小波分析碩士試題及答案

1、一、名詞解釋。（每題5分共30分）1、 線性空間與線性子空間答：線性空間是一個在標量域上的非空矢量集合；設是數(shù)域上的線性空間的一個非空子集合，且對已有的線性運算滿足以下條件：（1）如果，則；（2）如果，則，則稱是的一個線性子空間或子空間。2、 標準正交基答：若向量空間的基是正交向量組，則稱其為向量空間的正交基，若正交向量組的每個向量都是單位向量，則稱其為向量空間的標準正交基。在無限維希爾伯特空間中，正交基不再是哈默爾基，也即是說不是每個元素都可以寫成有限個基中元素的線性組合。因此在無限維空間中，正交基應該被更嚴格地定義為由線性無關而且兩兩正交的元素組成、張成的空間是原空間的一個稠密子空間（而不

2、是整個空間）的集合。3、 雙正交基雙正交小波基是框架的一種形式，框架的概念是標準正交基的推廣，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別滿足以下雙尺度方程:由雙正交條件可得。4、 尺度函數(shù)與小波函數(shù)尺度函數(shù)：小波函數(shù)：5、 Mallat算法答： 1989年，Mallat在小波變換多分辨率分析理論與圖像處理的應用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號的塔式多分辨率分析與重構的快速算法稱為馬拉特（Mallat）算法。Mallat分解算法：，Mallat重構算法： 6、 雙尺度方程 答：雙尺度方程，本質(zhì)就是將的基函數(shù)表示成的基函數(shù)的線性和。因為，所以和都可以用空間的一個基線性表示： ，即為雙尺度方程。1、 簡述小波的定義

3、及其主要性質(zhì)。（10分）答：小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它 具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。與傅里葉 變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運 算對信號(函數(shù))逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，解決了傅里葉變換的困難問題，成為繼傅里葉變換以來在科學方法上的重大突破。小波性能除了正交性以外還有光滑性、緊支性、衰減性、對稱性以及消失矩和時頻窗面積。2、 闡述Fourier變換和小波變換的各自的特點，并比

4、較它們之間的優(yōu)缺點。（10分）答：1）傅里葉變換能夠?qū)⑿盘枏臅r域轉(zhuǎn)到頻域，從物理意義上講，傅立葉變換的實質(zhì)是把這個波形分解成不同頻率的正弦波的疊加和，反映了整個信號的時間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號的特征，適合平穩(wěn)信號分析。 傅里葉變換缺點：1）只適合分析平穩(wěn)信號，不能分析非平穩(wěn)信號。2）根據(jù)測不準原理，傅里葉變換不可能同時對f(t)和F(W)同時有很高的分辨率。3)求傅立葉系數(shù)需要所考慮的時間域上所有信息，不能反映局部信息的特征，局部性差。 2）小波變換是一種窗口大小固定，但形狀可以改變，時窗和頻窗都可以改變的時頻局域化分析方法，對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析，達到高頻處時間細分，低頻處頻

5、率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，具有多分辨率，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，適合非平穩(wěn)信號分析。 小波變換缺點：小波變換是非平穩(wěn)信號處理的有力工具，雖然小波變換有多種小波基函數(shù)可以供選擇，但一旦小波基函數(shù)選定后，其特性就固定，各個尺度上的小波函數(shù)通過尺度和平移變換獲得，由于信號每分解一次，逼近信號和細節(jié)的長度減小一半。在不同尺度上得到的逼近信號特征之間存在差異，小波變換時采用以個基函數(shù)導出的小波函數(shù)難以在不同尺度上準確地逼近局部信號特征，因此降噪預處理時的重構信號會丟失原有的時域特征。3、 闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT算法的表達式。（10分）答：Meyer于1986年創(chuàng)造性地構造

6、出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進制伸縮與平移構成的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988年S.Mallat在構造正交小波基時提出了多分辨分析的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性， 將此之前的所有正交小波基的 構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。多分辨分析只是對低頻部分進行進一步分解，而高頻部分則不予以考慮。分解的關系為 。這里只是以一個層分解進行說明，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻部分，以下再分解以此類推。

7、多分解分析的最終目的是力求構造一個在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。多分辨分析只對低頻空間進行進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。Mallat分解算法：通過下面的公式可以很快計算出尺度系數(shù)和小波系數(shù)，因此，只要確定空間的初始序列，就可以算出任意空間的所有尺度系數(shù)和小波系數(shù)。公式(1)和(2)稱為離散小波變換的分解公式。Mallat重構算法： 4、 簡述小波理論的發(fā)展，并結合你所研究的領域，對小波理論在該領域的應用及發(fā)展進行綜述（此部分10分）。用某種語言編程實現(xiàn)數(shù)字水印嵌入、圖像壓縮或圖像分割（此部分30分，要求文字敘述，程序貼在

8、答案后面）。(共40分）（此題是重點，要求不能重復，否則根據(jù)情節(jié)扣10-20分）答：（1）1807年，傅里葉提出傅里葉分析 ，1822年發(fā)表“熱傳導解析理論”論文；1910年 Haar 提出最簡單的小波；1980，年Morlet 首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探；1985年，Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮； 1988年，Mallat 提出的多分辨分析理論； Meyer在1989年引入了小波包的概念。基于樣條函數(shù)的單正交小波基由崔錦泰和王建忠在1990年構造出來。1992年Cohen, Daubechhies等人構造出了緊支撐雙正交小波

