行列式(2)(3)

1、 二階和三階行列式是由解二元和三元線(xiàn)性方二階和三階行列式是由解二元和三元線(xiàn)性方程組引入的程組引入的. .它們都是代數(shù)式。它們都是代數(shù)式。對(duì)角線(xiàn)法則對(duì)角線(xiàn)法則二階與三階行列式的計(jì)算二階與三階行列式的計(jì)算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa回顧11112112212212122aaa aa aaa(12)(21)11221221( 1)( 1)a aa a 1.31.3 n n 階行列式的定階行列式的定義義觀(guān)察二階行列

2、式和三階行列式觀(guān)察二階行列式和三階行列式: :2 二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個(gè)二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個(gè)元素乘積的代數(shù)和元素乘積的代數(shù)和. . 兩個(gè)元素的乘積可以表示為兩個(gè)元素的乘積可以表示為1212jja aj1j2為為2級(jí)排列級(jí)排列, , 當(dāng)當(dāng)j1j2取遍了取遍了2級(jí)排列級(jí)排列(12, 21)時(shí)時(shí), , 即得到二階行列式的所有項(xiàng)即得到二階行列式的所有項(xiàng)( (不包含符號(hào)不包含符號(hào)), ), 共共為為2!=2項(xiàng)項(xiàng). .3數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)取取負(fù)負(fù)號(hào)號(hào)。為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)取取正正號(hào)號(hào)，為為奇奇當(dāng)當(dāng))(21jj 4,3122133321123223113221133123123322

3、11aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa說(shuō)明說(shuō)明（1 1）三階行列式共有）三階行列式共有6 6項(xiàng)，即項(xiàng)，即3!3!項(xiàng)項(xiàng)（2 2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的 乘積乘積（3 3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa3121 12, 322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為1321 01, 偶排列偶排列奇排列奇排列,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) 5(123)(231)(312)11223312233

4、1132132( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a (321)(132)(213)132231112332122133( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a 1 2 3123()123( 1)j j jjjja aa6333231232221131211aaaaaaaaa每一項(xiàng)的符號(hào)是每一項(xiàng)的符號(hào)是, , 當(dāng)這一項(xiàng)中元素的當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)行標(biāo)按按自然自然數(shù)順序數(shù)順序排列后排列后, , 如果如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是構(gòu)成的排列是偶偶排列排列則取則取正號(hào)正號(hào), , 是是奇排列奇排列則取則取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào). . 如在上述二如在上述二階行列式中階行列式中, ,

5、 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)取正號(hào)為偶數(shù)時(shí)取正號(hào), , 為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào)時(shí)取負(fù)號(hào); ; 在上述三階行列式中在上述三階行列式中, , 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)取正號(hào)為偶數(shù)時(shí)取正號(hào), , 為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào)為奇數(shù)時(shí)取負(fù)號(hào). .根據(jù)這個(gè)規(guī)律根據(jù)這個(gè)規(guī)律, , 可給出可給出4 4階行列式的定義：階行列式的定義：四階行列式共有四階行列式共有2424項(xiàng)，即項(xiàng)，即4!4!項(xiàng)項(xiàng) 每項(xiàng)都是位于不同行不同列的四個(gè)元素的乘每項(xiàng)都是位于不同行不同列的四個(gè)元素的乘積積(3)(3)每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的四每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的四個(gè)元素的下標(biāo)排列個(gè)元素的下標(biāo)排列( (見(jiàn)表見(jiàn)表) )7),(21jj ),(321j

6、jj 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa1 2 3 41234()1234( 1)j j j jjjjja aaa89(1324)(1342)1123324411233442( 1)( 1)NNa a a aa a a a (1234)(1243)1122334411223443( 1)( 1)NNa a a aa a a a (1423)(1432)1124324311243342( 1)( 1)NNa a a aa a a a (2134)(2143)1221334412213443( 1)( 1)NNa a a aa a a

