排列組合知識(shí)點(diǎn)與方法歸納

1、精選文檔排列組合一、學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)二、高考考點(diǎn)1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的把握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的把握；關(guān)于組合數(shù)兩共性質(zhì)的把握；3、運(yùn)用排列與組合的意義與公式解決簡(jiǎn)潔的應(yīng)用問(wèn)題（多為排列與組合的混合問(wèn)題）三、學(xué)問(wèn)要點(diǎn)一分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)算原理1 分類(lèi)計(jì)算原理（加法原理）：完成一件事，有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有m1種不同的方法，在其次類(lèi)方法中有m2種不同的方法，在第n類(lèi)方法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1+ m2+ mn種不同的方法。2 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法

2、，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1 m2 mn種不同的方法。3、認(rèn)知：上述兩個(gè)原理都是爭(zhēng)辯完成一件事有多少種不同方法的計(jì)數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)分在于，加法原理的要害是分類(lèi)：將完成一件事的方法分成若干類(lèi)，并且各類(lèi)方法以及各類(lèi)方法中的各種方法相互獨(dú)立，運(yùn)用任何一類(lèi)方法的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進(jìn)行，各個(gè)步驟不行缺少，只有當(dāng)各個(gè)步驟依次完成后這件事才告完成（在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個(gè)步驟，而不能獨(dú)立完成這件事）。二排列1 定義（1）從n個(gè)不同元素中取出m（ ）個(gè)元素，依據(jù)肯定的挨次排成一列，叫做從n個(gè)不同元素

3、中取出m個(gè)元素的一排列。（2）從n個(gè)不同元素中取出m（ ）個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記為 .2 排列數(shù)的公式與性質(zhì)（1）排列數(shù)的公式： =n（n-1）（n-2）（n-m+1）= 特例：當(dāng)m=n時(shí)， =n！=n（n-1）（n-2）321規(guī)定：0！=1（2）排列數(shù)的性質(zhì)：（） = （排列數(shù)上標(biāo)、下標(biāo)同時(shí)減1（或加1）后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（） （排列數(shù)上標(biāo)加1或下標(biāo)減1后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（） （分解或合并的依據(jù)）三組合1 定義（1）從n個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合（2）從n個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的全部組合的個(gè)

4、數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示。2 組合數(shù)的公式與性質(zhì)（1）組合數(shù)公式： （乘積表示） （階乘表示）特例： （2）組合數(shù)的主要性質(zhì)：（） （上標(biāo)變換公式）（） （楊輝恒等式）認(rèn)知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標(biāo)相同，而上標(biāo)為相鄰自然數(shù)；合二為一后的右邊組合數(shù)下標(biāo)等于左邊組合數(shù)下標(biāo)加1，而上標(biāo)取左邊兩組合數(shù)上標(biāo)的較大者。3 比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個(gè)排列需要“取出元素”和“對(duì)取出元素按肯定挨次排成一列”兩個(gè)過(guò)程，而獲得一個(gè)組合只需要“取出元素”，不管怎樣的挨次并成一組這一個(gè)步驟。（1） 排列與組合的區(qū)分在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)

5、，而且還與取出元素的挨次有關(guān)。因此，所給問(wèn)題是否與取出元素的挨次有關(guān)，是推斷這一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題的理論依據(jù)。（2） 留意到獲得（一個(gè)）排列歷經(jīng)“獲得（一個(gè)）組合”和“對(duì)取出元素作全排列”兩個(gè)步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系： 四、經(jīng)典例題例1、某人方案使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為60、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)，要求軟件至少買(mǎi)3片，磁盤(pán)至少買(mǎi)2盒，則不同的選購(gòu)方式是（ ）A .5種 B.6種 C. 7種 D. 8種分析：依題意“軟件至少買(mǎi)3片，磁盤(pán)至少買(mǎi)2盒”，而購(gòu)得3片軟件和2盒磁盤(pán)花去320元，所以，只需爭(zhēng)辯剩下的180元如何使用的問(wèn)題。解：留意到購(gòu)買(mǎi)3片軟件和2盒磁

