人教版高一數(shù)學(xué)必修一第一章-知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題講解

1、必修 1 第一章集合與函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)整理第 1 講 1.1.1 集合的含義與表示知識(shí)要點(diǎn)：1. 把一些元素組成的總體叫作集合（set） ，其元素具有三個(gè)特征，即確定性、互異性、無序性.2. 集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“ ”括起來，基本形式為a1,a2,a3, ,an ，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為x A|P（x），既要關(guān)注代表元素x，也要把握其屬性P（x） ，適用于無限集.3. 通常用大寫拉丁字母A, B,C, 表示集合. 要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集 N ，正整數(shù)集N * 或 N ，

2、整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R.4. 元素與集合之間的關(guān)系是屬于（belong to）與不屬于（not belong to），分別用符號(hào) 、 表示，例如3 N ，2 N .例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（ 1）由方程x（x （ 3） x|y x|x 0 . x 點(diǎn)評(píng) ： 以上代表元素，分別是點(diǎn)、函數(shù)值、自變量. 在解題中不能把點(diǎn)的坐標(biāo)混淆為 1,4 ，也注意對(duì)比（2）與（3）中的兩個(gè)集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質(zhì)上不同，分析時(shí)一定要細(xì)心. * 【例4】已知集合A a | x2 a 1有唯一實(shí)數(shù)解 ，試用列舉法表示集合A 2x 3） 0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

3、（ 2）大于2 且小于 7 的整數(shù) .解 ： （ 1）用描述法表示為： x R | x（x2 2x 3） 0 ；用列舉法表示為0, 1,3 .（ 2）用描述法表示為： x Z | 2 x 7 ；用列舉法表示為3,4,5,6 .【例2】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：已知A x|x 3k 2,k Z， B x|x 6m 1,m Z ，則有：17A； 5A；17 B.解 ：由 3k 2 17，解得 k 5 Z ，所以 17 A；3k 25 ，解得 k x2 2 Z ，所以 5 A；36m 1 17，解得m 3 Z，所以 17 B.3】試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海ń滩腜6 練習(xí)題 2，P13 A組題 4）1）

4、一次函數(shù)y x 3與 y 2x 6的圖象的交點(diǎn)組成的集合；2）二次函數(shù)y x2 4 的函數(shù)值組成的集合；3）反比例函數(shù)解 ：（2）y 2 的自變量的值組成的集合.xyx31) ( x,y)| (1,4) .y 2x 6y|y x2 4 y|y 4 .解 ：化方程x2 a 1為：x2 x （a 2） 0 應(yīng)分以下三種情況：x2方程有等根且不是2 ：由 =0，得a 9 ，此時(shí)的解為x 1 ，合42方程有一解為2 ，而另一解不是2 ：將 x 2 代入得 a 2 ，此時(shí)另一解x 12 ，合方程有一解為2 ，而另一解不是2 ：將 x 2 代入得 a 2 ，此時(shí)另一解x 2 1 ，合綜上可知，A 9 ,2

5、, 2 4點(diǎn)評(píng) ：運(yùn)用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示. 注意分式方.第 2 講 1.1.2 集合間的基本關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)：1. 一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、 B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元包含 關(guān)系，其中集合A 是集合 B 的子集 （ subse）t ，記作 A B（或B A），讀作“A 含于B”（或“B 包含A”） .2. 如果集合A是集合 B的子集（A B），且集合B 是集合 A的子集（B A），A 與集合 B 的元素是一樣的，因此集合A 與集合 B 相等，記作A B.3. 如果集合A B，但存在元素x B，且 x A，則稱集合A是集合 B 的真子集proper

6、subset），記作A B（或B A） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty se），記作t，并規(guī)定空集是任何集合.5. 性質(zhì)： A A；若 A B， B C ，則 A C ；若 A B A，則 A B；若 A B A，則 B A.例題精講：【例 1】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：（ 1） 菱形 平行四邊形；等腰三角形等邊三角形.（ 2） x R| 2x 2 0； 00 ；0 ； N 0.解 ：（ 1），；（ 2） =，.B關(guān)2】設(shè)集合A x| x n ,n Z, B x| x n 1 ,n22A 解：BAABBC簡單列舉兩個(gè)集合的一些元素，Z ，則下列圖形能表示A 與AB系的是（）D3A ,2