7、 a (2314)(2341)1223314412233441( 1)( 1)NNa a a aa a a a (2413)(2431)1224314312243341( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3124)(3142)1321324413213442( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3214)(3241)1322314413223441( 1)( 1)NNa a a aa a a a (3412)(3421)1324314213243241( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4123)(4132)1421324314213342( 1)

8、( 1)NNa a a aa a a a (4213)(4231)1422314314223341( 1)( 1)NNa a a aa a a a (4312)(4321)1423314214233241( 1)( 1)NNa a a aa a a a 定義定義 用用n2個(gè)元素個(gè)元素aij(i,j=1,2,n)組成的記號(hào)組成的記號(hào)111212122212nnnnnnaaaaaaaaa稱(chēng)為稱(chēng)為n階行列式階行列式, , 其中其中橫排橫排稱(chēng)為稱(chēng)為行行, , 縱排縱排稱(chēng)為稱(chēng)為列列. . 它表示所有可能取自它表示所有可能取自不同的行不同的列不同的行不同的列的的n n個(gè)元素乘積的個(gè)元素乘積的代數(shù)和代數(shù)和,

9、 , 各項(xiàng)符號(hào)是各項(xiàng)符號(hào)是: (: (接后接后) )10由此由此, , 可給出可給出n階行列式的定義：階行列式的定義： 當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后, , 如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào)如果對(duì)應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號(hào), , 是是奇排列則取負(fù)號(hào)奇排列則取負(fù)號(hào). . 因此因此, , n階行列式所表示的代數(shù)階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項(xiàng)可以寫(xiě)為和中的一般項(xiàng)可以寫(xiě)為: :1 212()12( 1)nnj jjjjnja aa(1.3) 其中其中 j1j2jn 構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)n級(jí)排列級(jí)排列, , 當(dāng)取遍所有當(dāng)取遍所有n級(jí)排列時(shí)級(jí)排列

10、時(shí), , 則得到則得到n階行列式表示的代數(shù)和中所有階行列式表示的代數(shù)和中所有的項(xiàng)的項(xiàng). .即：即：11 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1( 一階行列式一階行列式|a|就是就是a. .行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為|aij|由定理可知由定理可知: : n階行列式共有階行列式共有n!項(xiàng)項(xiàng), , 且冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)且冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)( (不不算元素本身所帶的負(fù)號(hào)算元素本身所帶的負(fù)號(hào)) )各占一半各占一半. .12說(shuō)明說(shuō)明1. 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)

11、數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的，要注意它的組的需要而定義的，要注意它的行數(shù)行數(shù)等于等于列數(shù)列數(shù); ;2. n階行列式是階行列式是n!項(xiàng)的項(xiàng)的代數(shù)和代數(shù)和; ;3. n階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列不同列n個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積; ;4. 一階行列式一階行列式|a|=a不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆; ;13.)1( 5.)(212121nnjjjnjjjaaa 的符號(hào)為的符號(hào)為例如, 四階行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa所

12、表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng).例如, a11a22a33a44項(xiàng)取正號(hào), a14a23a31a42項(xiàng)取負(fù)號(hào), 而a11a24a33a44不是D的一項(xiàng).14若若 j1 4 a1j1=0，所以所以 j1只能等于只能等于4, , 例例1 1計(jì)算行列式計(jì)算行列式0004003002001000分析分析解解: :展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是 a1j1a2j2a3j3a4j4同理可得同理可得2343,2,1jjj150004003002001000432111 2 3 4 .24 即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314例例2 2計(jì)算計(jì)算 上三角行列式上三角行

13、列式nnnnaaaaaa0002221121116分析分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是1212.njjnja aa,njn11,njn3213,2,1,njnjj所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211(123)1122( 1).nnna aa 解解: :.2211nnaaa17例例3 3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 18同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 1

14、9n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明證明行列式行列式20n 2112112,111n nnnna aa .12121nnn 證明證明: : 第一式是顯然的第一式是顯然的, ,下面證第二式下面證第二式. .若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢21 上上( (下下) )三角形行列式及對(duì)角形行列式的值三角形行列式及對(duì)角形行列式的值, , 均等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積均等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積. .這一結(jié)論在以這一結(jié)論在以后行列式計(jì)算中可直接應(yīng)用后行列式計(jì)算中可直接應(yīng)用. .這些結(jié)論應(yīng)該記住，記憶是非常重要的。這些結(jié)論應(yīng)該