6、盤(pán)花去320元，所以，這里只爭(zhēng)辯剩下的180元如何使用，可從購(gòu)買(mǎi)軟件的情形入手分類(lèi)爭(zhēng)辯：第一類(lèi)，再買(mǎi)3片軟件，不買(mǎi)磁盤(pán)，只有1種方法；其次類(lèi)，再買(mǎi)2片軟件，不買(mǎi)磁盤(pán)，只有1種方法；第三類(lèi)，再買(mǎi)1片軟件，再買(mǎi)1盒磁盤(pán)或不買(mǎi)磁盤(pán)，有2種方法； 第四類(lèi)，不買(mǎi)軟件，再買(mǎi)2盒磁盤(pán)、1盒磁盤(pán)或不買(mǎi)磁盤(pán)，有3種方法；于是由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知，共有N=1+1+2+3=7種不同購(gòu)買(mǎi)方法，應(yīng)選C。例2、已知集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，當(dāng)xM時(shí)， 為奇數(shù)，則這樣的映射 的個(gè)數(shù)是（ ）A.20 B.18 C.32 D.24分析：由映射定義知，當(dāng)xM時(shí)， 當(dāng)xM時(shí)，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但

7、 必需為奇數(shù)，因此，對(duì)M中x的對(duì)應(yīng)狀況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當(dāng)x=-1時(shí)， ，此時(shí) 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法；其次步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時(shí)， 為奇數(shù)，故 只有2種取法（ =3或 =5），即M中的元素0與N中的元素有2種對(duì)應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時(shí)， 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可為偶數(shù), 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，映射 共有424=32個(gè)。例3、在中有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小三角形，要在每一個(gè)小三角形中涂上紅、藍(lán)、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三

8、角形顏色不同，共有多少種不同的涂法？解：依據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對(duì)角”的兩個(gè)小三角形可以是相同顏色，于是考慮以對(duì)角的小三角形1、4同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類(lèi)，進(jìn)而在每一類(lèi)中分步計(jì)算。第一類(lèi)：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時(shí)有N1=544=80種不同涂法。其次類(lèi)：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法，故此時(shí)有N2=5433=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。點(diǎn)評(píng)：欲不重不漏地分類(lèi)，需要選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，一般地，依據(jù)所給問(wèn)題的具體狀況，或是從某一位置的特定要求入手分類(lèi)，或是從

9、某一元素的特定要求入手分類(lèi)，或是從問(wèn)題中某一事物符合條件的情形入手分類(lèi)，或是從問(wèn)題中有關(guān)事物的相對(duì)關(guān)系入手分類(lèi)等等。例4、將字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ）A.6種 B.9種C.11種 D.23種解法一（接受“分步”方法）：完成這件事分三個(gè)步驟。第一步：任取一個(gè)數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；其次步：取與填入數(shù)字的格子編號(hào)相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個(gè)數(shù)字按規(guī)定填入兩個(gè)格子，只有1種填法；于是，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有N=331=9種不同填法。解法二：（接受“列舉”方法）

10、：從編號(hào)為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進(jìn)行分類(lèi)。第一類(lèi)：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法： 2413 2143 2341其次類(lèi)：編號(hào)1的方格內(nèi)填數(shù)字3，也有3種不同填法： 3142 3412 3421第三類(lèi)：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，仍有3種不同填法： 4123 4312 4321于是由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）：將上述4個(gè)數(shù)字填入4個(gè)方格，每格填一個(gè)數(shù)，共有N1=4321=24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個(gè)數(shù)字與4個(gè)格子的編號(hào)均相同的填法有1種；(2)恰有兩個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有6種；(3)恰有1個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有8種；因

