第五章對單個和兩個總體平均數(shù)的假設檢驗

1、1第第5章章 對單個和兩個對單個和兩個樣本平均數(shù)的假設檢驗樣本平均數(shù)的假設檢驗魏澤輝講義25.1 對單個總體均數(shù)的檢驗對單個總體均數(shù)的檢驗 檢驗一個樣本平均數(shù)與已知的總體平均數(shù)是否有顯著差異檢驗一個樣本平均數(shù)與已知的總體平均數(shù)是否有顯著差異（檢驗該樣本是否來自某一總體）（檢驗該樣本是否來自某一總體） 已知的總體平均數(shù)一般為一些公認的理論數(shù)值、經(jīng)驗數(shù)值已知的總體平均數(shù)一般為一些公認的理論數(shù)值、經(jīng)驗數(shù)值或期望數(shù)值?；蚱谕麛?shù)值。（正常生理指標、懷孕期、家禽出雛日齡）（正常生理指標、懷孕期、家禽出雛日齡）魏澤輝講義35.1.1 z檢驗：總體方差已知檢驗：總體方差已知魏澤輝講義4 由該場隨機抽取了由該場

2、隨機抽取了1010頭豬，測得它們在體重為頭豬，測得它們在體重為100kg100kg時的時的平均背膘厚為平均背膘厚為8.7mm8.7mm。 1）提出假設）提出假設例例 ：某豬場稱該場的豬在體重為：某豬場稱該場的豬在體重為100100kgkg時的平均背膘厚度時的平均背膘厚度為為9 90.30.32 2 mmmm2 2。問如何檢驗該場的說法是否真確？（。問如何檢驗該場的說法是否真確？（已已知該場豬的背膘厚服從正態(tài)分布）知該場豬的背膘厚服從正態(tài)分布）一、方差已知時一、方差已知時 的假設檢驗的假設檢驗000:, :AHH000:, :AHH000:, :AHH魏澤輝講義52) 構(gòu)造并計算檢驗統(tǒng)計量構(gòu)造并

3、計算檢驗統(tǒng)計量0N(0,1)8.793.16230.310 xzn (0,1)XzNn00:H6若取若取 5，則，則0.050.051( uu)0.05Pz接受域95%否定域2.5%1.96-1.96否定域2.5%3）確定否定域并作統(tǒng)計推斷）確定否定域并作統(tǒng)計推斷 z = -3.1623 -1.96 （落入）（落入） 接受備擇假設接受備擇假設結(jié)論：該場豬的平均背膘厚與結(jié)論：該場豬的平均背膘厚與9mm差異顯著差異顯著魏澤輝講義75.1.2 t檢驗：總體方差未知檢驗：總體方差未知魏澤輝講義8顯著性檢驗步驟顯著性檢驗步驟1、提出假設、提出假設 （1） H0：0；HA：0 雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗2、計算、計

4、算t值值 3、查臨界、查臨界t值，作出統(tǒng)計推斷值，作出統(tǒng)計推斷 xSxt01 ndfnSSx122)1(02200nnXSnXnSXtSn標準標準正態(tài)正態(tài)分布分布2分分布布9【例5.1】 按照規(guī)定，100g 罐頭番茄汁中的平均罐頭番茄汁中的平均維生素維生素 C 含量不得少于 21mg/g，現(xiàn)在從工廠的產(chǎn)品中抽取 17 個罐頭，其 100g 番茄汁 中測得維生素 C 含量記錄如下：16，25，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，22，設維生 素 C 含量服從正態(tài)分布，問這批罐頭是否符合規(guī)定要求？ 10解：依題意，可對此批罐頭的平均維生素 C 含量

5、提出待檢驗假設：H0：=21，HA：-1.746,不能否定零假設，即該批罐頭的平均 維生素 C 含量與規(guī)定的 21mg 無顯著差異，可以出廠。02 02 11 .0 43 .9 81 7xxtSX115.25.2兩個樣本平均數(shù)的比較兩個樣本平均數(shù)的比較 推斷兩個樣本平均數(shù)差異是否顯著的問題，推斷兩個樣本平均數(shù)差異是否顯著的問題，以了解兩樣本所屬總體的平均數(shù)是否相同以了解兩樣本所屬總體的平均數(shù)是否相同 。配對試驗配對試驗非配對試驗非配對試驗兩個總體兩個總體u檢驗：總體方差已知檢驗：總體方差已知t檢驗：總體方差未知檢驗：總體方差未知總體方差未知相等總體方差未知相等總體方差未知不等總體方差未知不等2

