短路徑問題(有答案)

1、優(yōu)秀教案歡迎下載中考專題復(fù)習(xí)一一路徑最短問題、具體內(nèi)容包括: 螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問題； 線段（之和）最短問題；二、原理：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短。（構(gòu)建“對稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化）三、例題：例 1、如右圖是一個(gè)棱長為 4 的正方體木塊，一只螞蟻要從木塊的點(diǎn) 側(cè)面爬到點(diǎn) B 處，則它爬行的最短路徑是。如右圖是一個(gè)長方體木塊，已知 AB=3,BC=4,CD=2，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn) A 處，它要沿著木 塊側(cè)面爬到點(diǎn) D 處，則螞蟻爬行的最短路徑是 _。_D鄉(xiāng)CA B例 2、如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水泵站修在河邊什么地 方可使所用的水管最短。李莊B 張

2、村A _ _ L如圖，直線 L 同側(cè)有兩點(diǎn) A、B，已知 A、B 到直線 L 的垂直距離分別為 1 和 3，兩點(diǎn)的水平距離為 3，要在直線 L 上找一個(gè)點(diǎn) P，使 PA+PB 的和最小。請?jiān)趫D中找出點(diǎn) P 的位置，并計(jì)算 PA+PB 的最小值要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張村、李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河邊的垂直距離 分別為1Km 和 3Km，張村與李莊的水平距離為 3Km，則所用水管最短長度為 _李莊張村.四、練習(xí)題（鞏固提高）優(yōu)秀教案歡迎下載（一） 1、如圖是一個(gè)長方體木塊，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn) A 處，它要3、如圖是一個(gè)圓柱體木塊，一只螞蟻要沿圓柱體的表

3、面從A 點(diǎn)爬到點(diǎn) B 處吃到食物，知圓點(diǎn)，貝 U PE+PB 的最小值為6、如圖，在ABC 中，AC = BC = 2，ZACB = 90 D 是 BC 邊的中點(diǎn)，E 是 AB 邊上一動(dòng)點(diǎn),則 EC + ED 的最小值為7、AB 是O0 的直徑，AB=2 , OC 是OO 的半徑，OC _LAB，點(diǎn) D 在 AC 上，AD = 2CD，點(diǎn)P 是半徑 0C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝 U AP+PD 的最小值為 _。（二）8、如圖，點(diǎn) P 關(guān)于0A、0B 的對稱點(diǎn)分別為 C、D，連接 CD，交0A于M，交 0B沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn) D 處，則螞蟻爬行的最短路徑是CZZ5BA2、現(xiàn)要在如圖所示的圓柱體側(cè)面A

4、點(diǎn)與 B 點(diǎn)之間纏一條金絲帶（金絲帶的寬度忽略不計(jì)），圓柱體高為 6cm，底面圓周長為16cm，則所纏金絲帶長度的最小值為柱體的高為 5 cm，底面圓的周長為 24cm，則螞蟻爬行的最短路徑為4、正方形 ABCD5、在菱形 ABCD中，AB=2， ZBAD=60，點(diǎn) E是 ABP 是對角線 AC 上的一個(gè)動(dòng)0最小值為圖0圖的邊長為 8，M 在 DC 上DN +MN 的優(yōu)秀教案歡迎下載于 N，若 CD = 18cm，則 APMN 的周長為_。9、 已知，如圖 DE 是ABC 的邊 AB 的垂直平分線，D 為垂足，DE 交 BC 于 E，且 AC = 5，BC = 8，則AAEC 的周長為_。10

5、、已知，如圖，在 ABC 中，ABVAC，BC 邊上的垂直平分線 DE 交 BC 于點(diǎn) D，交 AC于點(diǎn) E，AC = 8，ABE 的周長為 14，則 AB 的長_11、如圖，在銳角厶 ABC 中，AB = 4 寸 2，ZBAC = 45 ZBAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D，M、N 分別是 AD 和 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，貝 U BM+MN 的最小值是 .12、在平面直角坐標(biāo)系中，有 A （3，-2），B （4，2）兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn) C （1，n），當(dāng) n =時(shí)，AC + BC 的值最小.第 11 題第 14 題第 15 題13 ABC 中，/C = 90 AB = 10，AC=6,BC=8,過

