概率論 第六章

1、統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院龔小慶龔小慶 第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù):由部分來(lái)推斷總體由部分來(lái)推斷總體,或者由過(guò)去來(lái)推斷未來(lái)由過(guò)去來(lái)推斷未來(lái). 這樣就涉及到兩個(gè)問(wèn)題:1)如何選取部分如何選取部分？2)如如何利用部分何利用部分? 由于抽取的部分具有一定的隨機(jī)性,因此據(jù)此得出的推論總含有一定程度的不確定性.一般地,在數(shù)理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所做出的推斷我們都可以用一定的概率來(lái)表統(tǒng)計(jì)中所做出的推斷我們都可以用一定的概率來(lái)表明推斷的可靠或可信程度明推斷的可靠或可信程度.這種伴隨著一定概率的推斷就稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷. .統(tǒng)計(jì)推斷的含義統(tǒng)計(jì)推斷的含義6.1 總體和樣本

2、總體和樣本 對(duì)每個(gè)個(gè)體來(lái)說(shuō),它有許多方面的特性,而在實(shí)際問(wèn)題中,人們關(guān)心的往往只是個(gè)體的某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)量個(gè)體的某個(gè)或某幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)以及該指標(biāo)在總體中的概率分布情況指標(biāo)以及該指標(biāo)在總體中的概率分布情況. . 通常我們把被研究的對(duì)象的全體稱(chēng)為總體總體,而把組成總體的元素叫做個(gè)體個(gè)體. 為了使所抽取的部分客觀(guān)地反映總體的特性,我們將依據(jù)如下兩個(gè)假設(shè)來(lái)從總體中抽取部分:1 1）假設(shè)每個(gè)個(gè)體被抽中的機(jī)會(huì)是均等的；）假設(shè)每個(gè)個(gè)體被抽中的機(jī)會(huì)是均等的；2 2）抽取一個(gè)個(gè)體后不影響總體）抽取一個(gè)個(gè)體后不影響總體. . 這種獲取部分的方式我們稱(chēng)之為簡(jiǎn)單隨機(jī)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣. .簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣關(guān)于樣本記

3、號(hào)的注關(guān)于樣本記號(hào)的注 除了第八章以外,在本課件中將嚴(yán)格在上述的意義上使用這些記號(hào),切記不要混淆大小寫(xiě)英文字母之間的含義!12,( ),nXXXF x若為取自總體的一個(gè)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為則則nXXX,21).(),(*121 niinxFxxxF( ),Xf x又若具有概率密度的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為則則nXXX,21).(),(*121 niinxfxxxf樣本的分布樣本的分布6.2 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布常用的統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量1、樣本均值稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量niiXnX11為樣本均值。2、樣本方差稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量212)(11XXnSnii為樣本方差；稱(chēng)niiXXnS12

4、)(11為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。3 3、樣本矩、樣本矩稱(chēng)nikikXnA11為樣本k 階矩；稱(chēng)kniikXXnB)(11為樣本k階中心矩。以上定義的各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的觀(guān)察值分別為:niixnx11niixxns122)(11niixxns12)(11nikikxna11nikikkxxnb1), 2 , 1( ;)(1)(XE2()D Xn22)(SE)(1)(11)(11XnEnXEnXnEXEniinii221111()()nniiiiD XDXD XnnnniniiiniiXnXXXnXXnS1122122)(211)(11niiXnXn122)(1122211()()()1niiE SE XnE Xn

5、2222211()()1ninnn順序統(tǒng)計(jì)量順序統(tǒng)計(jì)量經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的做法如下:12 ( ) () , ,nS xxXXXx 用表示中不大于的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù) ( ) nF x 定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為)( ),(1)( xxSnxFn總體分布函數(shù)F(x)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量成為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)12 ,nXXXF設(shè)是總體的一個(gè)樣本12(1)(2)( ),.( )nnnx xxnxxxF x一般，設(shè)是總體的一個(gè)容量為 的樣本值將它們按大小次序排列如下：則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀(guān)察值為 ., 1, 0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF , , ( ) 1 ( ), lim