6、121 xx)()()()(,2121221121222111xxxx表面效應試驗誤差處理效應:212121xx 目的就是分析表面效應主要目的就是分析表面效應主要是由處理效應引起，還是由是由處理效應引起，還是由實驗誤差引起。從而分析處實驗誤差引起。從而分析處理效應是否存在。理效應是否存在。表面效應可以計算，實驗誤表面效應可以計算，實驗誤差可以估計，根據(jù)這些推斷差可以估計，根據(jù)這些推斷處理效應是否顯著。處理效應是否顯著。5. 2.1 隨機分組資料的假設檢驗隨機分組資料的假設檢驗1、提出假設、提出假設212101：；：）（AHH212102：；：）（AHH212103：；：）（AHH雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢

7、驗單側(cè)檢驗單側(cè)檢驗單側(cè)檢驗單側(cè)檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量 的抽樣分布的抽樣分布21XX 212121)()()(XEXEXXE2221212121)(2)()()(21nnXVarXVarXXVarXX)(2121112)(222221nnXX則，如果兩個總體方差相等統(tǒng)計量統(tǒng)計量 的抽樣分布的抽樣分布21XX 22)(221nXX則，相等如果兩個樣本的含量也222121)(221nnXX統(tǒng)計量統(tǒng)計量 的抽樣分布的抽樣分布21XX 2、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量如果兩個總體都是正態(tài)總體，則：如果兩個總體都是正態(tài)總體，則：)()(2122121XXNXX，) 10()()212121，（標準化為：NXX

8、ZXX 因此，可以計算檢驗統(tǒng)計量因此，可以計算檢驗統(tǒng)計量Z 對總體均數(shù)進行假設對總體均數(shù)進行假設檢驗，分三種情況分別介紹。檢驗，分三種情況分別介紹。3、確定否定域、確定否定域 比較檢驗統(tǒng)計量和臨界值的關(guān)系，根據(jù)小概率比較檢驗統(tǒng)計量和臨界值的關(guān)系，根據(jù)小概率事件事件（顯著水平：（顯著水平：0.01；0.05）原理，確定其落在原理，確定其落在否定域還是接收域。否定域還是接收域。4、對假設進行統(tǒng)計推斷、對假設進行統(tǒng)計推斷 接受原假設，否定備擇假設；或否定原假設，接受原假設，否定備擇假設；或否定原假設，接受備擇假設接受備擇假設1.兩總體方差已知時的檢驗兩總體方差已知時的檢驗Z檢驗檢驗例：某單位測定了例

9、：某單位測定了31頭犢牛和頭犢牛和48頭母牛頭母牛100 ml 中血中血液中血糖的含量（液中血糖的含量（mg），得犢牛平均血糖含量為），得犢牛平均血糖含量為81.23，成年母牛的平均血糖含量為，成年母牛的平均血糖含量為70.23。設已知犢牛血糖的總體方差為設已知犢牛血糖的總體方差為15.642，成年母牛血糖，成年母牛血糖的總體方差為的總體方差為12.072，問犢牛和成年母牛之間血糖含，問犢牛和成年母牛之間血糖含量有無差異？量有無差異？Z檢驗檢驗解：解：（1）提出假設）提出假設210：H21：AH即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量無差異；即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量無差異；即犢牛和成年母牛

10、之間血液中血糖含量有差異。即犢牛和成年母牛之間血液中血糖含量有差異。（2）計算檢驗統(tǒng)計量）計算檢驗統(tǒng)計量12222212()1215.6412.073.30543148XXnn1212()81.23 70.433.273.35XXXXZ（3）確定顯著性水平）確定顯著性水平 u0.05= 1.96 u0.01=2.5801. 058. 222. 301. 0PuZ所以：否定所以：否定H0，接受備擇假設。即犢牛和成年母牛，接受備擇假設。即犢牛和成年母牛之間血糖含量存在極顯著的差異。之間血糖含量存在極顯著的差異。實際研究中總體方差往往是未知的，因為很難得到總實際研究中總體方差往往是未知的，因為很難得

