《計算方法》實驗報告

1、計算方法實驗報告學號姓名班級實驗項目名稱計算方法實驗一、實驗名稱實驗一插值與擬合二、實驗目的：明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點；（2）編程實現(xiàn)拉格朗日插值算法，分析實驗結(jié)果體會高次插值產(chǎn)生的龍格現(xiàn)象；運用牛頓插值方法解決數(shù)學問題。二、實驗內(nèi)容及要求1（1）對于f（x）=- ,一5蘭x蘭51 + X要求選取 11 個等距插值節(jié)點，分別采用拉格朗日插值和分段線性插值，計算x 為 0.5, 4.5 處的函數(shù)值并將結(jié)果與精確值進行比較。輸入：區(qū)間長度，n（即 n+1 個節(jié)點），預測點輸出：預測點的近似函數(shù)值，精確值，及誤差（2）已知 彳=1，4 = 2,9 =3,用牛頓插值公式求 V5 的近

2、似值。輸入：數(shù)據(jù)點集，預測點。輸出：預測點的近似函數(shù)值精品文檔四、實驗原理及算法描述算法基本原理：（1）拉格朗日插值法對某個多項式函數(shù)已知有給走的 1 個取值點：（匸山 1 1 （無斛班）具中叼對應(yīng)看自變呈的位置而的對應(yīng)看函數(shù)在這個位置的取值。假設(shè)任意兩個不同的屯都互不相同那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朋日插值務(wù)項式為：乙仗）：=D 恥）J=0其中每個與為拉格明日基本釦頁式（或稱插値基函數(shù)），其表達式為：f 匕）_ n 王的一（工觀）（巧J（一工田）9坯）圉3丄,j叼 7 （叼-呦）（巧-巧 7）（叼-巧+1）（衍-以）拉格朗日基本多項式 Zj（）的特點是在叼上取值為 1,在其它的點斗

3、J # j 上取值為 0*精品文檔(2)牛頓插值法(x) = /(x0)+/x0,xl(x-) + /xpjr1,xJ(x-i:(J)(x-xl)兀(丈一工業(yè))(兀一xj(兀-工”)精品文檔算法流程精品文檔五、程序代碼及實驗結(jié)果（1） 輸出：A .拉格朗日插值法B.分段線性插值Xy（精確）y（拉格朗日）y（分段線性）誤差（拉）誤差（分）0.5000000.8000000.8434070.750000-0.0542590.0500004.5000000.0470591.5787200.0486425-32.547674-0.033649(2) 輸出:精品文檔Xy(精確)y(牛頓插值) 誤差(牛頓

4、插值)5.000002.2360682.266670-0.013686源碼：(1) A.拉格朗日插值法#in clude#in clude#in cludeusing n amespace std;double Lagra nge(i nt N,vector &X,vector&Ydouble x);int mai n()double p,b,c;char a= n：docout請輸入差值次數(shù) n 的值：N;vectorX(N,0);vectorY(N,0);cout請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b)： p;cin b;c=b-p;c=c/(N-1);for(int i=0;iN;i+)

5、Xi=p;Yi=1/(1+p*p);p=p+c;cout請輸入要求值 x 的值： x;double result=Lagrange(N,X,Y ,x);精品文檔cout由拉格朗日插值法得出結(jié)果：resultendl;cout a;while(a=y);return 0;double Lagra nge(i nt N,vector &X,vector&Y double x)double result=0;for(int i=0;iN;i+)double temp=Yi;for(i nt j=O;jN;j+)if(i!=j)temp = temp*(x-Xj);temp = tem

6、p/(Xi-Xj);result += temp;return result;B :分段線性插值#in clude#in clude#in cludeusing n amespace std;double fen dua n(i nt N,vector &X,vector&Y,double x,double c );int mai n()double p,b,c;char a= n;docout請輸入差值次數(shù) n 的值：N;vectorX(N,0);vectorY(N,0);cout請輸入?yún)^(qū)間長度(a,b)： p;cin b;c=b-p;c=c/(N-1);for(int i=

7、0;iN;i+)Xi=p;Yil=1/(1+p*p);p=p+c;精品文檔cout請輸入要求值 x 的值： x;double result=fenduan(N,X,Y ,x,c);cout由分段線性插值法得出結(jié)果：resultendl;cout a;while(a=y);return 0;double fen dua n(i nt N,vector &X,vector&Y,double x,double c)double result=0;int b;b=0;while(x-Xbc)b=b+1; result=Yb*(1-(x-Xb)/c)+Yb+1*(x-Xb)/c);ret

8、urn result;(3)牛頓插值法#in clude#in clude#in cludeusing n amespace std;double ChaSha ng(i nt n, vector&X,vector&Y);double Newt on( double x,vector &X,vector&Y);int mai n()char a= n;doint n;cout請輸入插值點個數(shù)：e ndl;cinn;vectorX (n, 0);vector Y(n, 0);cout請輸入插值點對應(yīng)的值及函數(shù)值(Xi,Yi) : endl;for(int i=0;

9、iXiYi;cout請輸入要求值 x 的值： x;精品文檔cout由牛頓插值法得出結(jié)果：Newton(x,X,Y)endl;cout a;while(a=y); return 0;double ChaSha ng(int n,vector&X,vector&Y)double f=0;double temp=0;for(int i=0;in+1;i+)temp=Yi;for(i nt j=O;j n+1;j+) if(i!=j) temp /= (Xi-Xj);f += temp;return f;double Newt on( double x,vector &X,ve

10、ctor &Y)double result=0;for(i nt i=O;iX.size();i+)double temp=1;double f=ChaSha ng(i,X,Y);for(i nt j=0;ji;j+)temp = temp*(x-Xj); result += f*temp;return result;六、實驗總結(jié)1.通過實驗一數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)， 拉格朗日插值在低次插值時， 同源函數(shù)偏差并不大， 但在高次插值 時同原函數(shù)偏差大、存在明顯的龍格現(xiàn)象，而分段線性插值可以避免出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，與 原函數(shù)比較吻合，但是分段線性插值由于其分段屬性，使得插值函數(shù)失去光滑性，可以考 慮采用 Hermite 插