6、 sup( )( )01.nnnxxnF xF xPF xF x 對(duì)于任一實(shí)數(shù)當(dāng)時(shí)以概率一致收斂于分布函數(shù)即 , ( ) ( ) , ( ) .nxnF xF xF x對(duì)于任一實(shí)數(shù) 當(dāng)充分大 時(shí) 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的任一個(gè)觀(guān)察值與總體分布函數(shù)只有微小的差別 從而在實(shí)際上可當(dāng)作來(lái)使用格里汶科定理格里汶科定理)(22n2 的概率密度為)(2n12221,0( )220,0nxnxexnf xx概率密度圖形的示意圖概率密度圖形的示意圖可以將綠色的曲線(xiàn)視為 概率密度的代表圖形)(2n05101520253000.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5n=2n=6n=10 分布具有

7、可加性分布具有可加性2設(shè))(),(22221221nn,且2221,獨(dú)立,則)(2122221nn 例例6.2.1 若),(22n則22(),()2En Dn22()0,()() ()101iiiiE XE XD XE X 24421()ed32xiE XxxnXEXEXEEn)()()()(222212222212()()()()2nDD XD XD Xn0246810121416182000.020.040.060.080.10.120.14的上 分位數(shù)記為)(2n)(2n)(2n22( )Pn2.t2.t分布分布/XTYn ( ).Tt n所服從的分布為自由度為自由度為n的的t t分布分

8、布,記為 分布的概率密度為)(nttntnnntfn,)1 ()2()21()(212注:f(t)是偶函數(shù),因此其圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.4n=5n=20N(0,1) n取不同值時(shí)取不同值時(shí)t t分布及分布及N(0,1)的概率密度的比較圖的概率密度的比較圖 上上 分位數(shù)分位數(shù))(nt若( ),Tt n則有( )P Ttn-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.4)(nt由對(duì)稱(chēng)性知,有2| |( )P ttn并且)()(1ntnt-5-4-3-2-101234500.

9、050.10.150.20.250.30.350.42( )tn2( )tn223.F3.F分布分布21nYnXF 服從的分布為自由度為自由度為n1,n2的的F分布分布, ,記為),(F21nnF0,00,)/(1)2()2()/(2/)()(2/)(2121122/21212111yynxnnnynnnnynnnnF F分布的概率密度為分布的概率密度為00.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=10,m=25n=10,m=5n=15,m=25F分布密度函數(shù)的圖形00.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.

10、50.60.712( ,),F n n由定義,若12( ,),FF n n則211(,)FnnF12121211( ,)( ,)111( ,)P FF n nPFF n nPFF n n 所以12111( ,)PFF n n 121121(,)(,)FnnFn n 例例6.2.26.2.2 設(shè)正態(tài)總體 ,而 是來(lái)自X的樣本，令)2 , 0(2NX),(1521XXX)(22152112102221XXXXXY試確定隨機(jī)變量Y的分布.解 由已知條件知 ) 1 , 0(2NXi15,2, 1i222101()() (10)22XXU2221511()() (5)22XXV利用樣本的獨(dú)立性知, 與

11、相互獨(dú)立,于是,由F分布的定義,有UV22110221115/10(10,5)2()/ 5XXUYFXXV6.3 正態(tài)總體的抽樣分布正態(tài)總體的抽樣分布)(XE2()D Xn故 ),(2nNX說(shuō)明說(shuō)明:由樣本方差的定義可知2122) 1(niiXXSn雖然是個(gè)隨機(jī)變量的平方和,但是這些隨機(jī)變量是不獨(dú)立的,因?yàn)樗鼈兊暮秃愕扔诹? 0111niiniiXnXXX)1(/ntnSX證明證明因?yàn)?,1 ,0(/NnX) 1() 1(222nSn)1(/)1(/)1(22ntnSXnSnnX)2(11)(212121nntnnSYXTw其中 2) 1() 1(212222112nnSnSnSw證明證明 易

12、知),(221221nnNYX) 1 , 0(11)(2121NnnYXU又由給定條件知) 1() 1(122211nSn) 1() 1(222222nSn)2() 1() 1(21222222211nnSnSnV 由于兩組樣本獨(dú)立,再考慮到結(jié)論2,可知U與V相互獨(dú)立,從而由t分布的定義 )2(11)()2(21212121nntnnSYXnnVUw) 1, 1(/2122212221nnFSSF) 1, 1() 1() 1() 1() 1(/2122222212121122212221nnFnSnnSnSSF) 1 , 0()(9191NXXX)9 , 1( ),1 , 0(3iNYi)9 ,