11、到總體內(nèi)所有個體的觀測值，因此無法計算總體方差。尤體內(nèi)所有個體的觀測值，因此無法計算總體方差。尤其對于無限總體和連續(xù)性資料。其對于無限總體和連續(xù)性資料。2.兩總體方差相等但未知時的檢驗兩總體方差相等但未知時的檢驗t 檢驗檢驗當當 n130 和和 n230 時（大樣本），時（大樣本）， 可以用樣本方差代替總體方差，仍然用可以用樣本方差代替總體方差，仍然用Z 檢驗，檢驗，因為在大樣本中其近似服從正態(tài)分布。因為在大樣本中其近似服從正態(tài)分布。當當 n130 和和 n230 時（小樣本），時（小樣本），不能用樣本方差代替總體方差，應該采用不能用樣本方差代替總體方差，應該采用t 檢驗。檢驗。) 1/()(

12、11121111nxxnx，樣本) 1/()(12222222nxxnx ，樣本在在1=2 （原假設）（原假設），22條件下，認為兩個條件下，認為兩個樣本來自同一個總體，因此可以將兩個樣本合并，樣本來自同一個總體，因此可以將兩個樣本合并，然后用合并樣本的方差代替總體方差。然后用合并樣本的方差代替總體方差。加權(quán)平均數(shù)。以各自的自由度為權(quán)的和：兩個樣本的方差合并方差22212SSS5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗兩總體方差相等但未知時的檢驗t 檢驗檢驗212121211211212222121122212) 1() 1()()(2) 1(2) 1(212211dfdfSSSSnnxxxx

13、nnSnnnSnSSSdfdfdfdfdfdf計算公式如下：計算公式如下：5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗兩總體方差相等但未知時的檢驗t 檢驗檢驗所以：所以：均數(shù)差異標準誤均數(shù)差異標準誤為為2121)(22)(21212122221121211) 1() 1(11) 1() 1()()()11(22212121nnnnxxnnnnxxxxnnSSnxnxxx21xxS均數(shù)差異標準誤均數(shù)差異標準誤5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗兩總體方差相等但未知時的檢驗t 檢驗檢驗當當n1=n2=n時，上面公式演變?yōu)椋簳r，上面公式演變?yōu)椋?2221212221111()()221212()

14、()(1)(1)(1)xxxxnnxxxxSn nxxn nSSSSn n5. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗兩總體方差相等但未知時的檢驗t 檢驗檢驗)2()(212121212121nntSxxSxxtxxxxt值為值為自由度為：自由度為：df=(n1-1)+(n2-1)= n1+n2-25. 2.3 兩總體方差相等但未知時的檢驗兩總體方差相等但未知時的檢驗t 檢驗檢驗魏澤輝講義27例： 研究兩種不同飼料對香豬生長的影響，隨機選擇了體重相研究兩種不同飼料對香豬生長的影響，隨機選擇了體重相近的近的12頭香豬并隨機分成兩組，一組喂頭香豬并隨機分成兩組，一組喂 甲種飼料，另一組喂乙甲種飼料，

15、另一組喂乙種飼料種飼料 在相同條件下飼養(yǎng)，在相同條件下飼養(yǎng)， 6周后的增重結(jié)果如下（周后的增重結(jié)果如下（kg）：）： 甲飼料：甲飼料：6.65，6.35，7.05，7.90，8.04，4.45 乙飼料乙飼料: 5.35，7.00，9.89，7.05，6.74， 9.28設兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布且方差相等，設兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布且方差相等， 試比試比 較兩種不較兩種不同飼料對香豬的生長是否有差異？同飼料對香豬的生長是否有差異？28解：總體方差未知但相等，可用t檢驗 (1) 假設: H0:1= 2 ,即兩種不同飼料對香豬的生長影響無差異 HA: 1= 2 ,兩種不同飼料對香豬的生長影響存