11、此，有數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法共有N2=1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。點(diǎn)評(píng)：解題步驟的設(shè)計(jì)原則上任意，但不同的設(shè)計(jì)招致計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度不同，一般地，人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的支配，以削減問(wèn)題的頭緒或懸念。當(dāng)正面考慮頭緒較多時(shí)，可考慮運(yùn)用間接法計(jì)算：不考慮限制條件的方法種數(shù)不符合條件的方法種數(shù)=符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的“分析”與間接法主體的“分類(lèi)”，恰恰向人們呈現(xiàn)了“分步”與“分類(lèi)”相互依存、相互聯(lián)系的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字2和3，并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個(gè)？解：留意到這里

12、“0”的特殊性，故分兩類(lèi)來(lái)爭(zhēng)辯。第一類(lèi)：不含“0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4，5這三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有 種；進(jìn)而將2和3分別插入前面排好的兩個(gè)數(shù)字中間或首尾位置，又有 種排法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有=36個(gè)。其次類(lèi)：含有“0”的符合條件的四位數(shù)，留意到正面考慮頭緒較多，故考慮運(yùn)用“間接法”：首先從1，4，5這三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，而后與0，2，3進(jìn)行全排列，這樣的排列共有 個(gè)。其中，有如下三種狀況不合題意，應(yīng)當(dāng)排險(xiǎn)：（1）0在首位的，有 個(gè)；（2）0在百位或十位，但2與3相鄰的，有 個(gè)（3）0在個(gè)位的，但2與3相鄰的，有 個(gè)因此，含有0的符合條件的四位數(shù)

13、共有 =30個(gè)于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個(gè)點(diǎn)評(píng)：解決元素不相鄰的排列問(wèn)題，一般接受“插空法”，即先將符合已知條件的部分元素排好，再將有“不相鄰”要求的元素插空放入；解決元素相鄰的排列問(wèn)題，一般接受“捆綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，作為一個(gè)大元素與其它元素進(jìn)行排列，進(jìn)而再考慮大元素內(nèi)部之間的排列問(wèn)題。例6、某人在打靶時(shí)射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)裘械?槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8槍?zhuān)础懊小迸c“不命中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有（ ）A.720種 B.480種 C.24種 D.20種分析：首先，對(duì)未命中的4槍進(jìn)行排列，它們形成5個(gè)空擋，留意到未命中的4

14、槍“地位公平”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個(gè)元素，與命中的另一槍從前面5個(gè)空格中選2個(gè)排進(jìn)去，有 種排法，于是由乘法原理知，不同的報(bào)告結(jié)果菜有 種點(diǎn)評(píng)：這里的情形與前面不同，依據(jù)問(wèn)題的實(shí)際狀況理解，未命中的4槍“地位公平”，連續(xù)命中的3槍亦“地位公平”。因此，第一步排法只有一種，其次步的排法種數(shù)也不再乘以 。解決此類(lèi)“相同元素”的排列問(wèn)題，切忌照搬計(jì)算相同元素的排列種數(shù)的方法，請(qǐng)讀者引起留意。例7、（1） ；（2）若 ，則n=；（3） ；（4）若 ，則n的取值集合為 ；（5）方程 的解集為 ；解：（1）留意到n滿足的條件 原式= （2）運(yùn)用楊輝恒等式，已知等式 所求n=4。（3）

15、依據(jù)楊輝恒等式 原式= = = = （4）留意到這里n滿足的條件n5且nN* 在之下，原不等式 由、得原不等式的解集為5，6，7，11（5）由 留意到當(dāng)y=0時(shí)， 無(wú)意義，原方程組可化為 由此解得 經(jīng)檢驗(yàn)知 是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了3套卡片，每套卡片有寫(xiě)上A、B、C、D、E字母的卡片各一張，若從這15張卡片中，每次取出5張，則字母不同，且3種顏色齊全的取法有多少種？解：符合條件的取法可分為6類(lèi)第一類(lèi)：取出的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有 種取法；其次類(lèi)：取出的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有 種取法；第三類(lèi)：取出的5張卡片中，1張紅色，3張黃