15、記住，記憶是非常重要的。 由行列式的定義不難得出由行列式的定義不難得出: : 一個(gè)一個(gè)行列式若有一行行列式若有一行( (或一列或一列) )中的元素皆中的元素皆為零為零, , 則此行列式必為零則此行列式必為零. .22例例5 5 用行列式定義計(jì)算行列式用行列式定義計(jì)算行列式0101101001000011解解: : 第第3行只能取第行只能取第2列列, , 第第1行就只能取第行就只能取第4列列, , 第第4行只能取第行只能取第3列列, , 第第2行只能取第行只能取第1列，所以，列，所以，(4123)=3, , 因此行列式取值因此行列式取值-1. .23 1. 1. 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排

16、列改一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性變奇偶性2.2.行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法小結(jié)24 nnnjjjnjjjjjjaaaD21212121)()1( nnniiiniiiiiiaaaD21212121)()1( nnnnjijijijjjiiiaaaD22112121)()()1( 已知已知 1211123111211xxxxxf 求求x3的系數(shù)的系數(shù). .25思考題解答思考題解答解解: :含含x3的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng), ,即即 1211123111211xxxxxf 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于1243112234431a a a a (1234)112233441a a a a2

17、6(1234)3112233441,a a a ax124331122344312a a a ax 故故x3的系數(shù)為的系數(shù)為-1. .27表1-1返回28返回29返回30當(dāng)當(dāng)n 4時(shí)時(shí), , 用定義計(jì)算用定義計(jì)算n階行列式將是十階行列式將是十分復(fù)雜甚至是不可能的分復(fù)雜甚至是不可能的. . 下面將討論行下面將討論行列式的性質(zhì)列式的性質(zhì), , 并用這些性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化行列并用這些性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算式的計(jì)算. .( (證明不重要證明不重要, , 但必須記住以下所述的性質(zhì)但必須記住以下所述的性質(zhì)及其推論并用它們來(lái)計(jì)算行列式及其推論并用它們來(lái)計(jì)算行列式) ) 1.4 n 階行列式的性質(zhì)及計(jì)算31一、行列式

18、的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式行列式DT稱(chēng)為行列式稱(chēng)為行列式D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. .即把行列式即把行列式D中的中的行與列按原順序互換行與列按原順序互換( (第第1行換成行換成第第1列列, ,第第2行換成第行換成第2列列,，以此類(lèi)推，直到最后，以此類(lèi)推，直到最后一行）以后得到的行列式，稱(chēng)為一行）以后得到的行列式，稱(chēng)為D的轉(zhuǎn)置行列式，的轉(zhuǎn)置行列式，也可記為也可記為D . . 記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa221132 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .如如D 123456789則則D

19、123456789如如1112131411213141212223241222324231323334132333434142434414243444aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa33 TD證明：證明：的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式記記 D=,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,1,2,ijjibai jn即按定義按定義 又因?yàn)樾辛惺接忠驗(yàn)樾辛惺紻可表示為：可表示為：ija故故.TDD 證畢證畢34 njjjjjjnjjjjjjTnnnnaaabbbD21)(21)(21212121)1()1( njjjjjjnnaaaD21)(2121)

20、1( 互換互換行列式的兩行（列）行列式的兩行（列）, ,行列式行列式變號(hào)變號(hào). .設(shè)行列式設(shè)行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 說(shuō)明說(shuō)明 行列式中行列式中行行與與列列具有具有同等的地位同等的地位, ,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)式的性質(zhì)凡是對(duì)行行成立的對(duì)成立的對(duì)列列也同樣成立也同樣成立. .是由行列式是由行列式 變換變換 兩行得到的兩行得到的, ,ijDaji,即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí), ,jik, ;kpkpab 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,jik, ,ipjpjpipabab 35于是于是1111ijnpipjpnpDbbbb其中不計(jì)符號(hào)，任取其中一項(xiàng)36,)1()(1njip

