基于數(shù)學(xué)史背景的微積分教學(xué)

1、基于數(shù)學(xué)史背景的微積分教學(xué) 摘 要：微積分是在經(jīng)濟管理類專業(yè)普遍開設(shè)的一門公共數(shù)學(xué)課，也是一些學(xué)生“考研”的必考科目之一。然而，數(shù)學(xué)的抽象性和枯燥性使得許多學(xué)生望而生畏。數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)發(fā)展過程與規(guī)律的科學(xué)。在微積分教學(xué)中，通過還原知識的歷史背景，有意識地向?qū)W生介紹有關(guān)數(shù)學(xué)史的知識，如創(chuàng)立者的感人業(yè)績、治學(xué)態(tài)度與方法，數(shù)學(xué)家的趣味故事，數(shù)學(xué)定義和定理的來龍去脈等等。將數(shù)學(xué)教學(xué)納入到文化的軌道上來,可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的形成過程，加深對數(shù)學(xué)本身的認識，力求知識的趣味性和思想性，盡量消除數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥性,讓學(xué)生體驗微積分的價值、欣賞微積分，促進學(xué)生對微積分的認知。關(guān)鍵詞：微積分；數(shù)學(xué)史；背景；教

2、學(xué)；0 前 言微積分的誕生拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕，推動了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生。微積分學(xué)是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的學(xué)科，是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱。微積分在內(nèi)容和體系上與初等數(shù)學(xué)都截然不同，其高度的抽象性和嚴(yán)密的符號體系往往令學(xué)生不知所從。傳統(tǒng)教材很少關(guān)注知識的形成過程和文化背景，把更多的注意力放在知識的邏輯結(jié)構(gòu)上，而且與自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支學(xué)科嚴(yán)重脫節(jié)，授課教師也多是注重知識傳授的連貫性和嚴(yán)密的邏輯性推理體系。這些不利因素，嚴(yán)重影響了微積分教學(xué)的趣味性，減弱了學(xué)生對微積分這一學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。感性材料和生動情境能夠減少數(shù)學(xué)學(xué)科知識的抽象性，增加數(shù)學(xué)的靈動性和趣味性。在微積分教學(xué)

3、中結(jié)合數(shù)學(xué)史知識，通過歷史背景知識的介紹，讓學(xué)生全面了解微積分基本概念和定理的來龍去脈，對學(xué)習(xí)情景做整體性了解，知道知識發(fā)生、發(fā)展的過程，做好認知情感、態(tài)度上的準(zhǔn)備，促進學(xué)生在已有的認知基礎(chǔ)上同化、順應(yīng)、平衡微積分知識。同時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值,盡量消除數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥性和抽象性，讓學(xué)生體驗微積分的價值、欣賞微積分的美，進而增強學(xué)生的使命感和目標(biāo)感，吸引更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。本文介紹基于數(shù)學(xué)史背景下，微積分教學(xué)的一些思考和嘗試。1 通過背景故事激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，加深對數(shù)學(xué)概念的理解興趣是學(xué)習(xí)的第一原動力。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如樂之者” 。我國著名的科學(xué)家

4、愛因斯坦也曾說過：“興趣是最好的老師”。學(xué)生只有對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，才會產(chǎn)生強烈的求知欲望，從而把心理活動指向和集中在學(xué)習(xí)的對象上，感知覺活躍，注意力集中，觀察敏銳，記憶持久而準(zhǔn)確，思維敏銳而豐富，激發(fā)和強化學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性而數(shù)學(xué)史中豐富的趣聞故事，是激發(fā)學(xué)生興趣的有效資源。在微積分教學(xué)過程中，可以穿插數(shù)學(xué)史料中的有趣故事，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以加深對數(shù)學(xué)概念、定理的理解。例如，在無窮級數(shù)新課的引入中，可以先向?qū)W生講述“蠕蟲與橡皮繩”運動悖論的故事：已知橡皮繩長1公里，一條蠕蟲在橡皮繩的一端，蠕蟲以每秒1厘米的均勻速度沿橡皮繩爬行，在1秒鐘之后，橡皮繩就拉長到了2公里，

