2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷理科

1、2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題每小題5分.共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合勝目要求的一項(xiàng).1已知集合，則AB=（）ABCD2設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于的概率是（）ABCD3設(shè)“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）ABCD5如圖，于點(diǎn)，以為直徑的圓與交于點(diǎn)則（）ABCD6從中選一個(gè)數(shù)字從、中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）ABCD7某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）ABCD

2、8某棵果樹(shù)前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前年的年平均產(chǎn)量最高，則的值為（）ABCD二.填空題共小題每小題分共分.9直線（為參數(shù)）與曲線 （為參數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 10已知是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和若，則=11在中，若 ，則= 12在直角坐標(biāo)系中直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與該拋物線相交于、兩點(diǎn)其中點(diǎn)在軸上方若直線的傾斜角為則的面積為 13己知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)則的值為14已知,若同時(shí)滿足條件：或；則的取值范圍是三、解答題公6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15已知函數(shù).（1）求的定義域及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間16如圖，在中， ，分別是上的點(diǎn)，

3、且，將沿折起到的位置，使，如圖（1）求證：平面；（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大??；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？說(shuō)明理由17近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類(lèi)，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類(lèi)投放情況，先隨機(jī)抽取了該市三類(lèi)垃圾箱總計(jì)噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）；“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（2）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”

4、箱的投放量分別為，其中當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最大時(shí)，寫(xiě)出的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)的值（求：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）18已知函數(shù).（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間上的最大值19已知曲線（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸點(diǎn)上的橢圓，求的取值范圍；（2）設(shè)，曲線與軸的交點(diǎn)為（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)求證：三點(diǎn)共線 20設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s（m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合對(duì)于AS（m，n），記ri（A）為A的第行各數(shù)之和（1m），C

5、j（A）為A的第j列各數(shù)之和（1jn）；記K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的AS（2，2t+1），求K（A）的最大值2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題每小題5分.共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合勝目要求的一項(xiàng).1（2012北京）已知集合A=xR|3x+20，B=xR|（x+1）（x3）0，則AB=（）A（，1）B（1，）C

6、，3D（3，+）【分析】求出集合B，然后直接求解AB【解答】解：因?yàn)锽=xR|（x+1）（x3）0=x|x1或x3，又集合A=xR|3x+20=x|x，所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3，故選：D2（2012北京）設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）ABCD【分析】本題屬于幾何概型，利用“測(cè)度”求概率，本例的測(cè)度即為區(qū)域的面積，故只要求出題中兩個(gè)區(qū)域：由不等式組表示的區(qū)域 和到原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積后再求它們的比值即可【解答】解：其構(gòu)成的區(qū)域D如圖所示的邊長(zhǎng)為2的正方形，面積為S1=4，滿足到原點(diǎn)的距離大于2所表示

7、的平面區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓外部，面積為=4，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率P=故選：D3（2012北京）設(shè)a，bR“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】利用前后兩者的因果關(guān)系，即可判斷充要條件【解答】解：因?yàn)閍，bR“a=O”時(shí)“復(fù)數(shù)a+bi不一定是純虛數(shù)”“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”則“a=0”一定成立所以a，bR“a=O”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件故選B4（2012北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）A2B4C8D16【分析】列出循環(huán)過(guò)程中S

8、與K的數(shù)值，不滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)【解答】解：第1次判斷后S=1，k=1，第2次判斷后S=2，k=2，第3次判斷后S=8，k=3，第4次判斷后33，不滿足判斷框的條件，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果：8故選C5（2012北京）如圖，ACB=90°，CDAB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E則（）ACECB=ADDBBCECB=ADABCADAB=CD2DCEEB=CD2【分析】連接DE，以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E，DEBE，由ACB=90°，CDAB于點(diǎn)D，ACDCBD，由此利用三角形相似和切割線定理，能夠推導(dǎo)出CECB=ADBD【解答】解：連接DE，以BD為直徑的圓與

9、BC交于點(diǎn)E，DEBE，ACB=90°，CDAB于點(diǎn)D，ACDCBD，CD2=ADBDCD2=CECB，CECB=ADBD，故選A6（2012北京）從0、2中選一個(gè)數(shù)字從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A24B18C12D6【分析】分類(lèi)討論：從0、2中選一個(gè)數(shù)字0，則0只能排在十位；從0、2中選一個(gè)數(shù)字2，則2排在十位或百位，由此可得結(jié)論【解答】解：從0、2中選一個(gè)數(shù)字0，則0只能排在十位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有=6種；從0、2中選一個(gè)數(shù)字2，則2排在十位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有=6種；2排在百位，從1、3

