復變函數課后部分習題解答

1、優(yōu)質文檔相信能就一定能1.2 求下列各式的值(1) ( 3)5解：j3-i=2cos( -30)+is in (-30)=2cos30 - is in 30 (x3-i)5=25cos(305)-isin(305)=25(- J3/2-i/2)=-163-16i優(yōu)質文檔相信能就一定能1.2 求下列式子的值(2) (1+i)6解：令 z=1+i 則 x=Re (z) =1, y=Im (z) =1 r= z | = Jx2+y2=V2tan v=y=1xx0,y0.二屬于第一象限角n.v =41+i=2( cos +isin -44(1+i)6=(2)6(cos +isin )44=8( 0-i

2、)=-8i1.2 求下式的值6-1因為優(yōu)質文檔相信能就一定能-1= (cos 二 +sin 二)所以6-1二cos(二2k二/6)+sin(二2k二/6) (k=0,1,2,3,4,5,6).習題一11.2 (4)求(1-i)3的值1 1解：(1-i)3二、2(cos- U+isin- )空4 4優(yōu)質文檔相信能就一定能=62cos( 8 門)+isin(ii)12 12(k=0,1,2)1.3 求方程z3+8=0 的所有根。解：所求方程的根就是 W=. -8因為-8=8 （cos 二+isin 二）所以3-8=?cos（二+2k 二）/3+isin（二+2k 二）/3 k=0,1,2優(yōu)質文檔相

3、信能就一定能其中 p=vr=8=2即Wj=2cos 二 /3+isin 二 /3=1 ,3iw2=2cos（二+2：）/3+isin（二+2：）/3=-2w3=2cos（二 +4 二）/3+isin（二 +4 二）/3= 1習題二1.5 描出下列不等式所確定的區(qū)域或者閉區(qū)域, 無界的，單連通還是多連通的。(1) lm(z)0解：設 z=x+iy并指明它是有界還是優(yōu)質文檔相信能就一定能因為 lm(z)0，即,y0所以，不等式所確定的區(qū)域 D 為：不包括實軸的上半平面。由所確定的區(qū)域可知，不存在某一個正數 M 使得確定區(qū)域內的 每個點 z 滿足z，所以該區(qū)域是無界的。在該區(qū)域 D 內任意作一條簡單

4、閉曲線，該曲線的內部總是屬于D區(qū)域，所以區(qū)域 D 為單連通區(qū)域。綜上所述，該不等式確定的區(qū)域是不包含實軸的上半區(qū)域，是無界的單連通區(qū)域。描出下列不等式的區(qū)域或閉區(qū)域， 并指出它是有界還是無界的，單連 通的還是多連通的。1.5（2）錯誤！未找到引用源。解：該不等式的區(qū)域如圖所示：優(yōu)質文檔相信能就一定能圓錯誤！未找到引用源。+錯誤！未找到引用源。=4 的外部(不包括圓周)，無界的，為開的多連通區(qū)域1.5.描出下列不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的0Re(z) 0 : z優(yōu)質文檔相信能就一定能limCnzcnznz c2znrz2Wn-zlimz 0n+cn

5、zn，z+C優(yōu)質文檔相信能就一定能二錯誤！未找到引用源錯誤！未找到引用源(2)f(x)=2x3+3y3i解：Tu=2x3, v=3y3。昱=6x2,蘭=0, -=0,y:x；yx :y上述 4 個偏導處處連續(xù)，但僅當 2x2=3y2時 C-R 方程成立。因而函數 只2.1limAzO=-錯誤！未找到引用源。（優(yōu)質文檔相信能就一定能在直線2*3y=0 上可導，但是在復平面上不解析。優(yōu)質文檔相信能就一定能習題 22.2 的第一小題下列函數在何處可導？何處解析?解:iy優(yōu)質文檔相信能就一定能iy2xu優(yōu)質文檔相信能就一定能在 z 平面上處處連續(xù)，且當且僅當2x= -1 時，u,v才滿足 C-R 條件

6、，故f(z) =u+ iv=x -iy僅在1x直線2上可導，在 z 平面上處處不解析。優(yōu)質文檔相信能就一定能7.6(2):求下列函數的傅里葉變換：f(t)二costsint.解：F(錯誤！未找到引用源。)=錯誤！未找到引用源= 錯誤！未找到引用源。= 錯誤！未找到引用源。= 錯誤！未找到引用源。= 錯誤！未找到引用源。= 錯誤！未找到引用源。2. 2 以下函數何處可導？何處解析?f (z)二sinxchy+icosxshy優(yōu)質文檔相信能就一定能解:u=s inxchy v=cosxshy二cosxchy:x=cosxchy:yu=sin xshyV= -sin xshy；:x可得；:u；:v:

7、u-v；:x-x并且上述四個一階偏導數均連續(xù)， 所以 f(z)在復平面內處處可 導，從而在復平面內處處解析。25 頁習題二2.3 指出函數的解析性區(qū)域并求其導數5(1) (z-1)優(yōu)質文檔相信能就一定能解：由題可知(z-1)5處處解析其導數 f (z)=5(z-1)25 頁習題二優(yōu)質文檔相信能就一定能2.3 指出函數的解析性區(qū)域并求其導數(2)z32iz解：設f z = z32iz,x iy則f x,y = x3_3xy2_2y i 3x2y _y32x令u = x3_3xy2_2yv = 3x2y -y3_2x則ux=3x2-3y2Vx=6xy 22 2uy- -6xy-2vy=3x -3y