7、11 ,21, 20 ,32 , 1， ,3, 2,B1222A，故答案選A另解 ：由 B x|x 2n 1,n Z ，易知B A，故答案選A2【例3】若集合M x|x2 x 6 0 ,N x|ax 1 0 ，且 N M ，求實(shí)數(shù)a的值 .：由 x2 x 6 0 x 2或3 ，因此，M 2, 3 .i ）若 a 0 時(shí)，得 N ，此時(shí)，N M ；ii)若 a 0時(shí)，得 N 1 . 若 N M ,滿足 1 2或 13，解得 a 1 或 a 1 .aaa23故所求實(shí)數(shù)a 的值為 0或 1 或 1 .23點(diǎn)評(píng) ： 在考察 “ A B ” 這一關(guān)系時(shí)，不要忘記 “” ， 因?yàn)?A 時(shí)存在 A B .

8、從而需要分情況討論. 題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進(jìn)行.【例4】已知集合A= a,a+b,a+2b， B=a,ax,ax2. 若 A=B，求實(shí)數(shù)x的值 .解 ：若 a b ax 2a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0 或 x=1.a 2b ax2當(dāng) a=0 時(shí)，集合B 中的元素均為0，故舍去；當(dāng) x=1 時(shí)，集合B 中的元素均相同，故舍去.2a b ax若a 2b ax2ax2-ax-a=0.a 0，所以2x2-x-1=0, 即 (x-1)(2x+1)=0. 又 x 1，所以只有x 1 .經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)A=B 成立 . 綜上所述x 1 .2點(diǎn)評(píng) ： 抓住集合相等的定義，分

9、情況進(jìn)行討論. 融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合.第 3 講 1.1.3 集合的基本運(yùn)算(一)知識(shí)要點(diǎn)：集合的基本運(yùn)算有三種，即交、并、補(bǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)先理解概念，并掌握符號(hào)等，再解 ：在數(shù)軸上表示出集合A、A B x|3 x 5，CU(A B) x|x1,或 x 9，【例 2】設(shè) A x Z | | x| 6，B，如右圖所示：A-1B 1,2,3 , C 3,4,5,6 ，求：結(jié)合解題的訓(xùn)練，而達(dá)到掌握的層次. 下面以表格的形式歸納三種基本運(yùn)算如下并集交集補(bǔ)集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧 的元素所組成的集合，稱為集合A與B 的并集(union set)由屬于集合A 且屬于集合 B 的元

10、素所組成的集合，稱為集合A 與 B 的交集(intersection set)對(duì)于集合A,由全集U 中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集( complementary se)t記號(hào)AB(讀作“A 并B”)AB(讀作“A 交B”)eU A(讀作“A的補(bǔ)集”)符號(hào)圖形 表示U：1】設(shè)集合U R,A x| 1 x 5, B x|3 x 9, 求 A B,eU (A B) .( 1) A (B C)；( 2)A eA(B C) .解 ： A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .( 1)又 B C 3 ， A (B C) 3 ；( 2)又B C 1

11、,2,3,4,5,6 ，得 CA(B C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .A CA(B C) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .3】 已知集合A x| 2 x 4， B x|x m ，且 A B A，求實(shí)數(shù)m 的取值范解 ：由 A B A，可得A B .在數(shù)軸上表示集合A 與集合B，如右圖所示：B A由圖形可知，m 4 .-24 m x點(diǎn)評(píng) ： 研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關(guān)系，得到各端點(diǎn)之間的關(guān)系，特別要注意是否含端點(diǎn)的問題.【例4】已知全集U x| x 10,且 x N* ， A 2,4,5,8 ， B 1,3,5,8 ，求CU(A B) ，CU(A B)，