5、再過1秒鐘后，它又拉長到3公里，這樣繼續(xù)下去。蠕蟲最后究竟會不會到達橡皮繩的終點呢？同學(xué)們憑直覺會說：蠕蟲不會爬到橡皮繩的終點。這時，教師可以告訴同學(xué)們?nèi)湎x能爬到了終點的。同學(xué)們會對這樣問題產(chǎn)生極大的興趣，同時活躍了課堂氣氛。老師接著說，我們嘗試用數(shù)學(xué)公式表示蠕蟲在第n秒末爬行的長度：由于1公里等于100000厘米，所以在第1秒末，蠕蟲就爬行橡皮總繩長度的1/100000。在第2秒鐘內(nèi)，蠕蟲爬了2公里橡皮繩的1/200000，在第3秒內(nèi)，它又爬了3公里長橡皮繩的1/300000，如此下去，蠕蟲爬行的長度可以表示為：(1/100000)×（11/21/31/4）。當(dāng)n充分大時，這個數(shù)能

6、否超過1呢？停頓一下，告訴學(xué)生，我們可以找到這個正整數(shù)N，使上述結(jié)果成立。由這個出乎意料的結(jié)論引入正題：無窮數(shù)列11/21/31/4就是一個級數(shù)。由于這個級數(shù)是發(fā)散的，它的部分和我們要它有多大，就有多大。只要這個和超過100000，上面的表達式就超過1。再如，在極限概念教學(xué)中，我們可以向?qū)W生講述“阿基里斯追烏龜” 的背景故事：阿基里斯和烏龜賽跑，烏龜提前跑了200米距離，假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍，這樣當(dāng)阿基里斯跑了200米時，到達了烏龜原來的出發(fā)點，而烏龜也向前跑了20米；當(dāng)阿基里斯再向前跑20米時，烏龜也向前跑了2米，如果這樣繼續(xù)下去?？梢钥闯?，被追趕者總是在追趕者的前面了，因為

7、追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置，所以可以得出結(jié)論，阿基里斯永遠追不上烏龜！ 這個結(jié)論與我們生活中的實際情況是不相符的。古希臘人之所以被這個問題困惑了幾千年，主要的原因是，他把運動中的“無限過程”與“無限時間”相提并論、混為一談了。因為無限過程需要無限個時間段來計算的，而無限時間段的總和卻可以是一個有限的數(shù)值。這個問題說明了古希臘人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“無窮小量”與“很小的量”這兩個概念之間的矛盾。通過這樣的故事背景介紹，同學(xué)們就很快進入這種情景里，述引人入勝，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生對極限概念的產(chǎn)生過程有清楚的理解，并留下深刻的印象。2 發(fā)揮數(shù)學(xué)史人物的楷模作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識在微積分的發(fā)明創(chuàng)造過程中

8、，出現(xiàn)了許多重要人物。每個概念都有著豐富的歷史背景，許多定理或公式都是由數(shù)學(xué)家的名字命名的，如羅爾定理、拉格朗日中值定理、費馬定理、萊布尼茲公式等等，在講授這些內(nèi)容時，可以簡要介紹其發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)家的生平秩事，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率，還可以讓學(xué)生產(chǎn)生對楷模的崇拜情愫，激勵自己做一個德才兼?zhèn)洹矣杏玫娜?，同時也學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家那種堅持不懈、勇于探索的創(chuàng)新精神。例如，在講解歐拉公式的時，可以穿插數(shù)學(xué)家歐拉的感人事跡：歐拉是數(shù)學(xué)史上最著名的四大數(shù)學(xué)家之一，歐拉一生共寫886篇論文和專著，其中400篇左右的論文和積分運動原理等經(jīng)典名著是他在失明后的17年中完成的。用這個生動感人的實

9、例，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家歐拉的堅韌意志和優(yōu)秀品質(zhì)，同時告訴學(xué)生“天才不是別的，而是辛勞和勤奮”的道理。再比如，在無窮級數(shù)教學(xué)中，穿插阿基米德為數(shù)學(xué)做出的卓越貢獻，阿基米德被譽為數(shù)學(xué)之神，他11歲就被送到當(dāng)時希臘文化中心的亞歷山大城去學(xué)習(xí)，在這座號稱"智慧之都"的名城里，阿基米德博覽群書，汲取了許多的知識，并且做了歐幾里得學(xué)生埃拉托塞和卡農(nóng)的門生，鉆研幾何原本。為幾何的研究付出了寶貴的生命。這些科學(xué)巨匠的成才之路對于大學(xué)生有很大的榜樣和啟發(fā)作用。學(xué)生可以從他們的發(fā)明創(chuàng)造過程中體會勇于創(chuàng)新的精神，和借鑒創(chuàng)新的方法。通過教師對數(shù)學(xué)史人物的講解，學(xué)生從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)家不僅要努力向上、勇