8、又令Ux=VyUy= -Vx即3x23y2=3x23y2_6xy _2 _ - 6xy 2所以f z在復平面內處處解析，即z32iz在復平面內處處解析，其導數為3z22i。2.3題：指出下列函數的解析性區(qū)域，并求其導數；(3)f(z) =錯誤！未找到引用源。解：令錯誤！未找到引用源。1=0得z=l口z=1優(yōu)質文檔相信能就一定能所以該函數除z= 1和z=1外在復平面上處處解析；該函數的導數為：錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。25 頁： 習題二2.3 指出下列函數的解析性區(qū)域，并求其倒數。（4）.錯誤！未找到引用源。（c d 中至少有一個不為 0）解.當 c=0 時，函數在復平面處處解析

9、；（錯誤！未找到引用源。）的倒數為錯誤！未找到引用源。；當 c！ =0 時：函數除 z=-錯誤！未找到引用源。 外在復平面處處 可導，處處解析；優(yōu)質文檔相信能就一定能（錯誤！未找到引用源。）的倒數為錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。優(yōu)質文檔相信能就一定能第二章 2.4 求下列函數的奇點；(1)錯誤！未找到引用源。解：因為：當 z(錯誤！未找到引用源。)=0;所以 z=0 ;錯誤！未找到引用源。=-1由 Z=錯誤！未找到引用源。計 m=-1=cosn+i sinnZ=錯誤！未找到引用源。二cos 錯誤！未找到引用源。+i sin 錯誤！未找到引用源當 n=0 時，z=i ;當 n=1 時

10、，z=-i ;(n=0,1)優(yōu)質文檔相信能就一定能所以本題奇點分別為 0; -i ; i ;2.4 求下列函數的奇點：z2(2)(z 1)2(z21).解:令原函數分母(z 1)2(z21)=0= z7 i.即:原函數在z = 1, i處不解析，故原函數的奇點為-1, L2.10 求 Ln (-i ), Ln (-3+4i )和他們的主值。解：Ln (-i ) =Ln|-i|+i(arg (-i ) +2kn)=i (-錯誤！未找到引用源。+2kn )=in(2k-錯誤！未找到引用源。),k=0, +1, +2,In (-i ) =ln|-i| + i arg (-i )=-錯誤！未找到引用源

11、。Ln(-3+4i)=ln|-3+4i| + i:arg(-3+4i)+2kn =In5+i (n-arctan 錯誤！未找到引用源。)+2kn=ln5-i(arctan 錯誤！未找到引用源。-(2k+1)n), k=0, +1,+2,In (-3+4i ) =ln|-3+4i| + i arg(-3+4i)=ln5+i(n-arctan 錯誤！未找到引用源。)優(yōu)質文檔相信能就一定能習題 2.12e2=e e2二ecosf ?)-i sin(二？)=e (_i)(1ii -e4=4.e e4=4ecosC：4) isin(：4)=4e44 e21 i3i=ei-Ln3=ern31Arg3二e*

12、 en3=e-cosln3 isinln3cosln2isinln22 2習題二46 頁3.1 沿下列路線計算積分 錯誤！未找到引用源。：(1)自原點至 3+i 的直線段；解：此直線的參數方程可寫成：x=3t，y=t，0 錯誤！未找到引用源。t 錯誤！未找到引用源。1，或IjtLn f卅gi州fm|f + 04iArg f韋)優(yōu)質文檔相信能就一定能z=3t+it，0 錯誤！未找到引用源。t 錯誤！未找到引用源。1，z=3t+it ，錯誤！未找到引用源。二(3+i)錯誤！未找到引用源。. 于是錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。優(yōu)質文檔相信能就一定能書 46 頁3.1 沿下列路線計算積分q

13、3 1z2dz:自原點沿實軸至3，再由3鉛直向上至3 i.解:設z=x iy，G：原點到3,y=0,x0,31 z2dz = z2dz+ fz2d =1(*i3-9=丄(3+1 fCC10二x2dx二x2dx = “Ci0二C2:3至U 3 i, 3,0至U 3,1 , x =3：0,1 I- 2 1212Cz dz = l(x +iy jd(x+iy尸(3+iy )d(3 + iy )= i(3 + iy )dyNW9x iy d x iy優(yōu)質文檔相信能就一定能3.2 試用積分qdz的值，其中 C 為正向圓周：Z= 2. 解：正向圓周Z二2的參數方程為：z2（0豈t2）由公式得：復變函數期中

14、作業(yè)2-2er2ieitdt =2e2兀2i dt二4i0優(yōu)質文檔相信能就一定能習題二3. 4 沿指定曲線的正向計算下列各積分(1)錯誤！未找到引用源。解：由柯西積分公式得錯誤！未找到引用源。3.4( 4)錯誤！未找到引用源。，C:|z|=2解：因為 C : |z|=2，被積函數奇點 z=3優(yōu)質文檔相信能就一定能所以 f (z)二錯誤！未找到引用源。所以 錯誤！未找到引用源。=0習題二 3.4 (8)錯誤！未找到引用源。dz/錯誤！未找到引用源。C:IzI=1解：取錯誤！未找到引用源。=0 在 C 內，f(z)在 C 內解析 所以，原式二錯誤！未找到引用源。f(z)dz/錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引用源。(z)=錯誤！未找到引用源。二錯誤！未找到引 用源。i在 D 內解析優(yōu)質文檔相信能就一定能習題二 3.4(5)錯誤！未找到引用源。 錯誤！未找到引用源。dz , C 為包 圍 Z