10、、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與十位，共有=6種；故共有3=18種故選B7（2012北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）A28+6B30+6C56+12D60+12【分析】通過(guò)三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積即可【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角邊長(zhǎng)為4和5的三角形，一個(gè)側(cè)面垂直底面的等腰三角形，高為4，底邊長(zhǎng)為5，如圖，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6幾何體的表面積為：S=S底+S后+S右+S左=30+6故選：B8（2012北京）某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，則m的值為（

11、）A5B7C9D11【分析】由已知中圖象表示某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系，可分析出平均產(chǎn)量的幾何意義為原點(diǎn)與該點(diǎn)邊線的斜率，結(jié)合圖象可得答案【解答】解：若果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量S與n在圖中對(duì)應(yīng)P（S，n）點(diǎn)則前n年的年平均產(chǎn)量即為直線OP的斜率由圖易得當(dāng)n=9時(shí)，直線OP的斜率最大即前9年的年平均產(chǎn)量最高，故選C二.填空題共6小題每小題5分共30分.9（2012北京）直線（t為參數(shù)）與曲線 （為參數(shù)）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2【分析】將參數(shù)方程化為普通方程，利用圓心到直線的距離與半徑比較，即可得到結(jié)論【解答】解：直線（t為參數(shù)）化為普通方程為x+y1=0曲線 （為參數(shù)）化為普通方程為x2+y2=9圓

12、心（0，0）到直線x+y1=0的距離為d=直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)故答案為：210（2012北京）已知an是等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和若a1=，s2=a3，則a2=1【分析】由an是等差數(shù)列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2【解答】解：an是等差數(shù)列，a1=，S2=a3，=，解得d=，a2=1故答案為：111（2012北京）在ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=，則b=4【分析】根據(jù)a=2，b+c=7，cosB=，利用余弦定理可得，即可求得b的值【解答】解：由題意，a=2，b+c=7，cosB=，b=4故答案為：412（2012北京）在直角坐標(biāo)系xOy中直線l過(guò)拋物線y2=4

13、x的焦點(diǎn)F且與該拋物線相交于A、B兩點(diǎn)其中點(diǎn)A在x軸上方若直線l的傾斜角為60°則OAF的面積為【分析】確定直線l的方程，代入拋物線方程，確定A的坐標(biāo)，從而可求OAF的面積【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）直線l過(guò)F，傾斜角為60°直線l的方程為：，即代入拋物線方程，化簡(jiǎn)可得y=2，或y=A在x軸上方OAF的面積為=故答案為：13（2012北京）己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)則的值為1【分析】直接利用向量轉(zhuǎn)化，求出數(shù)量積即可【解答】解：因?yàn)?1故答案為：114（2012北京）已知f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，

14、若同時(shí)滿足條件：xR，f（x）0或g（x）0；x（，4），f（x）g（x）0則m的取值范圍是（4，2）【分析】由于g（x）=2x20時(shí)，x1，根據(jù)題意有f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1時(shí)成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求由于x（，4），f（x）g（x）0，而g（x）=2x20，則f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）時(shí)成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【解答】解：對(duì)于g（x）=2x2，當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1時(shí)恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開(kāi)口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左面則4m0即成立的范圍

15、為4m0又x（，4），f（x）g（x）0此時(shí)g（x）=2x20恒成立f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x（，4）有成立的可能，則只要4比x1，x2中的較小的根大即可，（i）當(dāng)1m0時(shí)，較小的根為m3，m34不成立，（ii）當(dāng)m=1時(shí)，兩個(gè)根同為24，不成立，（iii）當(dāng)4m1時(shí)，較小的根為2m，2m4即m2成立綜上可得成立時(shí)4m2故答案為：（4，2）三、解答題公6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（2012北京）已知函數(shù)f（x）=（1）求f（x）的定義域及最小正周期；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間【分析】通過(guò)二倍角與兩角差的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，（1）直接求出

16、函數(shù)的定義域和最小正周期（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可【解答】解：=sin2x1cos2x=sin（2x）1 kZ，x|xk，kZ（1）原函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk，kZ，最小正周期為（2）由，kZ，解得，kZ，又x|xk，kZ，原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，kZ16（2012北京）如圖1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2（1）求證：A1C平面BCDE；（2）若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；（3）線段B

