人教版高中數(shù)學必修四教案

1、第一章 三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教學目標：1、知識與技能（1）推廣角的概念、引入大于角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（.二、教學重、難點 重點: 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點: 終邊相同的角的表示.三、學法回憶-觀察-講解-歸納-推廣.四、教學設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情境】思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？ 取出一個鐘表,實際操作我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要

2、正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容任意角.【探究新知】1初中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢？角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置，就形成角.旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點. 2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術(shù)語：“轉(zhuǎn)體” （即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體”（即轉(zhuǎn)體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾

3、個現(xiàn)實生活中“大于的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢?如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性. 為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角,包括正角、負角和零角. 為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我

4、們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第三象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.練習:(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期幾? 天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?5.探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條

5、射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?請結(jié)合4.(2)口答加以分析.展示課件不難發(fā)現(xiàn),在教材圖1.1-5中,如果的終邊是,那么角的終邊都是,而,.設(shè),則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.6例題講評例1. 例1在范圍內(nèi)，找出與角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.（注：是指）例2.寫出終邊在軸上的角的集合.例3.寫出終邊直線在上的角的集合

6、,并把中適合不等式的元素寫出來.7.練習 教材第3、4、5題.注意: （1）；（2）是任意角（正角、負角、零角）；（3）終邊相同的角不一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差的整數(shù)倍.8.學習小結(jié)(1) 你知道角是如何推廣的嗎?(2) 象限角是如何定義的呢?(3) 你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在軸、軸、直線上的角的集合.五、評價設(shè)計作業(yè)：習題1.1 A組第1,2,3題 1.1.2弧度制一、教學目標：（1）理解并掌握弧度制的定義；（2）領(lǐng)會弧度制定義的合理性；（3）掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式；（4）熟練地進行角度制與弧度制的換算；（

7、5）角的集合與實數(shù)集之間建立的一一對應關(guān)系.(6) 使學生通過弧度制的學習，理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辨證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系.二、教學重、難點 重點: 理解并掌握弧度制定義；熟練地進行角度制與弧度制地互化換算；弧度制的運用.難點: 理解弧度制定義，弧度制的運用.三、教學設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情境】有人問：?？诘饺齺営卸噙h時，有人回答約250公里，但也有人回答約160英里，請問那一種回答是正確的？（已知1英里=1.6公里）顯然，兩種回答都是正確的，但為什么會有不同的數(shù)值呢？那是因為所采用的度量制不同，一個是公里制，一個是英里制.他們的長度單位是不同的，但是，他們之間可

8、以換算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有類似的情況，一個是角度制，我們已經(jīng)不再陌生,另外一個就是我們這節(jié)課要研究的角的另外一種度量制-弧度制.【探究新知】1角度制規(guī)定：將一個圓周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制與角度制之間如何換算？請看課本，自行解決上述問題.2.弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).3.探究:如圖,半徑為的圓的圓心與原點重合,角的終邊與軸的正半軸重合,交圓于點,終邊與

9、圓交于點.請完成表格.弧的長旋轉(zhuǎn)的方向的弧度數(shù)的度數(shù)逆時針方向逆時針方向我們知道，角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應該有正負零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.4.思考:如果一個半徑為的圓的圓心角所對的弧長是,那么的弧度數(shù)是多少?角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑.5.根據(jù)探究中填空:,度顯然,我們可以由此角度與弧度的換算了.6.例題講解例1.按照下列要求,把化成弧度:(1) 精確值；(2) 精確到0.001的近似值.例2.將3.14換算成角度(用度數(shù)表示,精確到0.001)

10、.注意:角度制與弧度制的換算主要抓住,另外注意計算器計算非特殊角的方法.7. 填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應表:度弧度角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應關(guān)系:即每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角（即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角）與它對應.8.例題講評 例3.利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式: (1); (2); (3).其中是半徑,是弧長,為圓心角,是扇形的面積.例4.利用計算器比較和的大小.注意:弧度制定義的理解與應用,以及角度與弧度的區(qū)別.9.練習 教材.五、作業(yè)：習題1.1 A組第7,8,9題 1.2 任意

11、角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)(一)一、教學目標：（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；（2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；（3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；（4）掌握并能初步運用公式一；二、教學重、難點 重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）.難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；三角函數(shù)線的正確理

