2020年(新課改)數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)小測：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題

1、課時跟蹤檢測( (十九) )導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點問題31.設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f(x)= x + 3x + a.(1) 求 f(x)的極值；(2) 是否存在實數(shù) a,使得方程 f(x)= 0 恰好有兩個實數(shù)根？若存在，求出實數(shù)a 的值；若不存在，請說明理由.解：( (1)f (x)= 3x2+ 3,令 f (x)= 0，得 x = 1 或 x= 1.當 x (8, 1)時，f (x)V0 ;當 x ( 1,1)時，f (x) 0;當 x (1,+ g)時， f( (X)v0, f(x)在( (一g,1),(1,+g)上單調(diào)遞減，在( (一 1,1)上單調(diào)遞增. f(x)的極小值為 f( 1) =

2、 a 2,極大值為 f(1) = a+ 2.方程 f(x)= 0 恰好有兩個實數(shù)根，等價于直線 y= a 與函數(shù) y= x3 3x 的圖象有兩個交 點.=x3 3x,. y = 3x2 3.令 y 0,解得 x 1 或 xv1;令 yv0,解得1 XV1.y=x33x在( (一1,1)上為減函數(shù)， 在(1, +8)和( (一g,1)上為 增函數(shù).當 x= 1 時， y極大值= 2;當 x= 1 時， y極小值=2.二 y= x3 3x 的大致圖象如圖所示.y= a 表示平行于 x 軸的一條直線，由圖象知，當 a= 2 或 a= 2 時， y= a與 y= x3 3x 有兩個交點.故當 a =

3、2 或 a= 2 時，方程 f(x) = 0 恰好有兩個實數(shù)根.2. (2019 錦州聯(lián)考) )已知函數(shù) f(x)= ex+ ax a(a R 且 a0).(1)若函數(shù) f(x)在 x= 0 處取得極值，求實數(shù) a 的值，并求此時 f(x)在2,1上的最大值； 若函數(shù) f(x)不存在零點，求實數(shù) a 的取值范圍.解：(1)由 f(x)= ex+ ax a，得 f (x) = ex+ a.v函數(shù) f(x)在 x = 0 處取得極值， f (0) =e0+a = 0, a = 1. f(x) = ex x+ 1, f (x)= ex 1.二當 x ( g,0)時，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增

4、.易知 f(x) 在 2,0)上單調(diào)遞減，1在(0,1上單調(diào)遞增，且 f( 2) = -2+ 3, f(1) = e, f( 2) f(1),e1f(x)在-2,1上的最大值是+ 3.x(2)f (x) = e + a.當 a0 時，f (x)0, f(x)在 R 上單調(diào)遞增，且當 x 1 時，f(x)= ex+ a(x 1)0；-1當x0時，取x=-a，a 0,.函數(shù) f(x)存在零點，不滿足題意.當 a 0 時，令 f (x)= ex+ a= 0,貝 U x = ln( a).當 x (8,ln( - a)時，f (x) 0 , f(x)單調(diào)遞增，當 x = ln( a)時，f(x)取得極

5、小值，也是最小值.函數(shù) f(x)不存在零點，等價于 f(ln( a)= eln(a)+ aln( a) a= 2a+ aln( a)0, 解得e?vav0.綜上所述，所求實數(shù)a 的取值范圍是( (e1 20).1 13. (2018 鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測) )已知函數(shù) f(x) = ln x+ a( (a R 且 a 0).(1) 討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性；(2) 當 x 2 e 時，試判斷函數(shù) g(x)= (ln x 1)ex+ x m 的零點個數(shù).解：( (1)f( (x)=?;0(x0),ax當 av0 時，f (x)0 恒成立，函數(shù) f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增；ax 11當 a0

6、 時，由 f (x)= -7-0，得 x-,axaax1/口1由 f (x)=Tv0,得 0vXV：,axa函數(shù) f(x)在 a+上單調(diào)遞增，在 0, a 上單調(diào)遞減.綜上所述，當 av0 時，函數(shù) f(x)在(0, +)上單調(diào)遞增;1由(1)知當 a= 1 時，f(x)= ln x+ - 1 在時，函數(shù) g(x)= (ln x 1)ex+ x m 的零點個數(shù)，等價于方程(ln x 1)ex+ x= m 的根的個數(shù).令 h(x)= (ln x 1)ex+ x,11 上單調(diào)遞減，在( (1, e)上單調(diào)遞增,:當 x :, e 時，f(x) f(1) = 0.:.h (x)= 1 + ln x

7、1 ex+ 1 0+ 10,當 a 0 時，函數(shù) f(x)在1,+上單調(diào)遞增，在 0, a 上單調(diào)遞減.則 h (x) =ln x 1 ex+ 1.當 x ee1 1+ln x10在x恒成 h(x) = (ln x 1)ex+ x 在 x1一，e-e單調(diào)遞增,h(x)min= h e = 2ee+ e，11 .當 m e 時，函數(shù) ei當2ee+一一wmwe 時， 函數(shù) g(x)在 ，e上有一個零點.2 _4. (2019 益陽、湘潭調(diào)研) )已知函數(shù) f(x)= ln x ax + x, a R.(1)當 a= 0 時，求曲線 y= f(x)在點(e, f(e)處的切線方程;討論 f(x)的

8、單調(diào)性；若 f(x)有兩個零點，求 a 的取值范圍.11解：( (1)當 a= 0 時，f(x)= ln x+ x, f(e)= e+ 1, f (x)=一一+ 1, f (e)= 1 + 一，曲線 yxe=f(x)在點(e, f(e)處的切線方程為 y (e+ 1) = 1 +一一( (x e),即卩 y=一匚In x+ x(3)函數(shù) f(x)有兩個零點，等價于方程 a = X3有兩解.入ln x + x1 2ln x x令g(x)= (x0),則 g (x)=.作出函數(shù) g(x)的大致圖象如圖，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢猜想：當 a (0,1)時符合題意h(x)max=h(e)=e g(x)在 e 上沒有零(2)f (x)=2ax1 2+ x+ 1(x 0),當aw0 時，顯然當 a 0時，令f (x)0, f(x)在(0, + g)上單調(diào)遞增；2ax?+ x+ 12口 “t 一亠、(x)= 0，則2ax2+ x+ 1 = 0，易知 0 恒成立.設(shè)方程1X1, X2( (X1 X2),貝 U X1X2= 2a 0， X1 0 0).1_%i8a -+ 1由 f (x) 0 得 X (0, X2),由 f (x) 1 時，a g(x)max,方程至多一解，不符合題意；當 aw0 時，方程至多一解，不符合題意；方程在 g 1與l,2/上各有一個根，1 2ln