排列組合知識點與方法歸納

1、精選文檔排列組合一、學(xué)問網(wǎng)絡(luò)二、高考考點1、兩個計數(shù)原理的把握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的把握；關(guān)于組合數(shù)兩共性質(zhì)的把握；3、運用排列與組合的意義與公式解決簡潔的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）三、學(xué)問要點一分類計數(shù)原理與分步計算原理1 分類計算原理（加法原理）：完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在其次類方法中有m2種不同的方法，在第n類方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1+ m2+ mn種不同的方法。2 分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法

2、，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1 m2 mn種不同的方法。3、認知：上述兩個原理都是爭辯完成一件事有多少種不同方法的計數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)分在于，加法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成若干類，并且各類方法以及各類方法中的各種方法相互獨立，運用任何一類方法的任何一種方法均可獨立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進行，各個步驟不行缺少，只有當(dāng)各個步驟依次完成后這件事才告完成（在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個步驟，而不能獨立完成這件事）。二排列1 定義（1）從n個不同元素中取出m（ ）個元素，依據(jù)肯定的挨次排成一列，叫做從n個不同元素

3、中取出m個元素的一排列。（2）從n個不同元素中取出m（ ）個元素的全部排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記為 .2 排列數(shù)的公式與性質(zhì)（1）排列數(shù)的公式： =n（n-1）（n-2）（n-m+1）= 特例：當(dāng)m=n時， =n！=n（n-1）（n-2）321規(guī)定：0！=1（2）排列數(shù)的性質(zhì)：（） = （排列數(shù)上標、下標同時減1（或加1）后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（） （排列數(shù)上標加1或下標減1后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（） （分解或合并的依據(jù)）三組合1 定義（1）從n個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合（2）從n個不同元素中取出 個元素的全部組合的個

4、數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號 表示。2 組合數(shù)的公式與性質(zhì)（1）組合數(shù)公式： （乘積表示） （階乘表示）特例： （2）組合數(shù)的主要性質(zhì)：（） （上標變換公式）（） （楊輝恒等式）認知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標相同，而上標為相鄰自然數(shù)；合二為一后的右邊組合數(shù)下標等于左邊組合數(shù)下標加1，而上標取左邊兩組合數(shù)上標的較大者。3 比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個排列需要“取出元素”和“對取出元素按肯定挨次排成一列”兩個過程，而獲得一個組合只需要“取出元素”，不管怎樣的挨次并成一組這一個步驟。（1） 排列與組合的區(qū)分在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)

5、，而且還與取出元素的挨次有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的挨次有關(guān)，是推斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2） 留意到獲得（一個）排列歷經(jīng)“獲得（一個）組合”和“對取出元素作全排列”兩個步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系： 四、經(jīng)典例題例1、某人方案使用不超過500元的資金購買單價分別為60、70元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式是（ ）A .5種 B.6種 C. 7種 D. 8種分析：依題意“軟件至少買3片，磁盤至少買2盒”，而購得3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，只需爭辯剩下的180元如何使用的問題。解：留意到購買3片軟件和2盒磁

6、盤花去320元，所以，這里只爭辯剩下的180元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類爭辯：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；其次類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有2種方法； 第四類，不買軟件，再買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有3種方法；于是由分類計數(shù)原理可知，共有N=1+1+2+3=7種不同購買方法，應(yīng)選C。例2、已知集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，當(dāng)xM時， 為奇數(shù)，則這樣的映射 的個數(shù)是（ ）A.20 B.18 C.32 D.24分析：由映射定義知，當(dāng)xM時， 當(dāng)xM時，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但

7、 必需為奇數(shù)，因此，對M中x的對應(yīng)狀況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當(dāng)x=-1時， ，此時 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的元素有4種對應(yīng)方法；其次步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時， 為奇數(shù)，故 只有2種取法（ =3或 =5），即M中的元素0與N中的元素有2種對應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時， 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可為偶數(shù), 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對應(yīng)方法，于是由分步計數(shù)原理可知，映射 共有424=32個。例3、在中有4個編號為1，2，3，4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、藍、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三