16、色，1張綠色，有 種取法；第四類(lèi)：取出的5張卡片中，2張紅色，1張黃色，2張綠色，有 種取法；第五類(lèi)：取出的5張卡片中，2張紅色，2張黃色，1張綠色，有 種取法；第六類(lèi)：取出的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有 種取法；于是由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，符合條件的取法共有 點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于分類(lèi)，分類(lèi)爭(zhēng)辯必需選擇適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，在這里，以紅色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行主分類(lèi)，以黃色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行次分類(lèi)，主次結(jié)合，確保分類(lèi)的不重不漏，這一思路值得學(xué)習(xí)和借鑒。例9、（1）從5雙不同的襪子中任取4只，則至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？（2）設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球和編號(hào)為1

17、，2，3，4，5的五個(gè)盒子，將五個(gè)小球放入五個(gè)盒子中（每個(gè)盒子中放一個(gè)小球），則至少有兩個(gè)小球和盒子編號(hào)相同的放法有多少種？（3）將四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共多少種？（4）某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn)品測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則最終一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)覺(jué)的不同狀況有多少種？解：（1）滿足要求的取法有兩類(lèi)，一類(lèi)是取出的4只襪子中恰有2只配對(duì)，這只要從5雙襪子中任取1雙，再?gòu)钠溆?雙中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有 種選法；另一類(lèi)是4只襪子恰好配成兩雙，共有 種選法，于是由加法原理知，符合要

18、求的取法為 種。（2）符合條件的放法分為三類(lèi)：第一類(lèi)：恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只需先從5個(gè)中任取兩個(gè)放入編號(hào)相同的盒子中，有 種放法，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)小球中取出1個(gè)放入與其編號(hào)不同的盒子中，有 種方法，則最終剩下的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有1種放法，故此類(lèi)共有 種不同方法；其次類(lèi)：恰有3個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只需先從5個(gè)中任取三個(gè)放入編號(hào)相同的盒子中，有 種放法，則最終剩下的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有1種放法，故此類(lèi)共有 種不同方法；第三類(lèi)：恰有5個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只有1種方法；于是由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設(shè)計(jì)分三步完成：第一步，取定

19、三個(gè)空盒（或取走一個(gè)空盒），有 種取法；其次步，將4個(gè)小球分為3堆，一堆2個(gè)，另外兩堆各一個(gè)，有 種分法；第三步，將分好的3堆小球放入取定的3個(gè)空盒中，有 種放法；于是由乘法原理得共有： 種不同方法。（4）分兩步完成：第一步，支配第五次測(cè)試，由于第五次測(cè)試測(cè)出的是次品，故有 種方法；其次步，支配前4次測(cè)試，則在前四次測(cè)試中測(cè)出3只次品和1只正品的方法種數(shù)為 。于是由分布計(jì)數(shù)原理可知，共有 種測(cè)試方法。點(diǎn)評(píng)：為了消滅題設(shè)條件中的“巧合”，我們需要考慮對(duì)特殊情形的“有意設(shè)計(jì)”，本例（1）則是這種“有意設(shè)計(jì)”的典型代表，而這里的（3），則是先“分堆”后“安排”的典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、

20、過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有（ ）A、18對(duì) B、24對(duì) C、30對(duì) D、36對(duì)分析：留意到任一四周體中異面直線的對(duì)數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對(duì)數(shù)，首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四周體個(gè)數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成 個(gè)四周體，而每一四周體有3對(duì)異面直線，故共有36對(duì)異面直線，應(yīng)選D。2、不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有（ ）A、3個(gè) B、4個(gè) C、6個(gè) D、7個(gè)分析：不共面的四點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四周體，取四周體各棱中點(diǎn)，分別過(guò)有公共頂點(diǎn)的三棱中點(diǎn)可得到與相應(yīng)底面平行的4個(gè)截面，這4個(gè)截面到四個(gè)定點(diǎn)距離相等；又與三組對(duì)棱分別平行且等距的平面有3個(gè)，故符合條

