業(yè)余本科班線性代數(shù)綜合練習(xí)及解答

1、綜合練習(xí)(第1頁)線性代數(shù)綜合練習(xí)題1.填空題當(dāng) i =_ , j =_ 時，排列 1i25 j 4897 為奇排列。四階行列式 D=aij中，含a11a23的項為_ 和_如果行列式中零元素的個數(shù)大于n2n個，那么此行列式的值為 _。若將行列式的兩行(列)互換n次，那么當(dāng)n為_時，D 的值變號。若行列式 D 的每行元素之和都為 0，則 D=_。n設(shè)n階行列式 D=aij的元素aij對應(yīng)的代數(shù)余子式為Aij，則送aijAik=_ y矩陣A二(3ij)mn，B=j)m n,當(dāng)且僅當(dāng)_時A二B.設(shè)A是px5矩陣，B是mx4矩陣，AB是7xq矩陣，則_,p=_,q=_矩陣A = (aj)m滯的轉(zhuǎn)置矩陣

2、AT中，第i行第j列位置的元素是 _1 ,(16)齊次線性方程組AX =0,對系數(shù)矩陣A 施以初等行變換得則原方程組的基(17)如果與四元方程組AX = 0的同解方程組是% - -3X313則有r(A)x2= 0,自由未知_時，矩陣2綜合練習(xí)(第2頁)2X+2+，+2 x m(18)非齊次線性方程組丿12n有解的充分必要條件是_3X1+3X2 + + 3Xn = 綜合練習(xí)(第3頁)(a) -8D(b)12D(c) -12D(d)24D/ +2x2 2x3+2x4=2x _ x x =2時，方程組234一有解，其一般解為xi + 2x2- x3+ 3x4= aX!- x2+ x3+ 5x4= b

3、o(20)已知3a +4P =(2,1,1,2)，則向量a =_,P =_(21)若(01,02,03,4)=4，則向量組 O(i23是線性 _(22)若向量組=(1,0,2)，a2=(1,2,1)，a3=(2,k,5)線性無關(guān)，則k應(yīng)滿足_(23)齊次線形方程組(打1 - A)X =0的_ 都是 A_的特征向量。(24) 設(shè)AQ=3 是n階矩陣 A 的一個特征根，則行列式31 - A=_ ，且r(3I - A)_ n,3齊次線形方程組(31 -A)X =0定有_2 2 2(25) 二次型f (x1,x2,x3,x4x1+2X2+3X3+4X2+2X2X3的矩陣是 _ _ _124(26) 矩

4、陣A =22-1對應(yīng)的二次型是 _J-1 3一(27)n階矩陣 A 可對角化的充分必要條件是矩陣A 有_ 個線性無關(guān)的特征向量。如果實對稱矩陣 A 的特征根，0是特征方程的n重根，則對應(yīng)于0的線形無關(guān)的特征向量 有 個。2.選擇題1.四階行列式的展開式中，含有因子a32的項，共有( )個2.行列式k_12HO的充分必要條件是()2 k -1(a)k鼻1(b )k式3(c)k式一1且k式3(d )k式一1或k式3k213.行列式2k0=0的充分條件是()1-11(a)k=2 (b)k=-2 (c)k=0(d)k=4a1a2a32a12a?-2a34.如果D=b1b2b3D1=-2D-2b?- 2

5、b3則D1=(C1C2C32G一2C2一2C3(a)2D(b) _2D(c)8D(d) _8Da11a12a134a112a1 3a2一a135.若D=a21a22a23D1=4a212 a：1 3a：2a23則D1=(19)當(dāng)a,b滿足(a)4(b)2 (c )6 (d )8綜合練習(xí)(第4頁)a31a32a334a312a31_3a32一a336.設(shè)Aj是行列式D中元素aj的代數(shù)余子式，則下列等式正確的是（）（i,j=1,綜合練習(xí)（第5頁）9. 若A是m n矩陣，B是n p矩陣，C是p m矩陣，則下列運(yùn)算不可行的是（）（a C + （ABT（b ABC（c （BC _A（d ）ACT10.

6、已知A是m n矩陣，B是n m矩陣m=n，則下列（）運(yùn)算結(jié)果是n階方陣。(a AB(bATBT(CBTAT(d)(AB )14. 若A、B、C是同階方陣，且A可逆，下式（）a若AB二AC，貝yB = Cc若AB =0，則B=015. 設(shè)A為非奇異對稱方陣，則（）仍為對稱矩陣。a ATbAc3A2,，n)n(a)aijAj=Di17.用克萊姆法則求解n(b)ajAj=0n(c)二aijA1 j=Dj 丄m個方程、n個未知數(shù)的線性方程組的前提條件是(a)m=n（c）系數(shù)行列式=08.如果方程組(a)k =0, 1(b)系數(shù)行列式-03x ky - z = 04y +z =0有非零解，則()kx_5

7、y_z=0(b)k=1,2(c)k = -1, 3(d)k = -3,1n(d)二a1 jA1j=0j 4( )(d)解唯一(cA(BC )=(ABC*12312.設(shè)矩陣320 1 2則有（）1 be0ba.A = Bb.2Bc13.若A為n階方陣，k為常數(shù)，則有()(a )kA = k ,A(b)kA = kA不是運(yùn)算律。b A B C = AC BCd ABC二AC BAcBd. A a B。(c)kA=kAn(d)kA=knA必成立。b若AB二CB，貝yA = Cd若BC = 0，則B = 0d AATb零矩陣均相等d零矩陣是奇異矩陣11.設(shè)A、B、C均為n階方陣，下面（）a A B C

