同濟六版高數(shù)課件(青島大學(xué))9.3

1、 第九章 *二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié)一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計算估計誤差機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義、全微分的定義 全微分一、全微分的定義、全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，yBxA稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域

2、D 內(nèi)各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微可微 ,則該

3、函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx機

4、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yyxxf定理定理2 (充分條件)yzxz,證證：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim00yx,0lim00yxzyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函數(shù)),(yxfz ),(yxyx在點可微.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(

5、oxxu推廣推廣: 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如, 三元函數(shù)),(zyxfu ud習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,ud記作uxd故有下述疊加原理uuuuzyxdddd稱為偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分為yyuzzu于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uuuzyxd,d,d例例1. 計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 計算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxey

6、yxex)d2d(2yxezyez機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可知當*二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用二、全微分在數(shù)值計算中的應(yīng)用1. 近似計算近似計算由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (可用于近似計算; 誤差分析) (可用于近似計算) 半徑由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受壓后圓柱體體積減少了 .cm2003例例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變

7、,到 20.05cm , 則 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求此圓柱體例例4.4.計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設(shè)yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分別表示 x , y , z 的絕對誤差界,2. 誤差估計誤差估計利

8、用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的絕對誤差界約為yyxxzyxfyxf),(),(z 的相對誤差界約為yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則特別注意特別注意時，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(時xyz yxyx類似可以推廣到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：解：aSaSaCbs

9、in211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故絕對誤差約為又CbaSsin21所以 S 的相對誤差約為SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0計算三角形面積.現(xiàn)測得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 bbSccS例例6 6.在直流電路中, 測得電壓 U = 24 伏 ,解解: 由歐姆定律可知4624IUR( 歐)所以 R 的相對誤差約為IURIUR0.3 + 0.5 R 的絕對誤差約為 RR0.8 0.3;定律計算電阻 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 .相對誤差為 測得電流 I =

10、 6安, 相對誤差為 0.5 ,= 0.032 ( 歐 )= 0.8 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求用歐姆內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 微分應(yīng)用 近似計算 估計誤差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(絕對誤差相對誤差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(

11、),(),(),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. P72 題 1 (總習(xí)題八)函數(shù)),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx當時是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當時是無窮小量 .2. 選擇題D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案:z03. 0,101. 0,2yyxx02. 0zd03. 0,101. 0,2yyxx03.

12、 0也可寫作:當 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 時 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P73 題 7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(4. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41

13、zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( L. P245 例2 )注意注意: x , y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz5. 已知第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點 (0,0) 可微 .備用題備用題在點 (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點 (0,0) 不連 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明函數(shù)xy222yx 所以),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時當yx,)0 , 0(),(時趨于沿射線當點xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx極限不存在 ,),(yxfx在點(0,0)不連續(xù) ;同理 ,),(yxfy在點(0,0)也不連續(xù).xx(lim0|