12、 (CUA) (CUB)，(CU A) (CUB)，并比較它們的關(guān)系.解 ：由 A B 1,2,3,4,5,8 ，則 CU (A B) 6,7,9 .由 A B 5,8 ，則 CU (A B) 1,2,3,4,6,7,9由 CUA 1,3,6,7,9 ， CUB 2,4,6,7,9 ，則(CUA) (CU B) 6,7,9 ，(CU A) (CU B) 1,2,3,4,6,7,9 .由計(jì)算結(jié)果可以知道，(CUA) (CUB) CU(A B)，(CUA) (CUB) CU(A B) .另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.點(diǎn)評(píng) ： 可用 Venn圖研究(CUA) (CUB

13、) CU(A B)與(CU A)(CUB) CU(A B) ，在理解的基礎(chǔ)記住此結(jié)論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第 4 講 1.1.3 集合的基本運(yùn)算(二)知識(shí)要點(diǎn)：1. 含兩個(gè)集合的Venn圖有四個(gè)區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)著這兩個(gè)集合運(yùn)算的結(jié)果. 我們需通過 Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運(yùn)算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運(yùn)算通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：CU(A B) (CU A) (CUB) ,CU(A B) (CUA)(CUB) .2. 集合元素個(gè)數(shù)公式：n(A B) n(A) n(B) n(A B) .3. 在研究集合問題時(shí)，常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等. 也常由新

14、的定義考查創(chuàng)新思維.例題精講：【例 1】設(shè)集合A 4,2a 1,a2 ,B 9,a 5,1 a ，若 A B 9 ，求實(shí)數(shù)a的值 .解 ：由于 A 4,2a 1,a2 ,B 9,a 5,1 a ，且 A B 9 ，則有：當(dāng) 2a 1 9時(shí)， 解得a 5，此時(shí) A= 4, 9, 25， B=9, 0, 4，不合題意，故舍去；當(dāng) a 9 時(shí)，解得a 3或3 .a 3時(shí)，A= 4,5,9， B=9, 2, 2， 不合題意，故舍去；a3， A= 4, 7， 9， B=9, 8, 4 ，合題意.所以，a3 .【例2】設(shè)集合Ax|(x 3)(x a) 0,a R， B x|(x 4)(x 1) 0， 求

15、A B , A B .(教材P14B組題2)解：B1,4.當(dāng) a 3時(shí)， A 3 ，則 A B 1,3,4， A B ；當(dāng) a 1 時(shí)， A 1,3 ，則 A B 1,3,4， A B 1 ；當(dāng) a 4時(shí)，A 3,4 ，則 A B 1,3,4， A B 4；當(dāng) a 3且a 1且 a 4時(shí)， A 3,a，則 A B 1,3,4, a ， A B .點(diǎn)評(píng) ： 集合 A 含有參數(shù)a， 需要對(duì)參數(shù)a 進(jìn)行分情況討論. 羅列參數(shù)a 的各種情況時(shí)，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運(yùn)算結(jié)果的可能而進(jìn)行分析，不多不少是分類的原則.【例3】設(shè)集合A = x | x2 4x 0 ， B = x | x2 2(a 1)x a

16、2 1 0 ， a R ，若A B=B，求實(shí)數(shù)a的值解 ：先化簡集合A= 4,0 . 由 A B=B，則B A，可知集合B 可為 ，或?yàn)?0 ，或 4，或 4,0 .(i)若B= ，則4(a1)24(a2 1)0，解得 a1；(ii)若0 B，代入得a21 =0 a =1 或a =1 ，當(dāng) a =1 時(shí)，B=A，符合題意；當(dāng) a = 1 時(shí)， B=0A，也符合題意(iii )若4 B，代入得a2 8a 7 0 a =7 或 a =1，當(dāng) a =1 時(shí)，已經(jīng)討論，符合題意；當(dāng) a=7時(shí)， B= 12，4，不符合題意綜上可得，a=1 或 a1 點(diǎn)評(píng) ： 此題考查分類討論的思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)