8、角形顏色不同，共有多少種不同的涂法？解：依據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對角”的兩個小三角形可以是相同顏色，于是考慮以對角的小三角形1、4同色與不同色為標準分為兩類，進而在每一類中分步計算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時有N1=544=80種不同涂法。其次類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法，故此時有N2=5433=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。點評：欲不重不漏地分類，需要選定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩藴?，一般地，依?jù)所給問題的具體狀況，或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從

9、某一元素的特定要求入手分類，或是從問題中某一事物符合條件的情形入手分類，或是從問題中有關(guān)事物的相對關(guān)系入手分類等等。例4、將字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ）A.6種 B.9種C.11種 D.23種解法一（接受“分步”方法）：完成這件事分三個步驟。第一步：任取一個數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；其次步：取與填入數(shù)字的格子編號相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個數(shù)字按規(guī)定填入兩個格子，只有1種填法；于是，由分步計數(shù)原理得，共有N=331=9種不同填法。解法二：（接受“列舉”方法）

10、：從編號為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進行分類。第一類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法： 2413 2143 2341其次類：編號1的方格內(nèi)填數(shù)字3，也有3種不同填法： 3142 3412 3421第三類：編號為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，仍有3種不同填法： 4123 4312 4321于是由分類計數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）：將上述4個數(shù)字填入4個方格，每格填一個數(shù)，共有N1=4321=24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個數(shù)字與4個格子的編號均相同的填法有1種；(2)恰有兩個數(shù)字與格子編號相同的填法有6種；(3)恰有1個數(shù)字與格子編號相同的填法有8種；因

11、此，有數(shù)字與格子編號相同的填法共有N2=1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。點評：解題步驟的設(shè)計原則上任意，但不同的設(shè)計招致計算的繁簡程度不同，一般地，人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的支配，以削減問題的頭緒或懸念。當(dāng)正面考慮頭緒較多時，可考慮運用間接法計算：不考慮限制條件的方法種數(shù)不符合條件的方法種數(shù)=符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的“分析”與間接法主體的“分類”，恰恰向人們呈現(xiàn)了“分步”與“分類”相互依存、相互聯(lián)系的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字2和3，并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個？解：留意到這里

12、“0”的特殊性，故分兩類來爭辯。第一類：不含“0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4，5這三個數(shù)字中任選兩個作排列有 種；進而將2和3分別插入前面排好的兩個數(shù)字中間或首尾位置，又有 種排法，于是由分步計數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有=36個。其次類：含有“0”的符合條件的四位數(shù)，留意到正面考慮頭緒較多，故考慮運用“間接法”：首先從1，4，5這三個數(shù)字中任選一個，而后與0，2，3進行全排列，這樣的排列共有 個。其中，有如下三種狀況不合題意，應(yīng)當(dāng)排險：（1）0在首位的，有 個；（2）0在百位或十位，但2與3相鄰的，有 個（3）0在個位的，但2與3相鄰的，有 個因此，含有0的符合條件的四位數(shù)

13、共有 =30個于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個點評：解決元素不相鄰的排列問題，一般接受“插空法”，即先將符合已知條件的部分元素排好，再將有“不相鄰”要求的元素插空放入；解決元素相鄰的排列問題，一般接受“捆綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，作為一個大元素與其它元素進行排列，進而再考慮大元素內(nèi)部之間的排列問題。例6、某人在打靶時射擊8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8槍，按“命中”與“不命中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有（ ）A.720種 B.480種 C.24種 D.20種分析：首先，對未命中的4槍進行排列，它們形成5個空擋，留意到未命中的4

14、槍“地位公平”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個元素，與命中的另一槍從前面5個空格中選2個排進去，有 種排法，于是由乘法原理知，不同的報告結(jié)果菜有 種點評：這里的情形與前面不同，依據(jù)問題的實際狀況理解，未命中的4槍“地位公平”，連續(xù)命中的3槍亦“地位公平”。因此，第一步排法只有一種，其次步的排法種數(shù)也不再乘以 。解決此類“相同元素”的排列問題，切忌照搬計算相同元素的排列種數(shù)的方法，請讀者引起留意。例7、（1） ；（2）若 ，則n=；（3） ；（4）若 ，則n的取值集合為 ；（5）方程 的解集為 ；解：（1）留意到n滿足的條件 原式= （2）運用楊輝恒等式，已知等式 所求n=4。（3）