16、在差異 (2)計算檢驗統(tǒng)計量 126.74kg7.55kgXX；221212()()2211228.536,14.5612XXnnSSXSSX12128.536 14.56120.8774(1)6(6 1)xxSSSSSn n29 (3)取0.05, 查附表4 得t0.05(10) = 2.23 |t| = 0.92 0.05, 接受H0， 接受不同飼料對香豬的生長影響無顯著差異。 12126.747.550.920.8774xxxxtS df= n1+n2-2=6+6-2=10 30解： (1) 假設: H0:1= 2 ,兩品種豬的肌肉脂肪含量無差異 HA: 1= 2 ,兩品種豬的肌肉脂肪含

17、量存在差異 例： 測定金華豬與長白豬肌內(nèi)脂肪含量（），金華豬共10頭，其樣本平均數(shù)為3.93，標準差為0.4；長白豬4頭，平均數(shù)為2.56，標準差為0.4。設兩樣本所屬總體服從正態(tài)分布，且方差相等，試測驗兩品種豬的肌肉脂肪含量是否存在差異。本例為總體方差未知相等，且樣本容量不等。31(2)計算檢驗統(tǒng)計量 122121111()0.16()0.2366104xxSSnn12121222212221122121222(1)(1)22(101)0.4(41)0.410420.1600dfdfdfdfdfdfSSSnSnSnnnn32 (3)取0.01, 查附表4 得t0.01(12) = 3.055

18、 |t| = 5.79 t0.01(12) = 3.055 P F0.05/2，故否定，故否定H0接受接受HA，即兩個樣本所，即兩個樣本所屬總體方差存在顯著的差別。屬總體方差存在顯著的差別。魏澤輝講義42(2)兩總體平均數(shù)的比較兩總體平均數(shù)的比較假設: H0:1= 2 , HA: 1 2 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量12222212121.283.44)0.95651315xxSSSnn121210.7316.405.92790.9565xxxxtS 魏澤輝講義4322211222222112212222(/)(/)(/)11(1.6384/13 11.8336/15)(1.6384/13)(11.8

19、336/15)12120.83710.00130.044518SnSndfSnSnnn統(tǒng)計推斷：統(tǒng)計推斷：0.01，查附表，查附表4，t0.01（18）2.878，由，由于于t=-5.9279F0.05/2（9，9），故否定），故否定H0接受接受HA，即兩個，即兩個樣本所屬總體方差存在顯著的差別。樣本所屬總體方差存在顯著的差別。魏澤輝講義46(2)兩總體平均數(shù)的比較兩總體平均數(shù)的比較假設: H0:1= 2 , HA: 1 2 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量12221212111.819.3)3.621010 xxSSSnn121235.5282.073.62xxxxtS魏澤輝講義47統(tǒng)計推斷：統(tǒng)計推斷：

20、0.05，查附表，查附表4，t0.1（12）1.782，由，由于于t=2.07t0.1(12)，故否定，故否定H0接受接受HA，即配方，即配方1的增重效的增重效果顯著優(yōu)于配方果顯著優(yōu)于配方2。222212442212(1)()9(111.819.3)12111.819.3nSSdfSS5. 2.2 配對資料的假設檢驗配對資料的假設檢驗t檢驗檢驗魏澤輝講義49配對樣品平均數(shù)間的比較配對樣品平均數(shù)間的比較 為了排除實驗單位不一致對實驗結(jié)果的影響，為了排除實驗單位不一致對實驗結(jié)果的影響，準確地估計實驗處理效應，降低實驗誤差，提高準確地估計實驗處理效應，降低實驗誤差，提高實驗的準確性和精確性，如果可能

21、，實驗的準確性和精確性，如果可能，應采用配對應采用配對實驗設計，可將其看作兩個相關(guān)樣本平均數(shù)的比實驗設計，可將其看作兩個相關(guān)樣本平均數(shù)的比較。較。 配對的目的是使為了把同一重復內(nèi)二個實驗配對的目的是使為了把同一重復內(nèi)二個實驗單位的初始條件的差異減少到最低限度，使實驗單位的初始條件的差異減少到最低限度，使實驗處理效應不被實驗單位的差異而夸大或縮小，提處理效應不被實驗單位的差異而夸大或縮小，提高實驗精確度。高實驗精確度。魏澤輝講義50 配對實驗設計配對實驗設計 指首先將參加試驗的兩個個體按配對的要求兩指首先將參加試驗的兩個個體按配對的要求兩兩配對，然后再將每一個對子內(nèi)的兩個個體獨立隨兩配對，然后再