8、二C B A6.設(shè)Aj是行列式D中元素aj的代數(shù)余子式，則下列等式正確的是（）（i,j=1,綜合練習(xí)（第6頁）16. 下列命題中，正確的是（）。a零矩陣有無窮多個c零矩陣與任何可以相乘矩陣的乘積都是零矩陣10 217. 已知A = 013，則（）。23a A為可逆矩陣bAT=A0 0門(2 3 1(cAA為對稱矩陣(d】0 1 0A= 0 1 3J0 0丿J0 2丿18.矩陣（）的秩有可能大于 5c(a I5(b畑（C戸6辺(d A15Mx2+2x3= &19當(dāng)九式（）時，方程組X2 2 X3=丸一1有唯一解。AX3(丸-3)(a)o(b)1(c )2(d)3+ 2x2+2x3= 420當(dāng) 人

9、=(）時，方程組X2 X3= 2無解。丸0 13=(九-20_3)(a)o(b)1(c )2(d)321 當(dāng)丸=(）時，下面方程有無窮多個解| X2 x?- 3X3二，-1乜X2+3X3=2I 丸(人一1 X3 =(九一21丸一3)一6(a)o(b)1( c )2(d)322 有向量組t=(1,0,0,0) , :2=(0,1,0,0)，:2=(000,1)，則()不是：1,：2,：3,的線性組合。（3,4,0,1）（3,-4,0,1）（0,1,-1,2）23向量組a1,a2，am線性無關(guān)的必要條件是（）a:- 1,:- 2，：m都不是零向量。b：1,:- 2，：-m中至少有一個向量可由其余向

10、量線性表示。C -1,:- 2，中任意兩個向量都不成比例。d：1,:- 2，m中任一部分組線性無關(guān)。24向量組a1,a2，am的秩不為零的充分必要條件是（a a1,a2，am中至少有一個非零向量；b,a?,C a1,a2，am線性無關(guān)；d aj,a?，am中有一個線性無關(guān)的部分組。25齊次線性方程組AX =0是線性方程組AX二b的導(dǎo)出組，則不正確的是（）a AX =0只有零解時，AX二b有唯一解；bAX -0有非零解時，AX =b有無窮多個解；c X。是AX=0的通解，X*是AX二b的特解時，X*+X。是AX二b的通解；d X1,X2是AX =b的解時，X-X2是AX =0的解。26齊次線性方

11、程組A3 5X51 =0解的情況是（）b僅有零解；綜合練習(xí)（第 4 頁）1(才,0,3)）,am全是非零向量;a無解;c必有非零解；d可能有非零解，也可能沒有非零解。綜合練習(xí)（第8頁）27.向量組的秩就是向量組的（a極大無關(guān)組c極大無關(guān)中向量的個數(shù)下列各式中（）不是二次型2 2X2y 2X2y2Xxy y-z下列各式中（）b極大無關(guān)組中的向量d不同極大無關(guān)組的個數(shù)22X1X3X3-6X2X32 2X12X1X3-3X32%X2_ x?_ 3xX2C、30、_1（X1,X2）II-4下列矩陣中（1 5IL-1 21“-1X2）是二次型-刁31231、下列矩陣中（121：3121121312-13

12、2、設(shè)1, 2是矩陣X1_1D、 （為必）一-222X24X1X2-；1 212 2）是正交矩陣1 - 9 rL8-94-98-91-94-94-94-97-9A 的兩個不同的特征值,012、1一Io o 1 111001 11 - 1 -XX2分別是屬于1, 2的特征向量，當(dāng)（）時，k1Xk2X2必是 A 的特征向量。A、k1= 0且k2= 0 B、k|= 0且k2= 0 C、k1k2=0D、kj0且k2= 033、若A B，則（）A、存在可逆矩陣P，使PAP=BoB、存在對角矩陣D，使得A D,B DC、A =B34、如果（），則A BA、A = BC、A 與 B 有相同的特征多項式1 0

13、 035、 矩陣G = 0 1 0與矩陣（衛(wèi)0 2一B、r（A）二r（B）D、A與 B 有相同的特征值，且n個特征值各不相同。）相似28、C、29、1-3屮B、（XZ）13二-1lX2丿13-1-2一lX2丿（X1X2x1c必有非零解；d可能有非零解，也可能沒有非零解。綜合練習(xí)（第9頁）綜合練習(xí)（第10頁）101C、01000 2一1 00D、0110 02一9(27)n3.選擇題:1C2C3b4d5b6ac7a8c9d10b11d12b13d14a15abcd16ac17abed18c19a20ab36、0是矩陣 A 的一個特征根, 則（0參考答案：1填空題：i =3, j =60 奇數(shù)(11)1,0,0 ；b = V(20)a = 10(19)(21)無關(guān);(25)B、-10）是-2A的特征根。C、2 /.0a11a23a32a44和a11a23a34a42二bj；8)5,7,4；9)a O O ay; 10,160,25 ;1(13)丄，=0；(14)行。(15