6、AB 邊上一點(diǎn) P 作 PE 1AC 于 E，PF 丄優(yōu)秀教案歡迎下載BC 于 F, E、F 是垂足，則 EF 的最小值等于 _.14、 如圖，菱形 ABCD 中，AB=2, ZBAD=60 ，點(diǎn) E、F、P 分別是 AB、BC、AC 上的動(dòng)點(diǎn), 則PE+PF 的最小值為_.15、如圖，村莊 A、B 位于一條小河的兩側(cè)，若河岸 a、b 彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸 垂直的橋 CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使 A 村到 B 村的路程最近?16、一次函數(shù) y=kx+b 的圖象與 x、y 軸分別交于點(diǎn) A(2，0)，B(0，4).(1)求該函數(shù)的解析式;(三)16、如圖，已知/AOB 內(nèi)有一點(diǎn) P，

7、試分別在邊 0A 和 各找一點(diǎn) E、F,使得APEF 的周長最小。試畫出圖形，并說明17、如圖，直線 I 是第一、三象限的角平分線.實(shí)驗(yàn)與探究：(1)由圖觀察易知 A (0，2)關(guān)于直線 I 的對稱點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2，0)，請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3)、C ( 2,5)關(guān)于直線 I 的對稱點(diǎn) B、C 的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B _(2) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 0A、AB 的中點(diǎn)分別為動(dòng)點(diǎn)，求 PC + PD 的最小值，并求取得最小值時(shí)0B 上OB 上理由優(yōu)秀教案歡迎下載歸納與發(fā)現(xiàn):優(yōu)秀教案歡迎下載18、幾何模型：條件：如圖，A、B 是直線 L 同旁的兩個(gè)定點(diǎn)問題：在直線 L 上確定一點(diǎn) P，

8、使 PA+PB 的 值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線1 2的對稱點(diǎn)A,連結(jié)A B交1于點(diǎn)P，則PAPB -AB 的值最小(不必 證明).模型應(yīng)用：(1)如圖 1，正方形 ABCD 的邊長為 2,E為 AB 的中點(diǎn)，P 是 AC 上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié) BD ,由 正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連結(jié) ED 交 AC 于P，則PBPE 的最小值是_ ?(2)如圖 2，。的半徑為 2，點(diǎn)AB、C在。上, 0A 丄 0B，也AOC = 60，P 是 0B 上 一動(dòng)點(diǎn)，求PA PC的最小值；(3)如圖 3，ZAOB=45 ,P 是 HOB 內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R 分別是 OA、 求QR 周長的最小值

9、.1 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，ABOcm, E 為邊 BC 的中點(diǎn)，P 為 BD 上的一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，求PC PE的最小值；2 如圖，若四邊形 ABCD 是菱形，AB=10cm, N ABC=45。，E 為邊 BC 上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，P 為BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC PE的最小值；問題解決(3)如圖，若四邊形 ABCD 是矩形，ABOcm , BCOcm , E 為邊 BC 上的OB 上的動(dòng)點(diǎn),A19、問題探究之和最小，并求出Q 點(diǎn)坐標(biāo).平面 分線 I試在距離圖 3優(yōu)秀教案歡迎下載BECBC優(yōu)秀教案歡迎下載20. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-2, 0）,連結(jié) 0A，將線段OA

10、繞原點(diǎn) 0 順時(shí)針 旋轉(zhuǎn)120。得到線段 0B.（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過 A、0、B 三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3） 在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) C,使 AB0C 的周長最小？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）解：（1）過點(diǎn) B 作 BD _b軸于點(diǎn) D，由已知可得：0B=0A=2，ZBOD=60 .在 Rt8BD 中，J0DB=90。OBD=30 .0D=1，DB=、3點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（1，3 ）（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2，bx，由已知可得:(3)存在.由y = x2-3x配方后得：y = 3x 1 2 _33333