17、C上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由【分析】（1）證明A1C平面BCDE，因?yàn)锳1CCD，只需證明A1CDE，即證明DE平面A1CD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出平面A1BE法向量，=（1，0，），利用向量的夾角公式，即可求得CM與平面A1BE所成角的大小；（3）設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），則a0，3，求出平面A1DP法向量為假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直，則，可求得0a3，從而可得結(jié)論【解答】（1）證明：CDDE，A1DDE，CDA1D=D，DE平面A1CD，又A1C平面A1CD，A1CDE又A1CCD，CDDE=DA1

18、C平面BCDE（2）解：如圖建系，則C（0，0，0），D（2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（2，2，0），設(shè)平面A1BE法向量為則又M（1，0，），=（1，0，）CM與平面A1BE所成角的大小45°（3）解：設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），則a0，3，設(shè)平面A1DP法向量為則假設(shè)平面A1DP與平面A1BE垂直，則，3a+12+3a=0，6a=12，a=20a3不存在線段BC上存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直17（2012北京）近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類(lèi)，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱

19、，為調(diào)查居民生活垃圾分類(lèi)投放情況，先隨機(jī)抽取了該市三類(lèi)垃圾箱總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）；“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（1）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；（2）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a0，a+b+c=600當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫(xiě)出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)s2的值（求：S2=+，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)）【分析】（1）廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾

20、”箱400噸，故可求廚余垃圾投放正確的概率；（2）生活垃圾投放錯(cuò)誤有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；（3）計(jì)算方差可得=，因此有當(dāng)a=600，b=0，c=0時(shí)，有s2=80000【解答】解：（1）由題意可知：廚余垃圾600噸，投放到“廚余垃圾”箱400噸，故廚余垃圾投放正確的概率為；（2）由題意可知：生活垃圾投放錯(cuò)誤有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為；（3）由題意可知：a+b+c=600，a，b，c的平均數(shù)為200=，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2，因此有當(dāng)a=600，b=0，c=0時(shí)，有s

21、2=8000018（2012北京）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a0），g（x）=x3+bx（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；（2）當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（，1）上的最大值【分析】（1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，可知切點(diǎn)處的函數(shù)值相等，切點(diǎn)處的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根據(jù)a2=4b，構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而分類(lèi)討論，確定函數(shù)在區(qū)間（，1）上的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a0），則

22、f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，則g（x）=3x2+b，k2=3+b，由（1，c）為公共切點(diǎn)，可得：2a=3+b 又f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即a=b，代入式可得：（2）由題設(shè)a2=4b，設(shè)則，令h'（x）=0，解得：，；a0， x （，） h（x）+ h（x） 極大值 極小值原函數(shù)在（，）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在）上單調(diào)遞增若，即0a2時(shí)，最大值為；若，即2a6時(shí)，最大值為若1時(shí)，即a6時(shí)，最大值為h（）=1綜上所述：當(dāng)a（0，2時(shí)，最大值為；當(dāng)a（2，+）時(shí)，最大值為19（2012北京）已知曲線C：（5m）x2+（m2）y2=

23、8（mR）（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G求證：A，G，N三點(diǎn)共線【分析】（1）原曲線方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓可得不等式組，即可求得m的取值范圍；（2）由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，=32（2k23），解得：，設(shè)N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程為：，則，從而可得，=（xN，kxN+2），欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證，共線，利用

24、韋達(dá)定理，可以證明【解答】（1）解：原曲線方程可化簡(jiǎn)得：由題意，曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓可得：，解得：（2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，=32（2k23）0，解得：由韋達(dá)定理得：，設(shè)N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程為：，則，=（xN，kxN+2），欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證，共線即成立，化簡(jiǎn)得：（3k+k）xMxN=6（xM+xN）將代入可得等式成立，則A，G，N三點(diǎn)共線得證20（2012北京）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s（

25、m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合對(duì)于AS（m，n），記ri（A）為A的第行各數(shù)之和（1m），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（1jn）；記K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|Cn（A）|中的最小值（1）如表A，求K（A）的值；110.80.10.31（2）設(shè)數(shù)表AS（2，3）形如11cab1求K（A）的最大值；（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的AS（2，2t+1），求K（A）的最大值【分析】（1）根據(jù)ri（A），Cj（A），定義求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根據(jù)K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A