21、ppp)(1njipppp,11njinpjpippbbbb它是來(lái)自 的不同行不同列 個(gè)元素的乘積，因?yàn)?和 只是互換兩行的元素，所以這一項(xiàng)也是 的一項(xiàng)，反之亦然.該項(xiàng)在 中的符號(hào)為 而在中的符號(hào)為,)1()(1nijpppp由定理可知這兩個(gè)符號(hào)相反，由于該項(xiàng)選取的任意性可知：1Dn1DDD1DD.1DD證畢證畢,) 1(11njinpipjppaaaa又如又如,571-571266853.825-825361567567361266853注：注：1.1.以后用記號(hào)以后用記號(hào)rirj表示第表示第i行和第行和第j行對(duì)換；行對(duì)換；而用記號(hào)而用記號(hào)cicj表示第表示第i列和第列和第j列對(duì)換。列對(duì)換。

22、這里這里r是英文是英文row( (行）的第一個(gè)字母；行）的第一個(gè)字母；而而c是英文是英文column( (列）的第一個(gè)字母。列）的第一個(gè)字母。 2. 2.以后遇到以后遇到互換兩行或兩列互換兩行或兩列要記得要記得行列式變號(hào)行列式變號(hào)。23rr12cc例如例如34256 5623437說(shuō)明：說(shuō)明：某些教材中兩行某些教材中兩行( (或兩列或兩列) )互換用箭號(hào)表示，互換用箭號(hào)表示，如上例中如上例中,571-571266853.825-82536156756736126685338例：求行列式例：求行列式1000002000000400030000005的值。的值。解：解：10000020000004

23、0003000000543rr-10000020000030000040000055!120 此為對(duì)角形行列式。此為對(duì)角形行列式。對(duì)角形行列式的值等對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的于主對(duì)角線(xiàn)上元素的乘積乘積39推論推論 如果行列式有如果行列式有兩行（列）兩行（列）完全相同完全相同，則，則此行列式為此行列式為零零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 . 0 D,DD 所謂所謂兩行兩行( (或列或列) )相同相同指的是指的是兩行兩行( (或列或列) )元素對(duì)應(yīng)都相等元素對(duì)應(yīng)都相等如如11111314212123243131333441414344aaaaaaaaaaaaaaaa0

24、1111212131314141aaaaaaaa11121314212223242122232441424344aaaaaaaaaaaaaaaa21222324aaaa21222324aaaa040 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式. .nnnniniinaaakakakaaaa212111211注：以后用注：以后用kri表示表示k乘第乘第i行；行；而用而用kci表示表示k乘第乘第i列。列。111211212niiinnnnnaaaaaaaaakkkk41行列式的行列式的某一行某一行（列）中所有

25、元素的公（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面因子可以提到行列式符號(hào)的外面例如例如21 r1320111232 第第 i 行（或列）提出公因子行（或列）提出公因子 k ，記作，記作 rik(cik)。132011246 312321642 21 r1232 123213042推論推論2 2行列式中如果有行列式中如果有兩行兩行（列列）元素）元素成比例成比例，則此則此行列式為零行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 43如如1111131421212

26、3243131333441414344akaaaakaaaakaaaakaaa01111212131314141akaakaakaaka11121314212223242122232441424344aaaalalalalaaaaaaaaa21222324lalalala21222324aaaa0又如又如1245233566373612154934353503314578313115584753501412541683000040123010044問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如果行列式有兩行或兩行以上的行都有公因如果行列式有兩行或兩行以上的行都有公因子，那么按子，那么按性質(zhì)性質(zhì)3 3推論推論1 1應(yīng)如何應(yīng)如何