11、拋物線的對稱軸為x= 1.（也寫用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出）OB=2，要使ABOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小.c =0a+b +c =門4a 2b +c = 0解得:adb32、33,c = 0.所求拋物線解析式為y詩x2號(hào)x.優(yōu)秀教案歡迎下載點(diǎn) O 與點(diǎn) A 關(guān)于直線x= 1 對稱，有 CO=CA.優(yōu)秀教案歡迎下載 BOC 的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA.當(dāng) A、 C、 B 三點(diǎn)共線， 即點(diǎn) C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點(diǎn)時(shí)， BC+CA 最小， 此時(shí) BOC的周長最小.設(shè)直線 AB 的解析式為y二kx b,則有:b3-2k+b = 0解得：k二仝,b-U.直線 AB

12、的解析式為“壬.遼3333當(dāng)x= - 1 時(shí)，y二仝.所求點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（一 1，仝）.3321、如圖，拋物線y =ax2，bx c的頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)為1,-4乜，交 x 軸于 A、B 兩點(diǎn)，交 yI 3|軸于點(diǎn)c（o,-、3）.（1） 求拋物線的表達(dá)式.（2） 把ABC 繞 AB 的中點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn) 180。 ， 得到四邊形 ADBC . 判斷四邊形 ADBC 的形狀，并說明理由.（3） 試問在線段 AC 上是否存在一點(diǎn) F,使得AFBD 的周長最小,若存在，請寫出點(diǎn) F 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1 ）由題意知(3-14 加一臚_ _d 品4a-3 分（列出方程組給 1 分，解出

13、給 2 分）拋物線的解析式為y3x2-2 3x - 3-4 分33（2）設(shè)點(diǎn) A （x1， 0）， B （x2， 0），則xx - J3 = 0，33x3優(yōu)秀教案歡迎下載解得禺- -1, X2 =3r1,IOB 山3又ZOCB=牛QCB = 60。，同理可求 QCA = 30 .ACB = 90 -6 分由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 AC = BD , BC = AD四邊形 ADBC 是平行四邊形- 7 分又tACB = 90 .A四邊形DBC 是矩形 - 8 分（3）延長 BC 至 N，使 CN 二 CB .假設(shè)存在一點(diǎn) F，使 AFBD 的周長最小.即 FD FB DB 最小.DB 固定長.只要 FD+

14、FB 最小.又VCA JBNFD+FB = FD+FN .當(dāng) N、F、D 在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB 最小. -10 分1又.C 為 BN 的中點(diǎn)，.FC 專 AC （即 F 為 AC 的中點(diǎn)）.又TA（- 1，0），C （0Q3）點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 F （-，-）w22存在這樣的點(diǎn) F （-，-），使得 FBD 的周長最小.-12 分2 21、.1c.22. 已知：直線y x 1與 y 軸交于 A，與x軸交于 D，拋物線y x2bx c與直線交于 A、22E 兩點(diǎn)，與x軸交于 B、C 兩點(diǎn)，且 B 點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，0）.（1） 求拋物線的解析式；（2） 動(dòng)點(diǎn) P 在x軸上移動(dòng)，當(dāng) PAE 是直角三角形且以 P 為直角頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).（3） 在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn) M，使|AM -MC |的值最大，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo).答案：（1 ）將 A （0，1 ）、B （1，0）坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得優(yōu)秀教案歡迎下載2優(yōu)秀教案歡迎下載仁c10 b c2拋物線的解折式為y=2x2x(3) 拋物線的對稱軸為 x3r 對稱B.(2)設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m,則它的縱坐標(biāo)為123貝 U E (m, m m 1).221又點(diǎn)E在直線y = -x 1上,2.12 一m2解得mh =0(舍去)m2=4.E 的坐標(biāo)為(4, 3).過 E 作