15、依據(jù)楊輝恒等式 原式= = = = （4）留意到這里n滿足的條件n5且nN* 在之下，原不等式 由、得原不等式的解集為5，6，7，11（5）由 留意到當(dāng)y=0時， 無意義，原方程組可化為 由此解得 經(jīng)檢驗知 是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了3套卡片，每套卡片有寫上A、B、C、D、E字母的卡片各一張，若從這15張卡片中，每次取出5張，則字母不同，且3種顏色齊全的取法有多少種？解：符合條件的取法可分為6類第一類：取出的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有 種取法；其次類：取出的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有 種取法；第三類：取出的5張卡片中，1張紅色，3張黃

16、色，1張綠色，有 種取法；第四類：取出的5張卡片中，2張紅色，1張黃色，2張綠色，有 種取法；第五類：取出的5張卡片中，2張紅色，2張黃色，1張綠色，有 種取法；第六類：取出的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有 種取法；于是由分類計數(shù)原理知，符合條件的取法共有 點評：解決本題的關(guān)鍵在于分類，分類爭辯必需選擇適當(dāng)?shù)姆诸悩藴?，在這里，以紅色卡片選出的數(shù)量進行主分類，以黃色卡片選出的數(shù)量進行次分類，主次結(jié)合，確保分類的不重不漏，這一思路值得學(xué)習(xí)和借鑒。例9、（1）從5雙不同的襪子中任取4只，則至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？（2）設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個小球和編號為1

17、，2，3，4，5的五個盒子，將五個小球放入五個盒子中（每個盒子中放一個小球），則至少有兩個小球和盒子編號相同的放法有多少種？（3）將四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，則恰有一個空盒的放法共多少種？（4）某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn)品測試，直到4只次品全部測出為止，則最終一只次品恰好在第五次測試時被發(fā)覺的不同狀況有多少種？解：（1）滿足要求的取法有兩類，一類是取出的4只襪子中恰有2只配對，這只要從5雙襪子中任取1雙，再從其余4雙中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有 種選法；另一類是4只襪子恰好配成兩雙，共有 種選法，于是由加法原理知，符合要

18、求的取法為 種。（2）符合條件的放法分為三類：第一類：恰有2個小球與盒子編號相同，這只需先從5個中任取兩個放入編號相同的盒子中，有 種放法，再從剩下的3個小球中取出1個放入與其編號不同的盒子中，有 種方法，則最終剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有 種不同方法；其次類：恰有3個小球與盒子編號相同，這只需先從5個中任取三個放入編號相同的盒子中，有 種放法，則最終剩下的兩個小球放入編號不同的盒中只有1種放法，故此類共有 種不同方法；第三類：恰有5個小球與盒子編號相同，這只有1種方法；于是由分類計數(shù)原理得，共有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設(shè)計分三步完成：第一步，取定

19、三個空盒（或取走一個空盒），有 種取法；其次步，將4個小球分為3堆，一堆2個，另外兩堆各一個，有 種分法；第三步，將分好的3堆小球放入取定的3個空盒中，有 種放法；于是由乘法原理得共有： 種不同方法。（4）分兩步完成：第一步，支配第五次測試，由于第五次測試測出的是次品，故有 種方法；其次步，支配前4次測試，則在前四次測試中測出3只次品和1只正品的方法種數(shù)為 。于是由分布計數(shù)原理可知，共有 種測試方法。點評：為了消滅題設(shè)條件中的“巧合”，我們需要考慮對特殊情形的“有意設(shè)計”，本例（1）則是這種“有意設(shè)計”的典型代表，而這里的（3），則是先“分堆”后“安排”的典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、

