空間向量的正交分解

1、3.1.43.1.4空間向量的正交分空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示解及其坐標(biāo)表示。，使，實(shí)數(shù)對共面的充要條件是存在與向量不共線，則向量如果兩個向量byaxpyx,p,baba共線向量定理共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 對空間任意兩個向量 、 （），的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 。有向量的一組基底。）叫做表示這一平面內(nèi)所、（。，使，一對實(shí)數(shù)，有且只有任一向量那么對于這一平面內(nèi)的共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyoaijaxiy j(1,0),(0

2、,1),0(0,0).ij問題：問題：p 我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以都可以用兩個不共線的向量用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空間兩是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一兩垂直的向量，那么，對空間任一向量向量 ，存在一個有序?qū)崝?shù)組，存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在

3、 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 探究：探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量在空間中，如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量代替兩兩垂直的向量 ，能得出類似的，能得出類似的 結(jié)論：結(jié)論：, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底?？臻g向量基本定理：空間向量基本定理： 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c （1

4、）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特別提示：特別提示：對于基底對于基底a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b,c不共面，不共面， 還應(yīng)明確：還應(yīng)明確： （2） 由于可視由于可視 為與任意一個向量共線，與任意兩為與任意一個向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是都不是 。00（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)連的不同概念。底中的某一個向量，二者是相關(guān)連的不同概念。一、空間直角坐標(biāo)

5、系一、空間直角坐標(biāo)系 單位正交基底：單位正交基底：如果空間的一個基底的如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個，則這個基底叫做基底叫做單位正交基底單位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示 空間直角坐標(biāo)系：空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn)O和一和一個單位正交基底個單位正交基底 e1,e2,e3 ,以點(diǎn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別為原點(diǎn)，分別以以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y軸、軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系O-xy

6、z 點(diǎn)點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量叫做原點(diǎn)，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐標(biāo)向坐標(biāo)向量量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面。 給定一個空間坐標(biāo)系和向給定一個空間坐標(biāo)系和向量量 ,且設(shè)且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組一的有序?qū)崝?shù)組(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序數(shù)組有序數(shù)組( x, y, z)叫做叫做p在空間在空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，中的坐標(biāo)，記作記作.P=(x,y,z)二、空間向量的直角坐標(biāo)系二、空間向量的直角坐標(biāo)系pxyzOe1e2e3p

7、在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對空間任一點(diǎn)中，對空間任一點(diǎn)A,對應(yīng)一個向量對應(yīng)一個向量OA，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組組x,y,z，使，使 OA=x e1+y e2+z e3 在單位正交基底在單位正交基底e1, e2, e3中與向量中與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組組(x,y,z)，叫做點(diǎn)，叫做點(diǎn)A在此空間在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中，其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的橫的橫坐標(biāo)，坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo).xyzOA(x,y,z)e1e2e3練習(xí)：練習(xí)：1、在空間坐標(biāo)系、在空間坐標(biāo)系o-xyz中，中， ( 分分別是與別是與x軸、軸、 y軸、軸、 z軸的正方向相同的單位向量軸的正方向相同的單位向量)則則 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 。2、點(diǎn)、點(diǎn)M（2，-3，-4）在坐標(biāo)平面）在坐標(biāo)平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正內(nèi)的正投影的坐標(biāo)分別為投影的坐標(biāo)分別為 ，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為為 ，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為 ，2