1994考研數(shù)二真題及解析

1、 Born to win1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 若在上連續(xù),則.(2) 設函數(shù)由參數(shù)方程所確定,則.(3) . (4) .(5) 微分方程的通解為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 設,則 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設,則在點處的 ( )(A) 左、右導數(shù)都存在 (B) 左導數(shù)存在,但右導數(shù)不存在(C) 左導數(shù)不存在,但右導數(shù)存在 (D) 左、右導數(shù)都不存在(3)

2、設是滿足微分方程的解,且,則在 ( )(A) 的某個領域內(nèi)單調增加 (B) 的某個領域內(nèi)單調減少(C) 處取得極小值 (D) 處取得極大值(4) 曲線的漸近線有 ( )(A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條(5)設,則有 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.)(1) 設,其中具有二階導數(shù),且其一階導數(shù)不等于1,求.(2) 計算.(3) 計算.(4) 計算.(5) 如圖,設曲線方程為,梯形的面積為,曲邊梯形的面積為,點的坐標為,證明：.四、(本題滿分9分)設當時,方程有且僅有一個解,求的取值范圍.五、(本題滿分9分)設,(1) 求函數(shù)

3、的增減區(qū)間及極值；(2) 求函數(shù)圖像的凹凸區(qū)間及拐點；(3) 求其漸近線；(4) 作出其圖形.六、(本題滿分9分)求微分方程的通解,其中常數(shù).七、(本題滿分9分)設在上連續(xù)且遞減,證明：當時,.八、(本題滿分9分)求曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉所得的旋轉體體積.1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】在時是初等函數(shù),因而連續(xù)；要使在上連續(xù),在處也連續(xù),這樣必有.由極限的四則混合運算法則和等價無窮小,時,；.,從而有.(2)【答案】【解析】 ,.【相關知識點】復合函數(shù)求導法則：如果在點可導,而在點可導,則復合

4、函數(shù)在點可導,且其導數(shù)為 或 .(3)【答案】【解析】原式.【相關知識點】對積分上限的函數(shù)的求導公式：若,均一階可導,則.(4)【答案】,其中為任意常數(shù)【解析】本題利用不定積分的分部積分法求解.顯然是先進入積分號,原式 其中為任意常數(shù).注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題,如果選擇不當可能引起更繁雜的計算,最后甚至算不出結果來.在做題的時候應該好好總結,積累經(jīng)驗.【相關知識點】分部積分公式：假定與均具有連續(xù)的導函數(shù),則 或者 (5)【答案】,為任意常數(shù)【解析】這是可分離變量的方程.分離變量得,兩項分別對和對積分得到 化簡有 ,即 ,為任意常數(shù).二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,

5、滿分15分.)(1)【答案】(A)【解析】方法1：將極限中的分子用泰勒皮亞諾公式展開得,由假設,應該有,故由此,故應選(A).方法2：用洛必達法則.為“”型的極限未定式,又分子分母在點處導數(shù)都存在,所以, (若,則原式極限為,必有) .故應選(A).(2)【答案】(B)【解析】方法1：因左可導,.又不右連續(xù)在的右導數(shù)不存在,故選(B).方法2：,而 ,所以,在點不連續(xù),故不可導,但左,右導數(shù)可能存在,這只需要用左,右導數(shù)定義進行驗證.故在點左導數(shù)存在,但右導數(shù)不存在,故應選(B).(3)【答案】(C)【解析】由于滿足微分方程,當時,有.又由,有,因而點是的極小值點,應選(C).(4)【答案】(

6、B)【解析】用換元法求極限,令,則當時,且有 ,所以軸和是曲線的兩條漸近線.而和并非曲線的漸近線,因當和時,分別趨向于和.故應選(B).【相關知識點】漸近線的相關知識：水平漸近線：若有,則為水平漸近線；鉛直漸近線：若有,則為鉛直漸近線；斜漸近線：若有存在且不為,則為斜漸近線.(5)【答案】(D)【解析】對于關于原點對稱的區(qū)間上的積分,應該關注被積函數(shù)的奇偶性.由對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)積分的性質,被積函數(shù)是奇函數(shù),積分區(qū)間關于原點對稱,則積分為0,故,且由定積分的性質,如果在區(qū)間上,被積函數(shù),則.所以 , .因而 ,應選(D).三、(本題共5小題,每小題5分,滿分25分.)(1)【解析】方程兩邊對求