10、于攀登還要勤奮專研、堅忍不拔。中國古代有“書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟”的名句激勵每個人。通過數(shù)學(xué)家的事跡加強學(xué)生對創(chuàng)造性思維的感悟和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，并從數(shù)學(xué)家的事跡中學(xué)到數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的經(jīng)驗和方法。正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是一種技巧，發(fā)現(xiàn)的能力可以通過靈活的教學(xué)加以培養(yǎng)，從而使學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)的原則并付諸實踐”。3 灌輸辯證思想，樹立科學(xué)世界觀辯證唯物主義的世界觀強調(diào)不能一成不變地看問題，要注重事物的發(fā)展變化。而微積分學(xué)科的知識強有力地表現(xiàn)了變化的觀點，幾乎現(xiàn)實世界任何變動的過程都需要微積分來表現(xiàn)和刻畫。比如極限的概念，定積分的概念及應(yīng)用等內(nèi)容都深刻地反映了辯證的思想。在微積分的教

11、學(xué)中，要善于挖掘其中的辯證思想，對學(xué)生進行潛移默化的引導(dǎo)和滲透。可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)中領(lǐng)會運動與變化的觀點，聯(lián)系的觀點以及有限與無限等對立統(tǒng)一的規(guī)律，幫助學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀，提高思辨能力。在無窮小量概念教學(xué)時，以“數(shù)學(xué)的第二次危機無窮小量是零嗎？”為故事背景向?qū)W生講述：微積分的創(chuàng)始人是牛頓萊布尼茨，從此微積分就誕生了，這樣一來，一方面給原有的數(shù)學(xué)教學(xué)方法帶來很大的改變，另一方面也給傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來對概念無法理解的現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在“無窮小量”概念的理解。喬治·貝克萊是愛爾蘭的哲學(xué)家，也是英國近代經(jīng)驗主義哲學(xué)家的三位代表人物之一，他于1734年發(fā)表了分析學(xué)家或者向一個不信正教數(shù)學(xué)家的進言，

12、矛頭就指向微積分學(xué)的基礎(chǔ)，就是無窮小量的問題，這就是數(shù)學(xué)史上所謂貝克萊悖論。他指出：牛頓在求導(dǎo)數(shù)的時候，先采取了給以增量，再用減去來求增量，并除以用求出的增量與的增量之比，然后又讓消失，這樣就得出增量的最終比。上面過程牛頓違反了矛盾律。他先設(shè)有增量，又令增量為零，也就是假設(shè)沒有增量。他認為無窮小量既可以等于零又可以不等于零，也就是無窮小量是召之即來，揮之即去，這是荒謬的。微積分由此也就變得“神秘”了。無窮小量究竟是不是零？無窮小量及其分析是否合理呢？這個問題就引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機。一直到一個半世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家柯西把無窮小量定義為一個以零為極限的變量才得以解決。對這個悖論的解釋歸根結(jié)底是人

13、們對變量及有限、無限的認識缺陷而造成的。通過這樣數(shù)學(xué)故事的講述，能夠引起學(xué)生的思考，通過教師的適時引導(dǎo)，師生一起思辨，辯證唯物主義的思想直接深入到學(xué)生的頭腦中。除了在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史外，還可以通過多種途徑、多種形式對學(xué)生進行數(shù)學(xué)史的教育。如：發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，以數(shù)學(xué)板報的形式出現(xiàn)，介紹數(shù)學(xué)家的事跡、歷史名題等。還可以，適當(dāng)舉辦一些數(shù)學(xué)史的專題講座或?qū)ｎ}班會；教師向?qū)W生推薦一些數(shù)學(xué)家傳記、數(shù)學(xué)名著，較通俗的數(shù)學(xué)通史的等著作閱讀，不僅可以增進學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣理解，同時也是進行數(shù)學(xué)史教育的好方法。 4 結(jié) 論 總之，在微積分的課堂教學(xué)中，應(yīng)該結(jié)合根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)穿插數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歷史背景及發(fā)展歷程等感性的數(shù)學(xué)史資料。通過數(shù)學(xué)史背景知識的教學(xué)，讓學(xué)生感受到微積分中數(shù)學(xué)知識的美感