《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》組合數(shù)學(xué)部分第四單元輔導(dǎo).

1、組合數(shù)學(xué)教學(xué)輔導(dǎo)41計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)組合數(shù)學(xué)部分第四單元輔導(dǎo)本單元介紹了數(shù)值函數(shù)的定義，表示方法和運(yùn)算；以及生成函數(shù)的概念和性質(zhì)，還介紹了一種特殊的生成函數(shù)，即指數(shù)生成函數(shù)。關(guān)鍵詞：數(shù)值函數(shù) 推遲函數(shù)超前函數(shù)卷積差分多項(xiàng)式 生成函數(shù)復(fù)習(xí)思考題1何謂數(shù)值函數(shù)？2. 數(shù)值函數(shù)有幾種表示方法？3. 數(shù)值函數(shù)有幾種運(yùn)算？4什么是生成函數(shù)？有幾種生成函數(shù)？5. 已知數(shù)值函數(shù)，如何求生成函數(shù)？6. 已知生成函數(shù)，如何求數(shù)值函數(shù)？7. 生成函數(shù)的性質(zhì)有哪些？學(xué)習(xí)指導(dǎo)數(shù)值函數(shù)與生成函數(shù)是親密無間的。數(shù)值函數(shù)是由一個數(shù)列形式表示的，如f = （a。，al,a2,，a” ）各項(xiàng)之間雖有聯(lián)系，但它們是以孤立的形式出現(xiàn)

2、。若引入一個無窮級數(shù)2rao+aiz+a2z + + arz + 起個名字叫做生成函數(shù)，就把它們聯(lián)系起來了， 若能求出其和函數(shù)，就成了一個相當(dāng)緊湊的 表示方法。例如：數(shù)值函數(shù) f =5, 51, 52,，5r,的生成函數(shù)為組合數(shù)學(xué)教學(xué)輔導(dǎo)42505z 5z25-1 -5z組合數(shù)學(xué)教學(xué)輔導(dǎo)43這不僅僅是形式上的緊湊， 而且還可以利用數(shù)值函數(shù)和生成函數(shù)之間的性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相求解決很多實(shí)際問題。跟我練習(xí)例 1求數(shù)值函數(shù) ar= 2r+ 3r(r 二 0)的生成函數(shù)。并反過來簡化 ar的表示形式。 思路ar 是數(shù)值函數(shù)的通項(xiàng)表示形式，利用性質(zhì)1: : F(x) + :G(x)為:f + :g 的生成函數(shù)，

3、知:-=:=1, f(r) = 2r, g(r) = 3r，于是，= 2r+ 3r(r - 0)的生成函數(shù)為1 1A(x):1 -2x 1-3x例 1 求 ar= 3 7r- 5 6r(r - 0)的生成函數(shù)例 2 設(shè) c = a * b，其中 ar= 3r(r 0), br= 2r(r 0),求 c 的生成函數(shù)及其通項(xiàng)表示。1 11 一 3x 1 - 2x于是 Cr=3 3r-2 2r=3r 12r1例 3 假如某工廠規(guī)定了一個機(jī)械工人的工作量即生產(chǎn)數(shù)量如下:r0 旨空91011121314151617洶 8ar02332013220其中 r 表示第 r 小時。由此可以求出 ar的生成函數(shù),

4、A(x)二 x9(2 3x 3x22x3x53x62x72x8)加設(shè)有 3 個機(jī)械工人，第 1 個工人早上 6 點(diǎn)種開始工作，第 2 個工人早上 8 點(diǎn)種開始 工作，第3 個工人早上 9 點(diǎn)種開始工作，并且根據(jù)他們的開始時間平移其生產(chǎn)速度。解：；的生成函數(shù)為A( (X) )*3xbr的生成函數(shù)為 B(x)二112x.cr的生成函數(shù)為 C(x)二 A(x)B(x)1 11-3x 1-2x組合數(shù)學(xué)教學(xué)輔導(dǎo)44如果用 b 來描述 3 個工人合起來的小時生產(chǎn)總量的數(shù)值函數(shù)，則B(x) =(x?1 x)A(x)對于 b = .：a，其生成函數(shù)為1B(x) 一A(x) _a _ A(x) x對于 b =

5、la,其生成函數(shù)為B(x)二 A(x) -xA(x)例 4 一只兔子的壽命恰好 10 年，假設(shè)開始時有兩只剛出生的小兔, 的兔子數(shù)是前一年出生兔子數(shù)的兩倍。求第r 年兔子的總數(shù)。解：第 r 年兔子的總數(shù)為 ar，易見 ar= 2 2r= 2r+1.已知兔子的壽命恰好 10 年，令110 遼 r 遼 9br=0 r _10它們的生成函數(shù)分別是9B(x)八 xr=r=0設(shè) cr為第 r 年的兔子總數(shù)。它的生成函數(shù)為10-be10r 2r=(1 一 x )(2- 2)xr=0A(x)二 2r 1xrr=021 一2xC(x)二 A(x)B(x)二1 一2xb 的生成函數(shù)為并且以后每年出生101 -X組合