12、解.三、教學設(shè)想 y P（a，b） r O M第一課時 任意角的三角函數(shù)（一）【創(chuàng)設(shè)情境】提問：銳角O的正弦、余弦、正切怎樣表示？借助右圖直角三角形，復習回顧.引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。數(shù),你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎?a的終邊P(x,y)Oxy如圖,設(shè)銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則; .思考：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？顯然，我們可以將點取在使線段的長的特殊位置上，這

13、樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表示銳角三角函數(shù)：; ; .思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標表示.那么,角的概念推廣以后，我們應該如何對初中的三角函數(shù)的定義進行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題任意角的三角函數(shù).【探究新知】1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到原點的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們在此引入單位圓的定義:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義?如圖,設(shè)是一個任

14、意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:(1)叫做的正弦(sine),記做,即；（2）叫做的余弦(cossine),記做,即；（3）叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.3.思考:如果知道角終邊上一點,而這個點不是終邊與單位圓的交點,該如何求它的三角函數(shù)值呢?前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么,.所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點的

15、坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù).4.例題講評例1.求的正弦、余弦和正切值.例2已知角的終邊過點，求角的正弦、余弦和正切值.教材給出這兩個例題，主要是幫助理解任意角的三角函數(shù)定義.我也可以嘗試其他方法:如例2:設(shè)則.于是 ,.5.鞏固練習第1,2,3題6.探究:請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個象限的符號填入表格中：三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制7例題講評例3求證：當且僅當不等式組成立時，角為第三象限角.8.思考:根據(jù)三角函

16、數(shù)的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系?顯然: 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一: (其中)9.例題講評 例4.確定下列三角函數(shù)值的符號,然后用計算器驗證:(1); (2); (3); (4)例5.求下列三角函數(shù)值:(1); (2); (3)利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值, 轉(zhuǎn)化為求到(或到)角的三角函數(shù)值. 另外可以直接利用計算器求三角函數(shù)值,但要注意角度制的問題.10.鞏固練習第4,5,6,7題五、評價1作業(yè)：習題1.2 A組第1,2題 2比較角概念推廣以后,三角函數(shù)定義的變化.思考公式一的本質(zhì)是什么?要做到熟練應用.另外,關(guān)于三角函數(shù)值在各象限的符號要熟練掌握

17、,知道推導方法.第二課時 任意角的三角函數(shù)（二）【復習回顧】1、 三角函數(shù)的定義；2、 三角函數(shù)在各象限角的符號；3、 三角函數(shù)在軸上角的值；4、 誘導公式（一）：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等；5、 三角函數(shù)的定義域.要求：記憶.并指出，三角函數(shù)沒有定義的地方一定是在軸上角，所以，凡是碰到軸上角時，要結(jié)合定義進行分析；并要求在理解的基礎(chǔ)上記憶.【探究新知】1引入：角是一個圖形概念，也是一個數(shù)量概念（弧度數(shù)）.作為角的函數(shù)三角函數(shù)是一個數(shù)量概念（比值），但它是否也是一個圖形概念呢？換句話說，能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢？Oxya角的終邊PTMA2邊描述邊畫以坐標原點為圓心，以單位長度1為

18、半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）.當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸于點，則請你觀察:根據(jù)三角函數(shù)的定義：；隨著在第一象限內(nèi)轉(zhuǎn)動，、是否也跟著變化？ 3思考：（1）為了去掉上述等式中的絕對值符號，能否給線段、規(guī)定一個適當?shù)姆较?，使它們的取值與點的坐標一致？（2）你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來表示角的正切值嗎？我們知道，指標坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關(guān).當角的終邊不在坐標軸時,以為始點、為終點，規(guī)定：當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標.這樣,無

19、論那種情況都有同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，規(guī)定：當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫坐標.這樣,無論那種情況都有4.像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段（direct line segment）.5.如何用有向線段來表示角的正切呢?如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識,借助有向線段,我們有我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.6.探究：（1）當角的終邊在第二、第三、第四象限時，你能分別作出它

