2015年北京市高考數(shù)學試卷文科

1、2015年北京市高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（每小題5分,共40分）1若集合，則AB=（）ABCD2圓心為且過原點的圓的方程是（）ABCD3下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）AB CD4某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）類別人數(shù)老年教師中年教師青年教師合計ABCD5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）ABCD6設是非零向量，“”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）ABCD8某輛汽車每次加油都把油箱加

2、滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）年月日 年月日注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每千米平均耗油量為 （）A升B升C升D升二、填空題9復數(shù)的實部為10三個數(shù)中最大數(shù)的是11在中，則=12已知是雙曲線的一個焦點，則=13如圖，及其內部的點組成的集合記為，為中任意一點，則的最大值為14高三年級位學生參加期末考試，某班位學生的語文成績，數(shù)學成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是；在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠

3、前的科目是三、解答題（共分）15已知函數(shù)（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最小值16已知等差數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）設等比數(shù)列滿足，問：與數(shù)列的第幾項相等？17某超市隨機選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“×”表示未購買 甲乙丙丁××××××××××××（1）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的概率；（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪

4、種商品的可能性最大？18如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且 ，分別為，的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面（3）求三棱錐的體積19設函數(shù)（1）求 的單調區(qū)間和極值；（2）證明：若 存在零點，則 在區(qū)間上僅有一個零點20已知橢圓:，過點且不過點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線交于點（1）求橢圓的離心率；（2）若垂直于軸，求直線的斜率；（3）試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由2015年北京市高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分,共40分）1（2015北京）若集合A=x|5x2，B=x|3x3，則AB=（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3

5、【分析】直接利用集合的交集的運算法則求解即可【解答】解：集合A=x|5x2，B=x|3x3，則AB=x|3x2故選：A2（2015北京）圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（）A（x1）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=2【分析】利用兩點間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程【解答】解：由題意知圓半徑r=，圓的方程為（x1）2+（y1）2=2故選：D3（2015北京）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x【分析】首先從定義域上排除選項C，然后在其他選項中判斷x與x的函數(shù)值

6、關系，相等的就是偶函數(shù)【解答】解：對于A，（x）2sin（x）=x2sinx；是奇函數(shù)；對于B，（x）2cos（x）=x2cosx；是偶函數(shù)；對于C，定義域為（0，+），是非奇非偶的函數(shù)；對于D，定義域為R，但是2（x）=2x2x，2x2x；是非奇非偶的函數(shù)；故選B4（2015北京）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A90B100C180D300【分析】由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，即可得出結論

7、【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，因為青年教師有320人，所以老年教師有180人，故選：C5（2015北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（）A3B4C5D6【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當a=時滿足條件a，退出循環(huán)，輸出k的值為4【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不滿足條件a，a=，k=2不滿足條件a，a=，k=3不滿足條件a，a=，k=4滿足條件a，退出循環(huán)，輸出k的值為4故選：B6（2015北京）設，是非零向量，“=|”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D

8、既不充分也不必要條件【分析】由便可得到夾角為0，從而得到，而并不能得到夾角為0，從而得不到，這樣根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可找出正確選項【解答】解：（1）；時，cos=1；“”是“”的充分條件；（2）時，的夾角為0或；，或；即得不到；“”不是“”的必要條件；總上可得“”是“”的充分不必要條件故選A7（2015北京）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A1BCD2【分析】幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，結合直觀圖求相關幾何量的數(shù)據(jù)，可得答案【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB平面ABCD，底面ABCD為

9、正方形PB=1，AB=1，AD=1，BD=，PD=PC=該幾何體最長棱的棱長為：故選：C8（2015北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為 （）A6升B8升C10升D12升【分析】由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到該車每100千米平均耗油量【解答】解：由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，所以該車每100千米平均耗油量48

10、÷6=8；故選：B二、填空題9（2015北京）復數(shù)i（1+i）的實部為1【分析】直接利用復數(shù)的乘法運算法則，求解即可【解答】解：復數(shù)i（1+i）=1+i，所求復數(shù)的實部為：1故答案為：110（2015北京）23，log_25三個數(shù)中最大數(shù)的是log_25【分析】運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，可得0231，12，log_25log24=2，即可得到最大數(shù)【解答】解：由于0231，12，log_25log24=2，則三個數(shù)中最大的數(shù)為log_25故答案為：log_2511（2015北京）在ABC中，a=3，b=，A=，則B=【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的邊角關系，即可得到

11、角B【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB=，由ba，則BA，可得B=故答案為：12（2015北京）已知（2，0）是雙曲線x2=1（b0）的一個焦點，則b=【分析】求得雙曲線x2=1（b0）的焦點為（，0），（，0），可得b的方程，即可得到b的值【解答】解：雙曲線x2=1（b0）的焦點為（，0），（，0），由題意可得=2，解得b=故答案為：13（2015北京）如圖，ABC及其內部的點組成的集合記為D，P（x，y）為D中任意一點，則z=2x+3y的最大值為7【分析】利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點A時