21、件的平面共7個(gè)，應(yīng)選D。3、北京財(cái)寶全球論壇期間，某高校有14名志愿者參與接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（ ）A、 B、 C、 D、 分析：排班工作分三步完成：第一步，從14人中選出12人，有 種選法；其次步，將第一步選出的12人平均分成三組，有 種分法；第三步，對(duì)其次步分出的3組人員在三個(gè)位置上支配，有 種排法；于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為 ，應(yīng)選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市巡游，要求每個(gè)城市各一人巡游，每人只巡游一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎巡游，則不同的選擇方案共有（ ）A、300種

22、B、240種 C、114種 D、96種分析：留意到甲、乙兩人不去巴黎，故選人分三類(lèi)狀況（1）不選甲、乙，不同方案有 種；（2）甲、乙中選1人，不同方方案有 種；（3）甲、乙均入選，不同方案有 種；于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為24+144+72=240，應(yīng)選B。5、4位同學(xué)參與某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)章規(guī)定：每位同學(xué)必需從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得-100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得-90分，若4位同學(xué)的總分為0，則這四位同學(xué)不同的得分狀況的種數(shù)是（ ）A、48 B、36 C、24 D、18分析：留意到狀況的簡(jiǎn)單，故考慮從“分類(lèi)”切入第一類(lèi)：四人全選甲題，2人答

23、對(duì)，2人答錯(cuò)，有 種狀況；其次類(lèi)：2人選甲題一對(duì)一錯(cuò)，2人選乙題一對(duì)一錯(cuò)，有 種狀況；第三類(lèi)：四人全選乙題，2對(duì)2錯(cuò)，有 種狀況。于是由加法原理得不同得分狀況共有 種，應(yīng)選B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危急的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是平安的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品，那么平安存放的不同方法種數(shù)為（ ）A、96 B、48 C、24 D、0分析：本題的關(guān)鍵是找“異面直線對(duì)”的個(gè)數(shù)，設(shè)四棱錐為S-ABCD，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的棱只能分成4組，每組兩條棱（否則三條棱必有公共點(diǎn)），每8條棱分成4組，每組兩條

24、無(wú)公共點(diǎn)的棱僅有下面兩種狀況：（1）SACD；SBAD；SCAB；SDBC （本組中同一棱不重復(fù)消滅）（2）SABC；SBCD；SCAD；SDAB（本組中同一條棱不重復(fù)消滅）于是問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個(gè)不同倉(cāng)庫(kù)的排列問(wèn)題，故不同的支配分法是 種，應(yīng)選B。（二）填空題1、在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整 除的數(shù)共有（ ）個(gè)。分析：考慮直接解法：這樣四位數(shù)的個(gè)位數(shù)為1，2，3，4中的一個(gè)，有 種法，千位從余下的4個(gè)非零數(shù)當(dāng)中任取一個(gè)是 種排法；中間兩位是 種排法，于是由分步計(jì)數(shù)原理知，共是： 種不同排法，應(yīng)填192。2、用1、2、3、4、5、6、7

25、、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有（ ）個(gè)（用數(shù)字作答）。分析：第一步，將1與2，3與4，5與6組成3個(gè)大元素進(jìn)行排列，是 種排法；其次步，將7與8插入上述3個(gè)大元素隊(duì)列的間隙或兩端，是 種方法；第三步，對(duì)3個(gè)大元素內(nèi)部進(jìn)行全排列，各是 種方法；于是由分步計(jì)數(shù)原理得共有 個(gè)，應(yīng)填576。3、從集合O、P、Q、R、S與0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個(gè)元素排成一排（字母與數(shù)字均不能重復(fù)）。每排中字母O、Q和數(shù)字0至多只消滅一個(gè)的不同排法種數(shù)是（ ）分析：考慮分類(lèi)計(jì)算第一類(lèi)：字母O、Q和數(shù)字0均不消滅，是 種排法；