17、用. 通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系，可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學(xué)中的化歸思想，是重要數(shù)學(xué)思想方法解該題時(shí)，特別容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是遺漏了A=B和 B= 的情形，從而造成錯(cuò)誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題.【例4】 對(duì)集合 A與B，若定義A B x|x A,且 x B，當(dāng)集合A x|x 8,x N*，集合 B x| x(x 2)(x 5)(x 6) 0時(shí)，有 A B=. (由教材P12 補(bǔ)集定義“集合A相對(duì)于全集U 的補(bǔ)集為CUA x|x ,且 x A ”而拓展)解 ：根據(jù)題意可知，A 1,2,3,4,5,6,7,8 ， B 0,2,5,6由定義 A B

18、x|x A,且 x B，則A B 1,3,4,7,8 .點(diǎn)評(píng) ： 運(yùn)用新定義解題是學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，關(guān)鍵是理解定義的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含義是從A 中排除 B 的元素 . 如果再給定全集U，則 A B也相當(dāng)于A (CUB) .第 5 講 1.2.1 函數(shù)的概念知識(shí)要點(diǎn)：4. 設(shè)A、 B 是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f ，使對(duì)于集合A 中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B 中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f ： A B 為從集合A到集合 B 的一個(gè)函數(shù)(function)，記作y= f(x)， x A其中，x叫自變量，x的取值范圍 A叫作定義域(domain)，與

19、 x的值對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f (x) | x A 叫值域(range) .5. 設(shè)a、 b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab，則：x|a x b a,b 叫閉區(qū)間；x|axb (a,b) 叫開區(qū)間； x|a xb a,b) ， x|a1，f(32 )=( 32 )3+( 32 )-3=2+ 1 =23】畫出下列函數(shù)的圖象：5 ，即 ff(0)= 5 .1)2)y | x 2|； (教材P26 練習(xí)題 3)y |x 1| |2x 4|.解 ：(所以，函數(shù)x2x21)由絕對(duì)值的概念，有y | x 2| x 2, x 22 x, x 2y |x 2|的圖象如右圖所示.所以，函數(shù)2)3x 3, x

20、1y | x 1| |2x 4 | x 5, 2 x 1 ，3x 3, x 2y |x 1| |2x 4 |的圖象如右圖所示.點(diǎn)評(píng) ： 含有絕對(duì)值的函數(shù)式，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對(duì)值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】 函數(shù) f (x) x的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如 3.54， 2.1 2，當(dāng) x ( 2.5,3 時(shí)，寫出f(x) 的解析式，并作出函數(shù)的圖象.3, 2.5 x 22, 2 x 11, 1 x 0解 ： f (x)0,0x11, 1 x 22,2x33, x3點(diǎn)評(píng) ： 解題關(guān)鍵是理解符號(hào). 函數(shù)圖象如右：m 的概

21、念，抓住分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)函數(shù)式.所以，體積V以 x為自變量的函數(shù)式是V x(a 2x)2，定義域?yàn)榈?7 講 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)要點(diǎn)：1. 增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1， x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)( increasingfunction) . 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間D 上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D 叫 f(x)的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的(如右圖1)，

22、減函數(shù)的圖象從左向右是下降的(如右圖2) . 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢(shì)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x1、 x 2 給定區(qū)間，且x1x2；計(jì)算f(x1) f(x2) 判斷符號(hào)下結(jié)論 .例題精講：【例 1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x) 2x 在區(qū)間(0， 1)上的單調(diào)性.x1解 ：任取x1,x2 (0,1)，且x1 x2 . 則f(x1) f (x2)2x1x112x22(x2 x1)x2 1 (x1 1)(x2 1)0x1x21 ，x11 0 ，x21 0 ，x2x10 ，故f (x1 )f (x2 )0 ，即f (x1 ) f (x2

