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文檔簡介
1、學習必備歡迎下載一道高考涂色題的探究高考試題是所有試題中的精品,是命題專家們智慧的結(jié)晶,它對高中的數(shù)學教學有一定的方向性和指引性“涂色型”的排列組合問題,是通過實際問題情境給出圖形按要求涂色的一種排列組合題型,是近幾年試題改革的一個新的亮點 此類試題立意新穎、構(gòu)思精巧、解法 靈活,能較好地考查學生分析問題和解決問題的能力解決此類問題的關(guān)鍵是找準突破口,進行分類討論本人認真做完了 2010 高考的各大省文理科數(shù)學試題,并認真 分類整理,收獲頗多其中 2010 年高考天津卷理科第 10 題:涂色 問題,本人進行了認真思考,提出了多種解法、自己的見解,現(xiàn) 整理如下,供大家參考(2010 年高考天津卷
2、理科第 10 題) 如圖 1, 用四種不同顏色給圖 中的 A、B、C、D、E、F 六個點涂色,要求每個點涂一種顏色, 且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色。則不同的涂色方法共有_種.試題分析:本題考查排列應用題中的涂色問題,考查分類、分步計數(shù)原理,考查學生的運算 推理能力以及分類討論的思想1.解題思路解法一:按選用顏色種數(shù)進行分類【解析】分三類:(1)B、D、E、F 用四種顏色,則有 A 必與 F 顏色相同、C 與 E 顏色相同,故A41仁24種方法.(2)B、D、E、F 用三種顏色,則有:B、E 同色或 D、F 同色必有其一,若B、E 同色,則 A 有異于 B 和 D 的兩種顏色,C 只有一種
3、,D、F 同色同理,2 A32 1; B 與 D 同色,則 A、C 都有異于 B、E 兩種選擇,A32 2,故2A21+ A:2 2=192 種.(3)B、D、E、F 用二種顏色,只能 B、E 同色,D、F 同色,A、C 有異于 B、D 兩種顏2色,則有A42 2=48,所以共有不同的涂色方法有 24+192+48=264 種解法二:利用“捆綁法”,分步著色【解析】第一類:用三種顏色涂色,A、D、E 顏色各不相同,若 B 與 E 同色,必有 C 與 A、3F 與 D 同色,可將 C 與 A 看作一個整體,F(xiàn) 與 D 看作一個整體;若 B、D 同色同理,故A42種.第二類:四種顏色(都用)涂六個
4、點,必有4 個點的位置顏色不同,即這六個點中必有兩組點同色,看作一個整體,而這兩組必為:AF、AC、BE、BD、CE、DF 中的兩組,如下:(AF、BE),( AF、BD),( AF、CE), ( AC、BE),( AC、BD),( AC、DF),( BE、DF) ,( BD、CE), (CE、DF )共 9 種,A:9,共有不同的涂色方法有 A:2+A:9=264 種解法三:著眼于“位置”:以四邊形 ABCD 為主分類、分步進行涂色3學習必備歡迎下載【解析】第一類:僅用三種顏色涂色,先涂四邊形ABCD 的 4 個頂點,有A種,必有 AC學習必備歡迎下載或 BD 顏色相同,若 AC 顏色相同,
5、E、F 顏色唯一確定。BD 同色同理,故A:2種.第二類:四種顏色全都用上, (1)先用兩種顏色涂矩形 ABCD 的 4 個頂點,必有 AC 與 BD 顏色相同,剩下兩種顏色 E、F 排列,故有A 2 1種;(2)先用三種顏色涂矩形 ABCD 的 4 個頂點,第一步選三種顏色A,必有 AC 或 BD 顏色相同,E 有異于 A、D 兩種顏色,F(xiàn) 隨之確定,故有2 A:2 1種;(3)4 種顏色先全部涂在矩形上, E 有異于 A、D 兩 種顏色,F(xiàn) 有異于 B、C 兩種顏色,A42 2.共有不同的涂色方法3234人2+At2 1+2 A421+ 代2 2=264 種.解法四:類比空間三棱柱 ADE
6、-BCF 如圖 2.【解析】第一類:僅用三種顏色涂色,設上一層A, D, E 的顏色分別為 a、 b、c 排列,下層仍然是顏色 a、b、c 排列,有 2 種方法,故有3A x2 種.第二類:四種顏色全都用上,設上一層A, D, E 的顏色分別為 a、b、c排列,下層包括第四種顏色 d,但不包括 abc 中某一個顏色(例如 a),對于 d 與 a 在同一側(cè)棱 上時,只有 1 種方法,對于 d 與 a 不在同一側(cè)棱上的情形, 有 2 種方法,(即 d 可以涂在 BCF 三點中的任意一個點,有三種方法,而 d 涂在其中的一個點,另外兩個點都對應著 3 中涂法)那么這種情形共有 3X3 = 9 種方法