22、將每一個對子內(nèi)的兩個個體獨立隨機地接受兩個處理中的一種。機地接受兩個處理中的一種。配對的要求：配對的要求：配成對子的兩個個體的初始條件應盡配成對子的兩個個體的初始條件應盡量一致，但不同對子之間的試驗個體的初始條件可量一致，但不同對子之間的試驗個體的初始條件可以有差異，目的就是盡量減少這些差異對試驗指標以有差異，目的就是盡量減少這些差異對試驗指標的影響。的影響。 每一個對子就是實驗的一次重復。每一個對子就是實驗的一次重復。 魏澤輝講義51（1）同源配對）同源配對：同窩、同卵雙生的兩個個體或者有親緣同窩、同卵雙生的兩個個體或者有親緣關(guān)系的個體配成對子。其中一個個體接受接受這個處理，另關(guān)系的個體配成

23、對子。其中一個個體接受接受這個處理，另一個個體接受另一個處理。一個個體接受另一個處理。 如同一窩的仔豬增重或者雙胞胎的子畜。植物的同一片如同一窩的仔豬增重或者雙胞胎的子畜。植物的同一片葉子的兩半等。葉子的兩半等。（2）自身配對自身配對：同一個體的不同時間或不同部位的兩次同一個體的不同時間或不同部位的兩次觀察值作為配對。也可以看作是特殊的觀察值作為配對。也可以看作是特殊的親緣配對親緣配對。如：白鼠。如：白鼠照射照射X射線前后的體重。射線前后的體重。（3）條件配對：）條件配對：將具有相近條件的個體配成對子，如性將具有相近條件的個體配成對子，如性別相同、年齡或體重相近的個體進行配對。別相同、年齡或體

24、重相近的個體進行配對。常用的配對方式常用的配對方式 魏澤輝講義52 一方面，降低了試驗誤差。一方面，降低了試驗誤差。 另一方面，另一方面，進行統(tǒng)計檢驗的時候，可以將對子內(nèi)進行統(tǒng)計檢驗的時候，可以將對子內(nèi)兩個個體的差異（兩個個體的差異（d）作為一個新的樣本來分析。）作為一個新的樣本來分析。 由于兩樣本所屬總體的平均數(shù)的差等價于對子內(nèi)由于兩樣本所屬總體的平均數(shù)的差等價于對子內(nèi)個體間差數(shù)所構(gòu)成的新總體的平均數(shù)。個體間差數(shù)所構(gòu)成的新總體的平均數(shù)。 d21魏澤輝講義53實驗結(jié)果表示為：實驗結(jié)果表示為：處理觀察值樣本含量樣本平均數(shù)總體平均數(shù)12x11 x12 x1nx21 x22 x2nnn12d=x1-

25、x2d1 d2 dnnd=1-2nxxi/11nxxi/2221/xxndd我們的目的是：我們的目的是： 通過通過 推斷推斷 ，即，即1 1與與2 2是否相同。是否相同。21xxdd d=1 1-2 2魏澤輝講義54配對實驗的檢驗步驟：配對實驗的檢驗步驟： （1）無效假設）無效假設H0 0 ：d d=1 1-2 2 =0=0 備擇假設備擇假設H HA A ：d d00，即，即1 1-2 2 00 1 1為第一個樣本所在總體的平均數(shù)為第一個樣本所在總體的平均數(shù) 2 2為第二個樣本所在總體的平均數(shù)為第二個樣本所在總體的平均數(shù) d d為第一個樣本所在總體與第二個樣本所在為第一個樣本所在總體與第二個樣本所在總體配對變數(shù)的差數(shù)總體配對變數(shù)的差數(shù)d=xd=x1 1-x-x2 2，所構(gòu)成的差數(shù)總體的，所構(gòu)成的差數(shù)總體的平均數(shù)，且平均數(shù)，且d d=1 1-2 2 魏澤輝講義55（2 2）計算）計算t t值值1,21ndfSxxSdtdd) 1() 1()(/2)(22nndnnddnSSndd，差異標準誤 1