20、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（ ）A、18對 B、24對 C、30對 D、36對分析：留意到任一四周體中異面直線的對數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對數(shù)，首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四周體個數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成 個四周體，而每一四周體有3對異面直線，故共有36對異面直線，應(yīng)選D。2、不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有（ ）A、3個 B、4個 C、6個 D、7個分析：不共面的四點可構(gòu)成一個四周體，取四周體各棱中點，分別過有公共頂點的三棱中點可得到與相應(yīng)底面平行的4個截面，這4個截面到四個定點距離相等；又與三組對棱分別平行且等距的平面有3個，故符合條

21、件的平面共7個，應(yīng)選D。3、北京財寶全球論壇期間，某高校有14名志愿者參與接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（ ）A、 B、 C、 D、 分析：排班工作分三步完成：第一步，從14人中選出12人，有 種選法；其次步，將第一步選出的12人平均分成三組，有 種分法；第三步，對其次步分出的3組人員在三個位置上支配，有 種排法；于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為 ，應(yīng)選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市巡游，要求每個城市各一人巡游，每人只巡游一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎巡游，則不同的選擇方案共有（ ）A、300種

22、B、240種 C、114種 D、96種分析：留意到甲、乙兩人不去巴黎，故選人分三類狀況（1）不選甲、乙，不同方案有 種；（2）甲、乙中選1人，不同方方案有 種；（3）甲、乙均入選，不同方案有 種；于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為24+144+72=240，應(yīng)選B。5、4位同學(xué)參與某種形式的競賽，競賽規(guī)章規(guī)定：每位同學(xué)必需從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得-100分；選乙題答對得90分，答錯得-90分，若4位同學(xué)的總分為0，則這四位同學(xué)不同的得分狀況的種數(shù)是（ ）A、48 B、36 C、24 D、18分析：留意到狀況的簡單，故考慮從“分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答

23、對，2人答錯，有 種狀況；其次類：2人選甲題一對一錯，2人選乙題一對一錯，有 種狀況；第三類：四人全選乙題，2對2錯，有 種狀況。于是由加法原理得不同得分狀況共有 種，應(yīng)選B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危急的，沒有公共頂點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是平安的，現(xiàn)打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么平安存放的不同方法種數(shù)為（ ）A、96 B、48 C、24 D、0分析：本題的關(guān)鍵是找“異面直線對”的個數(shù)，設(shè)四棱錐為S-ABCD，沒有公共頂點的棱只能分成4組，每組兩條棱（否則三條棱必有公共點），每8條棱分成4組，每組兩條

24、無公共點的棱僅有下面兩種狀況：（1）SACD；SBAD；SCAB；SDBC （本組中同一棱不重復(fù)消滅）（2）SABC；SBCD；SCAD；SDAB（本組中同一條棱不重復(fù)消滅）于是問題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個不同倉庫的排列問題，故不同的支配分法是 種，應(yīng)選B。（二）填空題1、在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整 除的數(shù)共有（ ）個。分析：考慮直接解法：這樣四位數(shù)的個位數(shù)為1，2，3，4中的一個，有 種法，千位從余下的4個非零數(shù)當(dāng)中任取一個是 種排法；中間兩位是 種排法，于是由分步計數(shù)原理知，共是： 種不同排法，應(yīng)填192。2、用1、2、3、4、5、6、7

25、、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（ ）個（用數(shù)字作答）。分析：第一步，將1與2，3與4，5與6組成3個大元素進行排列，是 種排法；其次步，將7與8插入上述3個大元素隊列的間隙或兩端，是 種方法；第三步，對3個大元素內(nèi)部進行全排列，各是 種方法；于是由分步計數(shù)原理得共有 個，應(yīng)填576。3、從集合O、P、Q、R、S與0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個元素排成一排（字母與數(shù)字均不能重復(fù)）。每排中字母O、Q和數(shù)字0至多只消滅一個的不同排法種數(shù)是（ ）分析：考慮分類計算第一類：字母O、Q和數(shù)字0均不消滅，是 種排法；

