2019年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破——隨機(jī)變量及其分布(理科專用)：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

1、曲線是單峰的，它關(guān)于直線x= ”對(duì)稱:最新中小學(xué)教案、試題、試卷二項(xiàng)分布與正態(tài)分布【考點(diǎn)梳理】1.條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)P(AB設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且RA)0，稱RB|A=J A為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0wRB A1;(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC A)=P(B|A)+RCA)2 事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A, B為兩個(gè)事件，如果P(AB=P(A)RB)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B,A與B,A與B也都相互獨(dú)立，RBA=P(B) ,RAD=P(A).3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同

2、條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中A(i= 1, 2,，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P( AAAA) =P(A) RA)P(A)F(A).(2) 二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k) = 0(1一p)n k(k= 0, 1, 2,，n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作XB(n,p)，并稱p為成功概率.4.正態(tài)分布(1) 正態(tài)分布的定義如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(avb)，隨機(jī)變量X滿足RavXo).(2) 正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x= ”對(duì)稱:1曲線位于x軸上方，與x軸不相交，與x軸之間的面積為 1；最

3、新中小學(xué)教案、試題、試卷13曲線在x=i處達(dá)到峰值；d寸 2n4當(dāng)1一定時(shí)，曲線的形狀由d確定，d越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；d越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值F(idXW i + d)=0.6826;考點(diǎn)一、條件概率EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為 1 的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE陰影部分)內(nèi)”，貝 UP(B|A)=71(2)設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A, “第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B,則由2F(i 2dX卩+ 2d) = 0.

4、9544 ;F(i 3dX【考點(diǎn)突破】1+3d)=0.9974.【例 1】(1)如圖,(2)某個(gè)電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為2，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為11，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為答案(1)解析(1)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)= 寧H=仝甞=-事件AB表示S圓On XI n“豆子落在EOH內(nèi) ”，貝 UP(AB12XISAEOH2=2=S圓On X12n11丄P AB2n1.故 RB|A) = =牙=；最新中小學(xué)教案、試題、試卷1題意可得F(A) = 2,p(AB= 則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下

5、第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概最新中小學(xué)教案、試題、試卷1P(AB52 丄率是RBA) =p(A= - = 5.故選 C.2【類題通法】P(AB1.利用定義，分別求RA)和P(AB，得RBA) =p(A)，這是求條件概率的通法.2.借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB，得R B A) =n(AB.n(A)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】=“取到的 2 個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=()答案B解析法一P(A) =春=5,RAB= C=箱.由條件概率計(jì)算公式，得RBA=C510 5C510丄P(AB_ 巴1P(A)=2= 4.5法二 事件A包括的基本

6、事件：(1 , 3) , (1 , 5) , (3 , 5) , (2 , 4)共 4 個(gè).事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2 , 4) 一種情形，即n(AB= 1.故由古典概型概率RBW=1.在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為()第一次摸出新球記為事件A,則P(A)= 5,第二次取到新球記為事件B,則P(AB1.從 1 , 2, 3, 4, 5 中任取 2 個(gè)不同的數(shù)，事件A=“取到的 2 個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B2 .某盒中裝有 10 只乒乓球，其中 6 只新球、4 只舊球，不放回地依次摸出2 個(gè)球使用,3_5A丄解析最新中小學(xué)教案、試題、試卷1C21F(AB35=C2T3，二 R

7、BA*=Fr=3=95考點(diǎn)二、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例 2】從甲地到乙地要經(jīng)過 3 個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇1 1 1到紅燈的概率分別為-，3，4.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量(2)若有 2 輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2 輛車共遇到 1 個(gè)紅燈的概率.解析(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0, 1，2，3.P(X= 0) = 11 1 1113x4=24，f 1、 11 1 f2)=1x3x4+11111P(X=3)= 1xx4=必所以隨機(jī)變量X的分布列為:X0123P111112 設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇

8、到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為RY+Z= 1) =F(Y= 0,Z= 1) +RY= 1,Z= 0)=F(Y= 0)F(Z= 1) +F(Y= 1)F(Z= 0)1 11 11 1 11=4X24+24x4=4811所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為 48.【類題通法】求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法1利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解2正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手X的分布列;最新中小學(xué)教案、試題、試卷424424最新中小學(xué)教案、試題、試卷計(jì)算.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】23某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和現(xiàn)安排甲組研