23、) .所以，函數(shù)f(x) 2x 在(0， 1)上是減函數(shù).x1【例 2】求二次函數(shù)f(x) ax2 bx c (a 0)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性解 ：設(shè)任意x1 ,x2 R ，且x1 x2 . 則f (x1 ) f (x2 ) (ax12 bx1 c) (ax22 bx2 c) a(x12 x22) b(x1 x2) (x1 x2)a(x1 x2) b .若 a 0 ，當(dāng)x1x2b 時(shí)，有x1x20 ，x1x2b ，即a(x1x2 )b 0 ，從而2aaf (x1 ) f (x2 ) 0 ，即f (x1 ) f (x2 ) ，所以f (x) 在 (, b 上單調(diào)遞增. 同理可得f (x) 在2a b

24、 ,) 上單調(diào)遞減.2a【例 3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：( 1) y | x 1| | 2x 4 | ；(2)yx2 2 | x| 3.3x 3, x 1解 ：(1) y |x 1| |2x 4| x 5, 2 x 1，其圖象如右.3x 3, x 2由圖可知，函數(shù)在 2,)上是增函數(shù)，在( , 2 上是減函數(shù).2( 2) yx2 2|x| 3 x2 2x 3, x 0，其圖象如右.x 2x 3, x 0由圖可知，函數(shù)在( , 1、 0,1上是增函數(shù)，在 1,0、 1,) 上是減 函數(shù) .點(diǎn)評(píng) ： 函數(shù)式中含有絕對(duì)值，可以采用分零點(diǎn)討論去絕對(duì)值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù). 第 2 小題也可以由

25、偶函數(shù)的對(duì)稱性，先作y 軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對(duì)折到左側(cè)，得到f (| x |)的圖象 . 由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象 .第 8 講 1.3.1 函數(shù)最大(小)值知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義最大值：設(shè)函數(shù)y f (x) 的定義域?yàn)镮 ，如果存在實(shí)數(shù)M 滿足：對(duì)于任意的x I，都有 f(x) M；存在x0 I，使得 f (x0) = M. 那么，稱M 是函數(shù) y f(x)的最大值( Maximum Value) . 仿照最大值定義，可以給出最小值(Minimum Value)的定義.2. 配方法：研究二次函數(shù)y ax2 bx c (a 0) 的最大(小)值，先配方成22y a(

26、x b )2 4ac b 后，當(dāng) a 0時(shí)，函數(shù)取最小值為4ac b ；當(dāng) a 0時(shí)，函數(shù)取最2a 4a4a大值 4ac b .4a3. 單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4. 圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.例題精講：【例1】求函數(shù)y 2 6 的最大值.x x1解 ：配方為y 6 ，由 (x 1 )2 3 3 ，得 068 .(x 1)2 324 4(x 1)2 32424所以函數(shù)的最大值為8.【例2】 某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8 元的商品按每件10 元售出時(shí)，每天可售出100件

27、 . 現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價(jià)1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤.解 ：設(shè)他將售出價(jià)定為x元，則提高了(x 10)元，減少了10 (x 10)件，所賺得的利潤為y (x 8) 100 10 (x 10) .即 y10x2 280x 160010(x 14)2 360. 當(dāng) x 14時(shí)，ymax 360.所以，他將售出價(jià)定為14 元時(shí)，才能使每天所賺得的利潤最大, 最大利潤為360元.【例3】求函數(shù)y 2x x 1 的最小值.解 ：此函數(shù)的定義域?yàn)?, ，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當(dāng) x 1 時(shí)， ymin 21 1 2 ，函數(shù)的最小值為2.點(diǎn)評(píng) ： 形如 y ax b cx d 的函數(shù)最大值或最小值，可以用單調(diào)性法研究，也可以用換元法研究.【另解】令x 1 t，則 t 0， x t2 1 ，所以y2t2 t 2 2(t 1)2 15 ，在 t 0時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)t 0時(shí)，ymin2，48故函數(shù)的最小值為2.【例4】求下列函數(shù)的最大值和最小值：2531） y 3 2x x , x , ；（ 2）y |x 1| |x 2|.22解 ：(1)二次函數(shù)y 3 2x x2的對(duì)稱軸為x2ax 1.ymin畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)x 1 時(shí)， ymax 4； 當(dāng) x 3 時(shí)，2