26、其次類：字母O、Q消滅一個，數(shù)字0不消滅，是 種排法；第三類：字母O、Q不消滅，數(shù)字0消滅，是 種排法；于是分類計數(shù)原理知共是2592+5184+648=8424種不同排法，應(yīng)填8424。點評：以受限制的字母O、Q和數(shù)字0消滅的狀況為主線進行分類，在每一類中又合理地設(shè)計步驟，是分解題的關(guān)鍵所在，以某些特殊元素為主線進行分類是解決簡單的排列組合問題的基本策略。方法歸納1 重復(fù)排列“住店法” 重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順當(dāng)解題。例1 8名同學(xué)爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有 （ ） A B C D

27、 解析 冠軍不能重復(fù)，但同一個同學(xué)可獲得多項冠軍。把8名同學(xué)看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可住進任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。選（A）。 評述類似問題較多。如：將8封信放入3個郵筒中，有多少種不同的結(jié)果？這時8封信是“客”，3個郵筒是“店”，故共有種結(jié)果。要留意這兩個問題的區(qū)分。2 特色元素“優(yōu)先法”某個（或幾個）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）支配好，后再支配其它元素。 例2乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參與競賽，3名主力隊員要支配在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名支配在其次、四位置，那么不同的出場支配共有_種（用數(shù)字作答）。解

28、析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先支配，有種可能；然后從其余7名隊員選2名支配在其次、四位置，有種排法。因此結(jié)果為=252種。例3 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數(shù)列？解析按肯定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置支配好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以組成=21個不同的數(shù)列。3 相鄰問題“捆綁法” 把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其余一般元素全排列，是為“捆綁法”，又稱為“大元素法”。不過要留意“大元素”內(nèi)部還需要進行排列。 例4有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外文書2本，其他書3本

29、，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有_種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學(xué)書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有種排法，再將3本數(shù)學(xué)書之間交換有種，2本外文書之間交換有種，故共有=1440種排法。 評述這里需要說明的是，有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁法”解決。如：7個人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調(diào)，而且中間一人可從其余5人中任取，故共有種排法。4 相間問題“插空法” 元素不相鄰問題，先支配好其他元素，然后將不相鄰

30、的元素按要求插入排好的元素之間的空位和兩端即可。例5 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。假如將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 （ ）A 6 B 12 C 15 D 30解析原來的5個節(jié)目中間和兩端可看作分出6個空位。將兩個新節(jié)目不相鄰插入，相當(dāng)于從6個位置中選2個讓它們按挨次排列，故有種排法，選（D）。評述本題中的原有5個節(jié)目不需要再排列，這一點要留意。請練習(xí)以下這道題：大路上有編號為1、2、3、10的十盞路燈，為節(jié)省用電又能照明，現(xiàn)預(yù)備把其中的三盞燈，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，兩端的燈也不許關(guān)掉，求不同的關(guān)燈方式有多少種

31、？可得結(jié)果為=20種。你能很快求解嗎？5 多元問題“分類法” 對于多個元素問題，有時有多種狀況需要進行分類爭辯，然后依據(jù)分類計數(shù)原理將各種可能性相加即得。需要留意的是，分類時要不重復(fù)不遺漏。 例6 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種（用數(shù)字作答）。 解析先考慮A種在左邊的狀況，有三類：A種植在最左邊第一壟上時，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊其次壟上時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時，B只有一種種植方法。又B在左邊種植的狀況與A在左邊時相同。故共有=12種

32、不同的選壟方法。 例7 有11名翻譯人員，其中5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另2人英語、日語都精通。從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作。問這樣的安排名單共可開出多少張？ 解析假設(shè)先支配英文翻譯，后支配日文翻譯。第一類，從5名只能翻譯英文的人員中選4人任英文翻譯，其余6人中選4人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文），則有；其次類，從5名只能翻譯英文的人員中選3人任英文翻譯，另從“多面手”中選1人任英文翻譯，其余剩下5人中選4人任日文翻譯，有；第三類，從5名只能翻譯英文的人員中選2人任英文翻譯，另外支配2名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下4人全部任日文翻譯，有。三種情形相加即得結(jié)果185（張）。 評述本題當(dāng)然也可以先支配日文翻譯再支配英文翻譯，請大家自己列式看看。6 分球問題“隔板法” 計數(shù)問題中有一類“分球問題”，說的是將相同的球分到不同的盒中。如：將10個相同的球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，要求