9、發(fā)新35產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立(1) 求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2) 若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 120 萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn) 100 萬元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列.解析記E= 甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功 ,F= 乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功，由題設(shè)知P(E)=-,3132P(E) = ,P(F) = ,F)=匚，且事件E與F,E與F,E與F,E與F都相互獨(dú)立355(1)記H 至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功 ，則H=E F,1 2 2于是P(H) =P(E)P(F) = 3X5 =亦,設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬元)，則X的可能取值為 0,100,120

10、,220,因?yàn)镻(X= 0) =P(E F)12 2=X =,35 151331P(X=100)= REF) = 3X5 =亦=5,224P(X=120)=REF)= 3X5 = 15,2 362P(X=220)=REF=3X5=15=5故所求的分布列為X0100120220P2142155155考點(diǎn)三、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例 3】空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQuality Index，簡(jiǎn)稱 AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照 AQI 大小分為六級(jí)：050 為優(yōu)；51100 為良；101150 為輕度污染；151200故所求的概率為2RF) = 1-R H ) = 1 -亦13最新

11、中小學(xué)教案、試題、試卷為中度污染；201300 為重度污染；300 以上為嚴(yán)重污染.最新中小學(xué)教案、試題、試卷一環(huán)保人士記錄去年某地六月10 天的 AQI 的莖葉圖如圖(1) 利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI 100)的天數(shù)；(2) 將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取3 天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為E，求E的分布列.解析(1)從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為30X3= 18.5E的分布列為E0123P8365427125125125125E的所有可能取值為1, 2, 3,且EB3, I .P(P(P

12、(2=1)=5 =S3“3) * 5= 327125,36125,2,空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為8125,E =2)=54125,最新中小學(xué)教案、試題、試卷【類題通法】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式RX=k) =Upk(1 p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p;(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3) 該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值.由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，

13、質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間55 , 65) , 65 , 75) , 75 , 85內(nèi)的頻率之比為4 : 2 ： 1.(1) 求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率；(2) 若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3 件，記這 3 件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間45 , 75)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X,求X的分布列.解析(1)設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率為x,則落在區(qū)間55 , 65),65 , 75)內(nèi)的頻率分別為 4x, 2x.依題意得(0.004 + 0.012 + 0.019 + 0.030)X10+ 4x+ 2x+x= 1,解得x= 0.05.所以這些產(chǎn)品質(zhì)量

14、指標(biāo)值落在區(qū)間75 , 85內(nèi)的頻率為 0.05.(2)由(1)得，這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間45 , 75)內(nèi)的頻率為 0.3 + 0.2 + 0.1 = 0.6，將頻率視為概率得p= 0.6.從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3 件，相當(dāng)于進(jìn)行了3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n= 3,p= 0.6.因?yàn)閄的所有可能取值為 0, 1, 2, 3,且 RX=0)=dX0.60X0.43=0.064,最新中小學(xué)教案、試題、試卷P(X=1)=CX0.61X0.42=0.288,最新中小學(xué)教案、試題、試卷P(X= 2)=dx 0.62X0.42=0.432,p(X=3)=C3

15、x0.63X0.40=0.216,所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216考點(diǎn)四、正態(tài)分布【例 4】(1)已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N(2,d2)，且 RE4) = 0.8 ,則P(0E2)=()A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2P(E4)=1-RE4)=1-0.8=0.2,P(0E2)=1p(0E4)=11P(E4)=戸 10.20.2)=0.3.2 2P舛蘭(2)由題意，知P(E110)=2= 0.2，所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為0.2X50= 10.【類題通法】對(duì)于正態(tài)分布N卩，d2)，由x=卩是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知：(1)對(duì)任意的a,有RXua) =P(冷卩 +a) ； (2)P(Xxo) ； (3)P(aXb) =P(Xb) P(Xa).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1 .設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 N(1 ,d2)，若P( 2) = 0.8，則P(0 1)的值為_.答案0.3解析P(0 1) =P 2) R 1) = 0.8 0.5 = 0.3.2.某地高三理科學(xué)生有15 000 名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布 N100,d2),已知只 80 100) = 0.35 ,若按成績(jī)分層抽樣的方式抽取100 份試卷進(jìn)行分析，貝U應(yīng)從(2)某班有 50 名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)E(E N)近似服從正態(tài)分布 N