9、基近年來，一種簡明有效的構造小波基的方法-提升方案得到很大的發(fā)展和重視，利用提升方案構造的小波被認為是第二代小波。小波分析在信號處理中的應用：小波分析已經(jīng)成為一種新工具和新方法，且取得了很多成功的應用。如：信號的分解和重構，信號的消噪，信號的奇異性檢測與分析。小波分析在圖像處理，圖像特征提取，圖像識別等方面的應用最為成功。北京大學，清華大學聯(lián)合研制的“基于小波分析的指紋處理系統(tǒng)”，特別是北郵推出的“基于微機并行處理的職位識別系統(tǒng)“更是把小波在指紋方面的應用推向高潮，其理論指標已超過美國FBI的結果。消噪是信號處理中經(jīng)典的問題，傳統(tǒng)的消噪方法多采用平均或線性方法，如Wiener濾波。隨小波理論的

10、日趨完善，利用小波進行信號消噪及重構得到了廣泛的應用。（2）利用Matlab實現(xiàn)數(shù)字水印嵌入源程序如下:function loop(Cwx, Cx) %定義循環(huán)函數(shù)k=0;while k<=size(Cx,2)/size(Cwx,2)-1 Cx(1+size(Cx,2)/4+k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/4+. (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cg(1+size(Cx,2)/4+. k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/4+(k+1)*size(Cwx,2)/4+. x*Cwx(1+size(Cwx,2)/4:size(Cwx,2)/2)

11、; Cx(1+size(Cx,2)/2+k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/2+. (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cx(1+size(Cx,2)/2+. k*size(Cwx,2)/4:size(Cx,2)/2+(k+1)*size(Cwx,2)/4+. g*Cwx(1+size(Cwx,2)/2:3*size(Cwx,2)/4); Cx(1+3*size(Cx,2)/4+k*size(Cwx,2)/4:3*size(Cx,2)/4+. (k+1)*size(Cwx,2)/4)=Cx(1+3*size(Cx,2)/4+. k*size(Cwx,2)/4:3*siz

12、e(Cx,2)/4+(k+1)*size(Cwx,2)/4+. x*Cwx(1+3*size(Cwx,2)/4:size(Cwx,2); k=k+1;end;clc;start_time=cputime; %記錄開始時間figure(1);subplot(1,3,1);input=imread('C:UsersalwDesktop1.jpg'); %讀出原始圖像imshow(input);title('原始圖像'); subplot(1,3,2);water=imread('C:UsersalwDesktop2.jpg'); %讀出水印圖像ims

13、how(water,);title('水印');input=double(input);water=double(water);inputr=input(:,:,1);waterr=water(:,:,1);inputg=input(:,:,2);waterg=water(:,:,2);inputb=double(input(:,:,3);waterb=double(water(:,:,3);r=0.06;Cwr,Swr=wavedec2(waterr,1,'haar'); %水印R的分解Cr,Sr=wavedec2(inputr,2,'haar'

14、;); %圖像R的分解Cr(1:size(Cwr,2)/16)=. %水印的嵌入Cr(1:size(Cwr,2)/16)+r*Cwr(1:size(Cwr,2)/16); function loop(Cwr, Cr) %調(diào)用loop循環(huán)函數(shù)Cr(1:size(Cwr,2)/4)=Cr(1:size(Cwr,2)/4)+r*Cwr(1:size(Cwr,2)/4);g=0.03;Cwg,Swg=wavedec2(waterg,1,'haar'); %水印G的分解Cg,Sg=wavedec2(inputg,2,'haar'); %圖像G的分解Cg(1:size(Cw

15、g,2)/16)=. %水印的嵌入Cg(1:size(Cwg,2)/16)+g*Cwg(1:size(Cwg,2)/16);function loop(Cwg, Cg) %調(diào)用loop循環(huán)函數(shù)Cg(1:size(Cwg,2)/4)=Cg(1:size(Cwg,2)/4)+g*Cwg(1:size(Cwg,2)/4);b=0.12;Cwb,Swb=wavedec2(waterb,1,'haar'); %水印B的分解Cb,Sb=wavedec2(inputb,2,'haar'); %圖像B的分解Cb(1:size(Cwb,2)/16)=. %水印的嵌入Cb(1:si

16、ze(Cwb,2)/16)+b*Cwb(1:size(Cwb,2)/16);function loop(Cwb, Cb) %調(diào)用loop循環(huán)函數(shù)Cb(1:size(Cwb,2)/4)=Cb(1:size(Cwb,2)/4)+b*Cwb(1:size(Cwb,2)/4); %圖像的重構inputr=waverec2(Cr,Sr,'haar');inputg=waverec2(Cg,Sg,'haar');inputb=waverec2(Cb,Sb,'haar'); %三色的疊加temp=size(inputr); pic=zeros(temp(1),temp(2),3);for i=1:temp(1); for j=1:temp(2); pic(i,j,1)=inputr(i,j); pic(i,j,2)=inputg(i,j); pic(i,j,3)=inputb(i,j); end;end;output