12、，直線y=的截距最大，此時z最大即A（2，1）此時z的最大值為z=2×2+3×1=7，故答案為：714（2015北京）高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數(shù)學成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是乙；在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是數(shù)學【分析】（1）根據(jù)散點圖1分析甲乙兩人所在的位置的縱坐標確定總成績名次；（2）根據(jù)散點圖2，觀察丙的對應的坐標，如果橫坐標大于縱坐標，說明總成績名次大于數(shù)學成績名次，反之小于【解答】解：由高三年級2

13、67位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數(shù)學成績與總成績在全年級的排名情況的散點圖可知在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是 乙；觀察散點圖，作出對角線y=x，發(fā)現(xiàn)丙的坐標橫坐標大于縱坐標，說明數(shù)學成績的名次小于總成績名次，所以在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是數(shù)學；故答案為：乙；數(shù)學三、解答題（共80分）15（2015北京）已知函數(shù)f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間0，上的最小值【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+），由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解；（2）由

14、x0，可求范圍x+，即可求得f（x）的取值范圍，即可得解【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2=sinx2×=sinx+cosx=2sin（x+）f（x）的最小正周期T=2；（2）x0，x+，sin（x+）0，1，即有：f（x）=2sin（x+），2，可解得f（x）在區(qū)間0，上的最小值為：16（2015北京）已知等差數(shù)列an滿足a_1+a_2=10，a_4a_3=2（1）求an的通項公式；（2）設等比數(shù)列bn滿足b_2=a_3，b_3=a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項相等？【分析】（I）由a_4a_3=2，可求公差d，然后由a_1+a_2=10，可求a_1，結合等差數(shù)列的通項

15、公式可求（II）由b_2=a_3=8，b_3=a7=16，可求等比數(shù)列的首項及公比，代入等比數(shù)列的通項公式可求b6，結合（I）可求【解答】解：（I）設等差數(shù)列an的公差為da_4a_3=2，所以d=2a_1+a_2=10，所以2a_1+d=10a_1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（II）設等比數(shù)列bn的公比為q，b_2=a_3=8，b_3=a7=16，q=2，b_1=4=128，而128=2n+2n=63b6與數(shù)列an中的第63項相等17（2015北京）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“”表示購買，“

16、5;”表示未購買 甲乙丙丁100×217××200×300××85××× 98×××（1）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？【分析】（1）從統(tǒng)計表可得，在這1000名顧客中，同時購買乙和丙的有200人，從而求得顧客同時購買乙和丙的概率（2）根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有300人，求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率（3）在這

17、1000名顧客中，求出同時購買甲和乙的概率、同時購買甲和丙的概率、同時購買甲和丁的概率，從而得出結論【解答】解：（1）從統(tǒng)計表可得，在這1000名顧客中，同時購買乙和丙的有200人，故顧客同時購買乙和丙的概率為=0.2（2）在這1000名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有100+200=300（人），故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率為=0.3（3）在這1000名顧客中，同時購買甲和乙的概率為=0.2，同時購買甲和丙的概率為=0.6，同時購買甲和丁的概率為=0.1，故同時購買甲和丙的概率最大18（2015北京）如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為

18、等邊三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點（1）求證：VB平面MOC；（2）求證：平面MOC平面VAB（3）求三棱錐VABC的體積【分析】（1）利用三角形的中位線得出OMVB，利用線面平行的判定定理證明VB平面MOC；（2）證明：OC平面VAB，即可證明平面MOC平面VAB（3）利用等體積法求三棱錐VABC的體積【解答】（1）證明：O，M分別為AB，VA的中點，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）AC=BC，O為AB的中點，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形

19、ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=19（2015北京）設函數(shù)f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，上僅有一個零點【分析】（1）利用f'（x）0或f'（x）0求得函數(shù)的單調區(qū)間并能求出極值；（2）利用函數(shù)的導數(shù)的極值求出最值，利用最值討論存在零點的情況【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x由f'（x）=0解得x=f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+）上的情況如下：X （0，） （） f'

20、（x） 0+ f（x）所以，f（x）的單調遞增區(qū)間為（），單調遞減區(qū)間為（0，）；f（x）在x=處的極小值為f（）=，無極大值（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+）上的最小值為f（）=因為f（x）存在零點，所以，從而ke當k=e時，f（x）在區(qū)間（1，）上單調遞減，且f（）=0所以x=是f（x）在區(qū)間（1，）上唯一零點當ke時，f（x）在區(qū)間（0，）上單調遞減，且，所以f（x）在區(qū)間（1，）上僅有一個零點綜上所述，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，上僅有一個零點20（2015北京）已知橢圓C：x2+3y2=3，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x=3交于點M（1）求橢圓C的離心率；（2