27、??？??？ 答案：答案：按順序?qū)⒐蜃犹岢觯绨错樞驅(qū)⒐蜃犹岢?，?1111222233334444abcdabcdabcdkakbkckd1111222233334444abcdabcdabcdkakbkckd1111222233334444abcdabcdkabcdabcd行列式的行列式的某一行某一行（列）（列）中所有元素的公因子可中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外以提到行列式符號(hào)的外面面45例 計(jì)算行列式2413635104D解解: : 因?yàn)榈谝涣信c第二列對(duì)應(yīng)元素成比例因?yàn)榈谝涣信c第二列對(duì)應(yīng)元素成比例, ,根據(jù)根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)3 3的推論的推論2 224136305104D行列式中如果

28、有行列式中如果有兩行兩行（列列）元素）元素成比例成比例，則此，則此行行列式為零列式為零得得46例 若四階行列式 D4 = |aij|=m, ,則則D= |3aij|=?分析：分析：D4 = |aij|11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa111213142122232431323334414243443333333333333333aaaaaaaaaaaaaaaaD= |3aij|解：解：根據(jù)根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)3 3的推論的推論1 1從行從行( (或列或列) )看，每行看，每行( (或每列或每列) )都存在公因子都存在公因子3 3，因此可以分

29、別提出來(lái)，共有，因此可以分別提出來(lái)，共有4 4個(gè)因子個(gè)因子3 3。D= |3aij|=34 |aij|=81m行列式的行列式的某一行某一行（列）（列）中所有元素的公因子可中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外以提到行列式符號(hào)的外面面得得47特別地，若 階行列式48ijaD 則DkkaDnij1n性質(zhì)性質(zhì)4 4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：nnninnininnninniniaaa

30、aaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如49由行列式定義由行列式定義, , 性質(zhì)性質(zhì)4顯然成立顯然成立. . 此性此性質(zhì)說(shuō)明行列式中某一行質(zhì)說(shuō)明行列式中某一行( (列列) )的元素均是的元素均是兩數(shù)之和時(shí)兩數(shù)之和時(shí), , 該行列式就可按此行該行列式就可按此行( (列列) )拆成兩個(gè)行列式之和拆成兩個(gè)行列式之和. .例如例如axbycdadbcxdcyabxycdcd50又如又如wdzcybxa .wzyxdzbxwcyadcba wdzybxwdcyba 51例例 如果三如果三階行列式D3 = |aij|=m, ,求行列式求行列式D的值：的值：111112

31、132121222331313233aaaaDaaaaaaaa解：解：D 111113111213212123212223313133313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa性質(zhì)性質(zhì)4 40111213212223313233aaaaaaaaa第一行和第一行和第二行相第二行相同同, ,據(jù)性質(zhì)據(jù)性質(zhì)2推論，此推論，此行列式為行列式為0第二列存在公因第二列存在公因子子(-1), ,據(jù)性質(zhì)據(jù)性質(zhì)3推論推論2，可以把，可以把(-1)提出來(lái)提出來(lái)m 注：注：此例說(shuō)明了在計(jì)算行列式時(shí)，性質(zhì)的運(yùn)用不是孤立的。此例說(shuō)明了在計(jì)算行列式時(shí)，性質(zhì)的運(yùn)用不是孤立的。52推論推論 如果將行列式某一行如果將行列式

32、某一行( (列列) )的每個(gè)元的每個(gè)元素都寫(xiě)成素都寫(xiě)成m m個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)( (m m為大于為大于2 2的整數(shù)的整數(shù)) )的和的和, , 則則此行列式可以寫(xiě)成此行列式可以寫(xiě)成m m個(gè)行列式的和個(gè)行列式的和. .例例axvbyucdadbcxdcyvdcuabxyvucdcdcd53性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以乘以同一數(shù)同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的元素上去，對(duì)應(yīng)的元素上去，行行列式值不變列式值不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnn

33、injnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如54注：以后用注：以后用rj+kri表示用比例表示用比例k乘第乘第i行的各個(gè)元素行的各個(gè)元素并加到第并加到第j行的相應(yīng)元素上行的相應(yīng)元素上( (特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=-1時(shí)表示時(shí)表示rj - ri ，而，而k=+1時(shí)表示時(shí)表示rj + ri ) )； 而用而用cj+kci比例比例k乘第乘第i列的各個(gè)元素并加到第列的各個(gè)元素并加到第j列的相應(yīng)元素上。列的相應(yīng)元素上。 ( (特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)k=-1時(shí)表示時(shí)表示cj - ci ，而而k=+1時(shí)表示時(shí)表示cj + ci ) )例如例如dbdcba 12rrdbca又如又如458