20、們的正弦線、余弦線和正切線嗎？（2）當?shù)慕K邊與軸或軸重合時，又是怎樣的情形呢？7.例題講解例1已知，試比較的大小.處理:師生共同分析解答,目的體會三角函數(shù)線的用處和實質(zhì).8.練習第1,2,3,4題9學習小結(jié)(1)了解有向線段的概念.(2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來.(3)體會三角函數(shù)線的簡單應用.【評價設(shè)計】1 作業(yè)： 比較下列各三角函數(shù)值的大小(不能使用計算器)(1)、 （2）、 （3）、2練習三角函數(shù)線的作圖.1.2任意角的三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系一、教學目標：1、知識與技能(1) 使學生掌握同角

21、三角函數(shù)的基本關(guān)系；(2)已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；(3)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；(4)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；（6）靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進一步樹立化歸思想方法；（7）掌握恒等式證明的一般方法.二、教學重、難點 重點：公式及的推導及運用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一個，求其余兩個；（2）化簡三角函數(shù)式；（3）證明簡單的三角恒等式.難點: 根據(jù)角終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當?shù)姆椒ㄗC明三角

22、恒等式.三、教學設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情境】OxyPM1A(1,0)與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化【探究新知】1. 探究:三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的,你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā),討論一下同一個角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎? 如圖:以正弦線,余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.根據(jù)三角函數(shù)的定義,當時,有.這就是說,同一個角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.2. 例題講評例6.已知,求的值.三者知一求二,熟練掌握. 3. 鞏固練習頁第1,2,3題4.例題講評例7.求證

23、:.通過本例題,總結(jié)證明一個三角恒等式的方法步驟.5.鞏固練習頁第4,5題6.學習小結(jié)（1）同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此，（2）利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論五、評價設(shè)計(1) 作業(yè)：習題1.2A組第10,13題.(2) 熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式,試將關(guān)系式變形等,得到其他幾個常用的關(guān)系式;注意三角恒等式的證明方法與步驟.第二章 平面向量§2.1 平面向量的實際背景及基本概念教學目標：1. 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量

24、等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.2. 通過對向量的學習，使學生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.3. 通過學生對向量與數(shù)量的識別能力的訓練，培養(yǎng)學生認識客觀事物的數(shù)學本質(zhì)的能力.教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.學 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學習向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.教學思路：一、情景設(shè)置：ABCD如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）結(jié)論

25、：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？二、新課學習： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（二）請同學閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？2、如何表示向量？3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O

26、，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？ （三）探究學習1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. A(起點) B（終點）a2.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大

27、小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量

28、就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.（四）理解和鞏固： 例1 書本86頁例1.例2判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在

29、同一直線上嗎？（不一定）例3下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線

30、，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應選C.例4 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、相等的向量.變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（）課堂練習：1判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當 一個向量方向不確定當且僅當模為0；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即

31、可，并不要求兩個向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. 、正確.不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2書本88頁練習三、小結(jié) ：1、 描述向量的兩個指標：模和方向.2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.3、 向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點.四、課后作業(yè)： 書本88頁習題2.1第3、5題第2課時§2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義教學目標：1、 掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義； 2、 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解

32、決問題的能力； 3、 通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學生掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學方法；教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.教學難點：理解向量加法的定義.學 法：數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律.教學思路：一、設(shè)置情景：1、 復習：向量的定義以

33、及有關(guān)概念強調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置A B C2、 情景設(shè)置：（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，C A B 則兩次的位移和：（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，A BC 則兩次的位移和：（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，A BC 則兩次的位移和：（4）船速為，水速為，則兩速度和：二、探索研究：、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點，作a，則向量叫做a與

34、的和，記作a，即 a，規(guī)定： a + 0-= 0 +aa aABCa+ba+baabbaa探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<|+|；OABaaabbb（3）當與同向時，則+、同向，且|+|=|+|，當與反向時，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內(nèi)取一點，作 ，則.加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中+的結(jié)果與+是否相同？ 驗證結(jié)

35、果相同從而得到：）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應） ）向量加法的交換律：+=+向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)證：如圖：使， ， 則(+) +=，+ (+) =(+) +=+ (+)從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.三、應用舉例：例二（P9495）略 練習：P95四、小結(jié) 1、向量加法的幾何意義；、交換律和結(jié)合律；、注意：|+| | + |，當且僅當方向相同時取等號.五、課后作業(yè)：P103第、題七、備用習題1、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為，求水流的速度.2、一艘船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方