7、,故有 A:x9 種.故共有不同的涂色方法總數(shù)為A;x11 = 264 種方法.解法五:用四種顏色涂 ABCD 四個點,則 E 有異于 A、D 兩種顏色,F(xiàn) 有異于 B、C 兩種 顏色,即A:2 2用三種顏色涂 ABCD 四個點,貝 U 必有 AC 或 BD 同色,當 AC 同色時,E、F 有三種涂色方法,如 ABD 依次涂 abd 三種顏色,則有 E: b,F:d;E:b,F:c;E:c,F:d 三種涂3法,故2AH3用兩種顏色涂 ABCD 四個點,貝 U AC 和 BD 同色,EF 有兩種涂色方法,即A A;.故共有A:2 2+2 A 3+AfA2=264.評注本題屬于以涂色為平臺的排列組
8、合應用題,考查分類、分步計數(shù)原理.解法一抓住了這種題型的一個核心一一顏色,從顏色入手進行突破;解法三抓住了這種題型的又一個核心一 位置,從位置入手進行突破,這兩種求解招數(shù)是求解這類題目的典型的正面直接求解法 解法二利用“捆綁法”,分步著色;解法四類比空間幾何體,這兩種求解招數(shù)是求解這道題 目的創(chuàng)新解法,應具體題目具體分析.解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意,找到一個確定的標準合理對問題進行分類或分步,但必須注意分類討論要全面,要做到不重不漏.事實上,“涂色型”的排列組合問題錯綜復雜,解法靈活多樣.因此,對于它們的求解方圖2C學習必備歡迎下載法,一定要具體問題具體分析.以上只是本人一孔之見,希望能拋磚引玉
9、.學習必備歡迎下載2.歷年考題考題 1 ( 2007 年天津高考題)如圖 3,用 6 種不同的顏色給圖中的4 個格子涂色 海個格子涂一種顏色,要求相鄰的兩個格子顏色不同,且兩端的格子的顏色也不同,則不同的涂色方法共有_ 種(用數(shù)字作答)考題 2 (2003 年江蘇高考試題)如圖 4,某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為 6 個部 分現(xiàn)要栽種 4 種不同顏色的花,每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花,不同的栽種方法有_ 種(以數(shù)字作答)考題 3 ( 2003 年全國高考題)如圖 5, 個地區(qū)分為 5 個行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰 區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有 4 種顏色可供選擇,則
10、不同的著色方法共有3欣賞理由以“四色定理”為背景是本題的一大亮點新課改關(guān)注了數(shù)學史的內(nèi)容,關(guān)注了數(shù)學史中包含著的數(shù)學概念、方法、思想的起源,讓數(shù)學史走進課堂有重要的教育價值,不僅可以激 發(fā)學生的學習興趣,啟迪學生的思維,而且可以幫助學生更好地理解數(shù)學鑒于這一點,在教學過程中我們應該多關(guān)注以數(shù)學史為背景的題目,這也符合新課改的基本理念與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣,其中包含著豐富的數(shù)學思想 解決涂色問題的方法技巧性 強且靈活多變,故這類問題的解決有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力,有利于開發(fā)學生的智力4回顧反思數(shù)學教學工作者在習題課設計例題時常采用的策略:(1) 一題多解,展示多種解題思路提高綜合分析能力;(2)題多變,變換
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