34、892046889201910001921cc458892010000019100000458890100000從此例說(shuō)明從此例說(shuō)明運(yùn)用行運(yùn)用行列式的性質(zhì)可以簡(jiǎn)列式的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算化行列式的計(jì)算55復(fù)習(xí) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 互換互換行列式的兩行（列）行列式的兩行（列）, ,行列式行列式變號(hào)變號(hào). .推論推論 如果行列式有如果行列式有兩行（列）兩行（列）完全相同完全相同，則此，則此行列式為行列式為零零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式. .

35、行列式的行列式的某一行某一行（列）中所有元素的公因（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面推論推論2 2 行列式中如果有行列式中如果有兩行兩行（列列）元素）元素成比例成比例，則此則此行列式為零行列式為零56復(fù)習(xí)性質(zhì)性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和, ,則則D可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式之和可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式之和. .性質(zhì)性質(zhì)5把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以乘以同一數(shù)同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的元素上去，對(duì)應(yīng)的元素上去，行行列式值不變列式值不變推論推論 如果

36、將行列式某一行如果將行列式某一行( (列列) )的每個(gè)元素都寫(xiě)的每個(gè)元素都寫(xiě)成成m個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)( (m為大于為大于2的整數(shù)的整數(shù)) )的和的和, , 則此行列式可則此行列式可以寫(xiě)成以寫(xiě)成m個(gè)行列式的和個(gè)行列式的和. .57 我們知道我們知道三角形行列式的值就等于主對(duì)角三角形行列式的值就等于主對(duì)角線(xiàn)上的各元素乘積線(xiàn)上的各元素乘積。11121222000nnnnaaaaaa1122nna aa 因此，計(jì)算一般的行列式時(shí)因此，計(jì)算一般的行列式時(shí), , 常多次運(yùn)用行常多次運(yùn)用行列式的性質(zhì)列式的性質(zhì), , 把它把它化為三角形行列式來(lái)計(jì)算化為三角形行列式來(lái)計(jì)算. .11212212300000nnnnnaaa

37、aaaa 1122nna aa58(1)1233213rr12031 ( 3)3 (2)021312rr13021 22 具體如何操作呢？我們先來(lái)看幾個(gè)二階和三具體如何操作呢？我們先來(lái)看幾個(gè)二階和三階行列式化為上三角行列式的例子。階行列式化為上三角行列式的例子。第一列第一個(gè)元素為第一列第一個(gè)元素為0，可以運(yùn)用，可以運(yùn)用性質(zhì)性質(zhì)2進(jìn)進(jìn)行換行。行換行?；Q互換行列式行列式的兩（列）的兩（列）, ,行列式行列式變號(hào)變號(hào). .性質(zhì)性質(zhì)5 5：把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的元素上去，元素上去，行列式

38、值不變行列式值不變59110011121D31rr01100111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 注意第一行第一列注意第一行第一列元素非元素非0 0，不用換行，不用換行(3)60011110121D注意第一行第一列元素為注意第一行第一列元素為0 0(4)由于第一列第一個(gè)元素為0，因此必須換行，可以與第二行換也可以與第三行換，得到的結(jié)果將是相同的.我們分別計(jì)算如下：61法法1 112rr11001112131rr01100111132rr1100110021 ( 1) ( 2)2 011110121D62法法2 213rr21rr01210111132rr110011002