36、向行駛，到達對岸時，船的實際航程為8km，求河水的流速.3、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與水流間的夾角是，求和.4、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h，則船的實際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h、已知兩個力F1，F(xiàn)2的夾角是直角，且已知它們的合力F與F1的夾角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.、用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形第3課時§2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義教學目標：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，

37、并理解其幾何意義；3. 通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.教學難點：減法運算時方向的確定.學 法：減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.教學思路：一、 復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則A B D C 向量加法的運算定律：例：在四邊形中， .解：二、 提出課題：向量的減法1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零

38、向量.-(-a) = a.任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0（3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算： 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - bOabBaba-b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內(nèi)取一點O， 作= a， =

39、 b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量. 注意：1°表示a - b.強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù) 2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)OABaBb-bbBa+ (-b)ab 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.4 探究：） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a.a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b）若ab， 如何作出a - b？三、 例題：例一、（P 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一點O，作= a， =

40、 b， = c， = d， ABCbadcDO 作， ， 則= a-b， = c-dA B D C例二、平行四邊形中，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四邊形法則得： = a + b， = = a-b變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？（|a| = |b|）變式二：當a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）變式三：a+b與a-b可能是相當向量嗎？（不可能， 對角線方向不同）練習：98四、 小結(jié)：向量減法的定義、作圖法|五、 作業(yè)：P103第4、題六、 板書設(shè)計（略）七、 備用習題：1.在ABC中， =a， =b，則等于( )A.a+b B.

41、-a+(-b) C.a-b D.b-a2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設(shè)=a， =b， =c， =d，則A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .、如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d. 2.3平面向量的基本定理及坐標表示第4課時§2.3.1 平面向量基本定理教學目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一個向量

42、都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.教學過程：一、 復習引入：1實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）|=|；（2）>0時與方向相同；<0時與方向相反；=0時=2運算定律結(jié)合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.二、講解新課：平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的

43、任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2.探究：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底、的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量三、講解范例：例1 已知向量， 求作向量-2.5+3.例2 如圖 ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，和 例3已知 ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+=4例4（1）如圖，不共線，=t (tÎR)用，表示. （2）設(shè)不共線，點P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且.求證：A、B、P三點共線.

44、 例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)與c共線.四、課堂練習：1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =e1+ue2(、uR)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系A(chǔ).不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2

45、x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.24.已知a、b不共線，且c =1a+2b(1，2R)，若c與b共線，則1= .5.已知10，20，e1、e2是一組基底，且a =1e1+2e2，則a與e1_，a與e2_(填共線或不共線).五、小結(jié)（略） 第5課時§2.3.2§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標表示及運算教學目的：（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線. 教學重點：平面向量的坐標運算教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性.教學過程：一、復習引入：1平面向

46、量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1平面向量的坐標表示 如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐

47、標也為.特別地，.如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.2平面向量的坐標運算（1） 若，則，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.設(shè)基底為、，則即，同理可得（2） 若，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)（3）若和實數(shù)，則.實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.設(shè)基底為、，則，即三、講解范例：例

48、1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標.例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐標.例3 已知平面上三點的坐標分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由得D1=(2， 2)當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4， 6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(-6， 0)例4已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐標.解：由題設(shè)+= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)即： (-5，1)四、課堂練習：1若M

49、(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P點的坐標2若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 則-2= .3已知：四點A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略）第6課時§2.3.4 平面向量共線的坐標表示教學目的：（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；（3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線. 教學重點：平面向量的坐標運算教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性教學過程：一、復習引入：1平面向量的坐標表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量

50、、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標， 特別地，.2平面向量的坐標運算若，則，.若，則二、講解新課： (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0設(shè)=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中¹.由=得， (x1， y1) =(x2， y2) 消去，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去時不能兩式相除，y1， y2有可能為0， ¹ x2， y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成 x1， x2有可能為0(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式： (¹)

51、三、講解范例：例1已知=(4，2)，=(6， y)，且，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點P是線段P1P2上的一點， P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標； (2) 當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.例4若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x解：=(-1，x)與=(-x， 2) 共線 (-1)×2- x(-x)=0 x=± 與方向相同 x= 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1

52、，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(-1)=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6¹0 與不平行 A，B，C不共線 AB與CD不重合 ABCD四、課堂練習：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，則y=（ ）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（ ）A.-3 B.-1 C.1 D.33.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量). 與共