第一節(jié) 初始近似根的確定

1、數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法第第1010章章 非線性方程（組）及其解法非線性方程（組）及其解法1根的存在性。方程有沒有根？如果有根，有幾個根？根的存在性。方程有沒有根？如果有根，有幾個根？2這些根大致在哪里？如何把根隔離開來？這些根大致在哪里？如何把根隔離開來？3根的精確化根的精確化一 引言引言（1.1）0)(xf 本章主要討論單變量非線性方程 的求根問題，這里 .,)(,RbaCxfx 一類特殊的問題是多項式方程 ),0()(01110aaxaxaxaxfnnnn（1.2）的求根問題，其中系數(shù) 為實數(shù). ), 1 ,0(niai10.1 求實根的對分區(qū)間法求實根的對分區(qū)間法其中 為正整數(shù)，且 m

2、.0*)(xg 當 時，稱 為單根，若 稱 為（1.1）的 重根，或 為 的 重零點. 1m*x1m*xm*x)(xfm 若 是 的 重零點，且 充分光滑，則 *x)(xfm)(xg 方程 的根 ，又稱為函數(shù) 的零點，它使 ，若 可分解為 0)(xf*x)(xf0*)(xf)(xf),(*)()(xgxxxfm.0*)(,0*)(*)(*)()()1(xfxfxfxfmm 當 為代數(shù)多項式（1.2）時，根據(jù)代數(shù)基本定理可知， 次方程在復(fù)數(shù)域有且只有 個根（含復(fù)根， 重根為 個根）. )(xfmmnn 時方程的根是大家熟悉的， 時雖有求2, 1n4,3n根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學手冊中查到，但已

3、不適合于數(shù)值計算，而 時就不能用公式表示方程的根. 5n 通常對 的多項式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程（1.1）一樣都可采用迭代法. 3n 迭代法要求先給出根 的一個近似，若 且 ，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知 在 內(nèi)至少有一個實根，這時稱 為方程（1.1）的有根區(qū)間.*x,)(baCxf0)()(bfaf0)(xf),(ba,ba1畫出 f(x) 的略圖，從而看出曲線與x 軸交點的位置。2從左端點x = a出發(fā)，按某個預(yù)先選定的步長h一步一步地向右跨，每跨一步都檢驗每步起點x0和終點x0 + h的函數(shù)值，若0)()(00hxfxf那么所求的根x*必在x0與x0+h之間，這里可取x0或x0+h作為根的初

4、始近似。abx*f(x)0 xhx 0通?？赏ㄟ^逐次搜索法求得方程（通?？赏ㄟ^逐次搜索法求得方程（1.11.1）的有根區(qū)間）的有根區(qū)間. .的符號)(6543210 xfx由此可知方程的有根區(qū)間為 .6,5,4,3,2,1 例例7.1.17.1.1 求方程 的有根區(qū)間.077.418.381.11)(23xxxxf 解 根據(jù)有根區(qū)間定義，對 的根進行搜索計算，結(jié)果如下： 0)(xfv 用逐步搜索法進行實根隔離的關(guān)鍵是選取步長hv 要選擇適當h ，使之既能把根隔離開來，工作量 又不太大。 v 為獲取指定精度要求的初值,可在以上隔離根的 基礎(chǔ)上采用對分法繼續(xù)縮小該含根子區(qū)間 二分法二分法可以看作是

5、搜索法的一種改進。二二 二分法二分法 考察有根區(qū)間 ，取中點 將它分為兩半，假設(shè)中點 不是 的零點，然后進行根的搜索.,ba2/)(0bax0 x)( xf 檢查 與 是否同號，如果確系同號，說明所求的根 在 的右側(cè), 這時令 ；否則 必在 的左側(cè)，這時令 . )(0 xf)(af*x0 xbbxa101,*x0 x011,xbaa y y=f(x) y=f(x) x* a x1 x* x0 b a x0 x1 b a1 b1 a1 b1 a2 b2 a2 b2 不管出現(xiàn)哪一種情況，新的有根區(qū)間 的長度僅為 的一半. ,11ba,ba 對壓縮了的有根區(qū)間 又可施行同樣的手續(xù)，即用中點 將區(qū)間

6、再分為兩半，然后通過根的搜索判定所求的根在 的哪一側(cè)，從而又確定一個新的有根區(qū)間 ，其長度是 的一半.1x,11ba2/)(111bax,11ba,22ba,11ba 如此反復(fù)二分下去，即可得出一系列有根區(qū)間 ,2211kkbabababa其中每個區(qū)間都是前一個區(qū)間的一半，因此 的長度 ,kkbakkkabab2/)(當 時趨于零，就是說，如果二分過程無限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收縮于一點 ，該點顯然就是所求的根.k*x 每次二分后，設(shè)取有根區(qū)間 的中點 ,kkba2/)(kkkbax作為根的近似值，則在二分過程中可以獲得一個近似根的序列 ,210kxxxx該序列必以根 為極限.*x 由于

7、,2/)(2/)(*1kkkkababxx（1.3）只要二分足夠多次（即 充分大），便有 k,*kxx這里 為預(yù)定的精度. 例例2 2 求方程 01)(3xxxf在區(qū)間 內(nèi)的一個實根，要求準確到小數(shù)點后第2位.5.1 ,0.1 解解 這里 ，而 5.1,0.1ba0)(,0)(bfaf 取 的中點 ，將區(qū)間二等分，由于 ，即 與 同號，故所求的根 必在 右側(cè)，這時應(yīng)令 ，而得到新的有根區(qū)間,ba25.10 x0)(0 xf)(0 xf)(af*x0 x5.1,25.1101bbxa.,11ba 如此反復(fù)二分下去, 按誤差估計（1.3）式, 欲使,005.021212/)(2/)(*11kkkk

8、kababxx只需 ，即只要二分6次，便能達到預(yù)定的精度. 6k 計算結(jié)果如表7-1. 3242.13203.063203.13281.153281.13438.143438.13125.133125.1375.12375.125.1125.15 .10 .10)(17符號表kkkkxfxbak52)(3xxxf016)3(, 01)2(ff且f(x)在2, 3上連續(xù),故方程f(x)=0在2,3內(nèi)至少有一個根。又 當 時， ,故f(x)在2, 3上是單調(diào)遞增函數(shù),從而f(x)在2, 3上有且僅有一根。23)(2xxf3 , 2x0)( xf 給定誤差限 0.510-3 ,使用二分法時證明證明

9、令例例 證明方程證明方程 在區(qū)間在區(qū)間2, 32, 3內(nèi)有一個根內(nèi)有一個根, ,使用使用二分法求誤差不超過二分法求誤差不超過 的根要二分多少次？的根要二分多少次？0523 xx31021 誤差限為 只要取k滿足 )(211*abxxkk311021)(21 abk即可， 3102 k97.92110lg3gk 二分法的優(yōu)點是不管有根區(qū)間 多大,總能求出滿足精度要求的根,且對函數(shù)f(x)的要求不高,只要連續(xù)即可,計算亦簡單;它的局限性是只能用于求函數(shù)的實根,不能用于求復(fù)根及重根,它的收斂速度與比值為 的等比級數(shù)相同。 ba ,21即所以需二分10次便可達到要求。 二分法是計算機上的一種常用算法，計算步驟為： 步驟步驟1 1 準備準備 計算 在有根區(qū)間 端點處的 值 )(xf).(),(bfaf,ba步驟步驟2 2 二分二分 計算 在區(qū)間中點 處的值 )(x