39、1 ( 1) ( 2)2 011110121D121110011答案與法答案與法1 1同！同！63注：注： 1.由于r2與r3的第一個(gè)元素均為非0，因此不管r1與哪行換均是可以的；但是有時(shí)候要注意換上去的行的數(shù)字要盡量簡(jiǎn)單點(diǎn)，盡量換上含數(shù)字絕對(duì)值較小的但又沒(méi)有出現(xiàn)分?jǐn)?shù)的;2.換行時(shí)要變號(hào).64 總結(jié)以上各例，我們得出一般行列式化總結(jié)以上各例，我們得出一般行列式化為為上三角形行列式上三角形行列式的步驟是的步驟是: : 然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行, , 使第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為使第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0 如果第一列第一個(gè)元素

40、為如果第一列第一個(gè)元素為0, , 先將第一行與其先將第一行與其它行交換它行交換, , 使第一列的第一個(gè)元素不為使第一列的第一個(gè)元素不為0（換行換行時(shí)，注意行列式外加一個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，注意行列式外加一個(gè)負(fù)號(hào)）; ;（性質(zhì)性質(zhì)2 2：rirj）（性質(zhì)性質(zhì)5 5: : rj+kri）互換互換行列式的兩行列式的兩（列）（列）, ,行列式行列式變號(hào)變號(hào). .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對(duì)對(duì)應(yīng)的元素上去，應(yīng)的元素上去，行列式值不變行列式值不變65再用同樣的方法處理除去第一行和再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下

41、的低一階行列式第一列后余下的低一階行列式; ; 依次作依次作下下去去, , 直至它成為上三角形行列式直至它成為上三角形行列式, , 這時(shí)這時(shí)主主對(duì)角線(xiàn)上的元素的乘積就是行列式的值對(duì)角線(xiàn)上的元素的乘積就是行列式的值. .注：注：如果第一列第一個(gè)元素不為如果第一列第一個(gè)元素不為0 0，就，就不用換行；在考查低一階行列式的時(shí)候不用換行；在考查低一階行列式的時(shí)候方法同上，也要對(duì)第一列第一個(gè)元素為方法同上，也要對(duì)第一列第一個(gè)元素為0 0的行進(jìn)行換行的行進(jìn)行換行, ,方法與以上同。方法與以上同。66例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式0112110212102110D注意第一行第一列元素為067解解: :01121

42、10212102110D12rr110201121210211031412rrrr110201120112031432423rrrr1102011200240022681102011200240022D 43rr1102011200240002469 注意：也可把行列式化為下三角行列式來(lái)計(jì)注意：也可把行列式化為下三角行列式來(lái)計(jì)算。算。步驟是步驟是： 然后把第一列分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各列然后把第一列分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各列, , 使第一行除第一個(gè)元素外其余元素全為使第一行除第一個(gè)元素外其余元素全為0 ； 如果第一行第一個(gè)元素為如果第一行第一個(gè)元素為0, 0, 先將第一列與其先將第一列與其

43、它列交換它列交換, , 使第一行的第一個(gè)元素不為使第一行的第一個(gè)元素不為0 0( (換列時(shí)，換列時(shí)，注意行列式外加一個(gè)負(fù)號(hào)注意行列式外加一個(gè)負(fù)號(hào)）; ;（性質(zhì)性質(zhì)2： cicj ）（性質(zhì)性質(zhì)5: cj+kci）互換互換行列式的兩行列式的兩（列）（列）, ,行列式行列式變號(hào)變號(hào). .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同一數(shù)乘以同一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對(duì)對(duì)應(yīng)的元素上去，應(yīng)的元素上去，行列式值不變行列式值不變70再用同樣的方法處理除去第一行和第一再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式列后余下的低一階行列式; ; 依次作下去依次

44、作下去, , 直直至它成為下三角形行列式至它成為下三角形行列式, , 這時(shí)這時(shí)主對(duì)角線(xiàn)上主對(duì)角線(xiàn)上的元素的乘積就是行列式的值的元素的乘積就是行列式的值. .所有的行列式都可以化為上三角行列式所有的行列式都可以化為上三角行列式。因此，一般來(lái)說(shuō)，大部分行列式的計(jì)算都先因此，一般來(lái)說(shuō)，大部分行列式的計(jì)算都先化為上三角行列式。但是，有時(shí)候化為下三化為上三角行列式。但是，有時(shí)候化為下三角形行列式更為簡(jiǎn)便。角形行列式更為簡(jiǎn)便。下面利用化為下三角形行列式的方法來(lái)下面利用化為下三角形行列式的方法來(lái)處理上面計(jì)算過(guò)的一道三階行列式。處理上面計(jì)算過(guò)的一道三階行列式。其他階行列式類(lèi)同。其他階行列式類(lèi)同。7101111