7、導,得,兩邊再求導,得,由于一階導數(shù)不等于1,所以.以代入并解出,得 .【相關知識點】復合函數(shù)求導法則：如果在點可導,而在點可導,則復合函數(shù)在點可導,且其導數(shù)為 或 .(2)【解析】用換元積分法.觀察被積函數(shù)的特點,可考慮引入三角函數(shù)化簡.令,則.當時,；當時,故原式.【相關知識點】定積分關于單三角函數(shù)的積分公式：注：對于雙階乘的定義如下:當為奇數(shù)時,；當為偶數(shù)時,.(3)【解析】方法1：用三角函數(shù)公式將展開,再化為重要極限的形式,利用等價無窮小因子替換,即時,從而求出極限.方法2：先取自然對數(shù),求出極限后再用恒等式 .因為 ,于是 .(4)【解析】方法1：利用三角函數(shù)的二倍角公式,并利用換元

8、積分,結合拆項法求積分,得 ( ),其中為任意常數(shù).方法2：換元后,有原式.用待定系數(shù)法將被積函數(shù)分解:,.于是,.(5)【解析】對梯形的面積為,可用梯形面積公式,其中為梯形的高,、分別為上底和下底長度.對于曲邊梯形的面積則用積分式求解.由于 ,所以 ,由此,.四、(本題滿分9分)【解析】方程的解即為的零點.要證明方程有且僅有一個解,只需要證明是單調函數(shù),且它的函數(shù)圖像僅穿過軸一次就可以了.以下是證明過程.對求一階導數(shù),有.當時,單調減少,在有唯一的零點；當時,在單調減少,在單調增加,而當且僅當最小值時,才在有唯一零點,這時應該有.總之,當或時,原方程有唯一實根.五、(本題滿分9分)【解析】求

9、函數(shù)的增減區(qū)間一般先求出函數(shù)的不連續(xù)點和駐點,根據(jù)這些點將函數(shù)的定義域分成不同區(qū)間,然后根據(jù)在此區(qū)間上的正負來判斷該區(qū)間上函數(shù)的增減性以及極值點；根據(jù)的正負判定區(qū)間的凹凸性；求漸近線時除判定是否存在水平或垂直漸近線外,還要注意有沒有斜漸近線.作函數(shù)圖形時要能綜合(1)、(2)、(3)所給出的函數(shù)屬性,尤其注意漸近線、拐點、極值點和零點.無定義點：,駐點：.+無定義0+無定義+上升無定義下降極小上升函數(shù)在單調增加,在單調減少,在凹,在取極小值；由于 所以為垂直漸近線.由于 所以是斜漸近線.3O2粗略草圖如下：【相關知識點】漸近線的相關知識：水平漸近線：若有,則為水平漸近線；鉛直漸近線：若有,則為

10、鉛直漸近線；斜漸近線：若有存在且不為,則為斜漸近線.六、(本題滿分9分)【解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性非齊次方程,對應的齊次方程的特征方程有兩個根為.當時,非齊次方程的特解應設為 .代入方程可以確定 .當時,應設 ,代入方程可以確定 .由此,所求的通解為 當時,； 當時,.【相關知識點】1.二階線性非齊次方程解的結構：設是二階線性非齊次方程的一個特解.是與之對應的齊次方程的通解,則是非齊次方程的通解.2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常數(shù),方程變?yōu)?其特征方程寫為,在復數(shù)域內(nèi)解出兩個特征根；分三種情況：(1)

11、兩個不相等的實數(shù)根,則通解為(2) 兩個相等的實數(shù)根,則通解為(3) 一對共軛復根,則通解為其中為常數(shù).3.對于求解二階線性非齊次方程的一個特解,可用待定系數(shù)法,有結論如下：如果則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如的特解,其中是與相同次數(shù)的多項式,而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解可設為,其中與是次多項式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取為或.七、(本題滿分9分)【解析】方法一：用積分比較定理.首先需要統(tǒng)一積分區(qū)間：換元,令,則 ,由此 .因為遞減而,所以,上式的右端大于零,問題得證.方法二：用積分中值定理.為分清兩中值的大小,需要分別在兩區(qū)間內(nèi)用積分中值定理：,由此,其中,；又因遞減,.上式的右端大于零,問題得證.方法三：作為函數(shù)不等式