極值點(diǎn)偏移問題專題精選

1、極值點(diǎn)偏移問題專題（0）偏移新花樣（拐點(diǎn)偏移）2例1已知函數(shù)fx2lnxxx,右正實(shí)數(shù)xi,X2滿足fXi+fX2=4,求證：x1x22。證明：注意到f1=2,fk+fx2=2f1fx1+fx2=2f1r2fx=-+2x10x.2fx=2,f1=0,則（1,2）是£乂圖像的拐點(diǎn)，右拐點(diǎn)（1,2）也是fx想到了“極值點(diǎn)偏移”，想到了“對(duì)稱化構(gòu)造”對(duì)稱中心，則有x1x2=2，證明x1x22則說明拐點(diǎn)發(fā)生了偏移，作圖如下,類似地，不妨將此問題命名為“拐點(diǎn)偏移”，仍可用“對(duì)稱化構(gòu)造”來處理.不妨設(shè)0x11x2,要證x1x22x22x11fx2f2x14fxif2%4fxif2x1fxf2x,

2、x0,1,則f2x2x1222x12x得Fx在0,1上單增，有FxF1214,得證。2、極值點(diǎn)偏移PK拐點(diǎn)偏移常規(guī)套路1、極值點(diǎn)偏移（f%0）fx1fx2x22x°x1xx22x0二次函數(shù)fx1fx2xix22x02、拐點(diǎn)偏移fx00fx1fx22fx0x1x22x0fx,fx22fx0x22x0%x1x22x0極值點(diǎn)偏移問題專題（1）對(duì)稱化構(gòu)造（常規(guī)套路）例1（2010天津）已知函數(shù)fxxxe（1）求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和極值;（2）已知函數(shù)gx的圖像與fx的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱，證明：當(dāng)x1時(shí),(3)如果XiX2,且fXifX2,證明:x1x22.解:(1)/(詞/(在上/，在(L

3、")上',/)有極大值f(1)=1r無極小值：e(2)g(x)的圉像與，(才的圖像關(guān)于直線工工1對(duì)禰,貝!I區(qū)的解析式為J二2一工)，構(gòu)造輔助國數(shù)5(尤)=”第)一式K)=/(4一/(2一工)Kr(i)=Jf(x)+f(2-x)e-r(-x)+er-1(x-lI=工一Y”)當(dāng)工;1時(shí)，工1>0.-e_1>0r5BF(x)>0.得F(x)在(L+w)上單SJ.目F()>F(1)=O,即f(x)Ag(H).(3)由甬)=馮)r結(jié)合/(句的單調(diào)性可設(shè)/ulexi將三代入(2)中不等式得/(三)J(2與),又看)=(電),故，看)>/(2一9),又看&l

4、t;1,2三/(4)在(yd)上單塔,放西>2一巧r弱+叼>2.來源：微信公眾昌中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落點(diǎn)評(píng)：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問題的一般方法一一對(duì)稱化構(gòu)造的全過程，直觀展示如下：X例1是這樣一個(gè)極值點(diǎn)偏移問題：對(duì)于函數(shù)fxxe,已知fXfx2,xx2,證明XiX22.再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)Xi,X2的范圍0X11x2；(2)不等式fxf2xx1;（3）將X2代入（2）中不等式，結(jié)合fX的單調(diào)性獲證結(jié)論.把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問題.例2（2016新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)fX2ex2有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求a的取值范圍

5、;(2)設(shè)Xi,X2是fx的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:XiX22.解：（1）0,(2)由(1),1上，在1,X1可設(shè)x11x2.構(gòu)造輔助函數(shù)1ex2a2xe2a1時(shí)，x10,ex,1，又F10,將X1代入上述不等式中得fX1fX22x1，又x2X11,f1,上Z,故X12x1x22.通過以上兩例，相信讀者對(duì)極值點(diǎn)偏移問題以及對(duì)稱化構(gòu)造的一般步驟有所了解.但極值點(diǎn)偏移問題的結(jié)論不一定總是X1X22x0,也可以是x1x22X，借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過程.求證:已知函數(shù)fxxlnx的圖像與直線ym交于不同的兩點(diǎn)AX1,y1x1x2.e證明:1Inx1,得fx在0,一e上，在工e0；f10;當(dāng)X

6、1時(shí)，fX0；當(dāng)X0時(shí)，fX0（洛必達(dá)法則）；1,當(dāng)x時(shí)，fx，于是fx的圖像如下，得0X1x21.e（ii）構(gòu)造函數(shù)F用=刈一/,則1+ln-J；exj二（1+比工），一擊iifiA當(dāng)0父,<-時(shí)，l+lnjf<0,則F'>0r得Fx|在0-；上，.有尸儀。,即力“5y（。<舊）.（1%（血）將冏代人。）中不等式得/（福）</=,又/（西）=/（巧），故1e為J/：又七>-r->-.工）在；-.-HD|上/r故再S=七茵/ft七e'eJe再再.來溟：微信公眾號(hào)中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落e"小結(jié)：用對(duì)稱化構(gòu)造的方法解極佳點(diǎn)偏移問題大致分為以下三步:stepl:求導(dǎo)，獲彳導(dǎo)fx的單調(diào)性，極值情況，作出fx的圖像，由fx1fx2得不，*2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）step2:構(gòu)造輔助函數(shù)（對(duì)結(jié)論x1x22x0,構(gòu)造Fxfxf2x0x；對(duì)結(jié)2論x1x2片，構(gòu)