45、0121D13cc11001112121cc10101101332cc0021010132 答案與前同！答案與前同！72并不是化為上三角行列式只能用行并不是化為上三角行列式只能用行變換，也并不是化為下三角行列式只能變換，也并不是化為下三角行列式只能用列變換。其實(shí)，不管化為上三角行列用列變換。其實(shí)，不管化為上三角行列式或下三角行列式，式或下三角行列式，行變換和列變換都行變換和列變換都可以結(jié)合進(jìn)行可以結(jié)合進(jìn)行。73例例 計(jì)算行列式：計(jì)算行列式： 2141312112325062分析：分析：雖然第一行第一列元素不為雖然第一行第一列元素不為0，但第一，但第一列元素的數(shù)值相對(duì)比較大，為了方便計(jì)列元素的數(shù)

46、值相對(duì)比較大，為了方便計(jì)算我們可以進(jìn)行換列算我們可以進(jìn)行換列( (或行或行) )。分析各行和。分析各行和各列的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)第二列的數(shù)值的絕對(duì)值各列的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)第二列的數(shù)值的絕對(duì)值相對(duì)小。因此用第二列與第一列進(jìn)行互換相對(duì)小。因此用第二列與第一列進(jìn)行互換后再進(jìn)行下一步計(jì)算。后再進(jìn)行下一步計(jì)算。74解：解： 214131211232506212cc124113212132056221312rrrr1241056203500562運(yùn)用上面化為上運(yùn)用上面化為上三角的方法來(lái)處三角的方法來(lái)處理低一階行列式理低一階行列式的時(shí)候出現(xiàn)了困的時(shí)候出現(xiàn)了困難難! ! 注意到第二行和第四行相同知注意到第二行和第四行相同知

47、該行列式值為該行列式值為0=0說(shuō)明：說(shuō)明： 計(jì)算行列式的時(shí)候，不管用什么方法來(lái)求解都要計(jì)算行列式的時(shí)候，不管用什么方法來(lái)求解都要注意各種方法的靈活運(yùn)用。注意各種方法的靈活運(yùn)用。75 前面化為上三角行列式或下三前面化為上三角行列式或下三角行列式只用到了角行列式只用到了性質(zhì)性質(zhì)2和和性質(zhì)性質(zhì)5。事實(shí)上，對(duì)于比較復(fù)雜的行列式僅用這事實(shí)上，對(duì)于比較復(fù)雜的行列式僅用這兩種方法是不夠的，需要結(jié)合利用行列兩種方法是不夠的，需要結(jié)合利用行列式的其他性質(zhì)。有些行列式的計(jì)算還需式的其他性質(zhì)。有些行列式的計(jì)算還需要結(jié)合利用一些技巧。下面，我們將簡(jiǎn)要結(jié)合利用一些技巧。下面，我們將簡(jiǎn)單地介紹這些技巧。單地介紹這些技巧?；Q互換行列式的兩（列）行列式的兩（列）, ,行列式行列式變號(hào)變號(hào). .把行列式的把行列式的某一列某一列（行）的各元素（行）的各元素乘以同乘以同一數(shù)一數(shù)然后加到然后加到另一列另一列( (行行) )對(duì)應(yīng)的元素上去，對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式值不變行列式值不變763222232222322223=D例例 計(jì)算計(jì)算9999232222322223D 11112322922322223法法1 1：分析：各列的元素之和為一定數(shù)。：分析：各列的元素之和為一定數(shù)。利用利用性性質(zhì)質(zhì)2推論推論第一行第一行有公因有公因子子9可以可以提到行提到行列式外。列式外。將將2,3,42,3,4行的元素全加到第一行對(duì)