26、其次類(lèi)：字母O、Q消滅一個(gè)，數(shù)字0不消滅，是 種排法；第三類(lèi)：字母O、Q不消滅，數(shù)字0消滅，是 種排法；于是分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共是2592+5184+648=8424種不同排法，應(yīng)填8424。點(diǎn)評(píng)：以受限制的字母O、Q和數(shù)字0消滅的狀況為主線進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中又合理地設(shè)計(jì)步驟，是分解題的關(guān)鍵所在，以某些特殊元素為主線進(jìn)行分類(lèi)是解決簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題的基本策略。方法歸納1 重復(fù)排列“住店法” 重復(fù)排列問(wèn)題要區(qū)分兩類(lèi)元素：一類(lèi)可以重復(fù)，另一類(lèi)不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過(guò)“住店法”可順當(dāng)解題。例1 8名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有 （ ） A B C D

27、 解析 冠軍不能重復(fù)，但同一個(gè)同學(xué)可獲得多項(xiàng)冠軍。把8名同學(xué)看作8家“店”，3項(xiàng)冠軍看作3個(gè)“客”，他們都可住進(jìn)任意一家“店”，每個(gè)客有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。選（A）。 評(píng)述類(lèi)似問(wèn)題較多。如：將8封信放入3個(gè)郵筒中，有多少種不同的結(jié)果？這時(shí)8封信是“客”，3個(gè)郵筒是“店”，故共有種結(jié)果。要留意這兩個(gè)問(wèn)題的區(qū)分。2 特色元素“優(yōu)先法”某個(gè)（或幾個(gè)）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）支配好，后再支配其它元素。 例2乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名參與競(jìng)賽，3名主力隊(duì)員要支配在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名支配在其次、四位置，那么不同的出場(chǎng)支配共有_種（用數(shù)字作答）。解

28、析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先支配，有種可能；然后從其余7名隊(duì)員選2名支配在其次、四位置，有種排法。因此結(jié)果為=252種。例3 5個(gè)“1”與2個(gè)“2”可以組成多少個(gè)不同的數(shù)列？解析按肯定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個(gè)位置不同，故只要優(yōu)先選兩個(gè)位置支配好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以組成=21個(gè)不同的數(shù)列。3 相鄰問(wèn)題“捆綁法” 把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，與其余一般元素全排列，是為“捆綁法”，又稱(chēng)為“大元素法”。不過(guò)要留意“大元素”內(nèi)部還需要進(jìn)行排列。 例4有8本不同的書(shū)，其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外文書(shū)2本，其他書(shū)3本

29、，若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，則數(shù)學(xué)書(shū)恰好排在一起，外文書(shū)也恰好排在一起的排法共有_種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學(xué)書(shū)與外文書(shū)分別捆在一起與其它3本書(shū)一起排，有種排法，再將3本數(shù)學(xué)書(shū)之間交換有種，2本外文書(shū)之間交換有種，故共有=1440種排法。 評(píng)述這里需要說(shuō)明的是，有一類(lèi)問(wèn)題是兩個(gè)已知元素之間有固定間隔時(shí)，也用“捆綁法”解決。如：7個(gè)人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問(wèn)有多少種不同的排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對(duì)調(diào)，而且中間一人可從其余5人中任取，故共有種排法。4 相間問(wèn)題“插空法” 元素不相鄰問(wèn)題，先支配好其他元素，然后將不相鄰

30、的元素按要求插入排好的元素之間的空位和兩端即可。例5 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。假如將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 （ ）A 6 B 12 C 15 D 30解析原來(lái)的5個(gè)節(jié)目中間和兩端可看作分出6個(gè)空位。將兩個(gè)新節(jié)目不相鄰插入，相當(dāng)于從6個(gè)位置中選2個(gè)讓它們按挨次排列，故有種排法，選（D）。評(píng)述本題中的原有5個(gè)節(jié)目不需要再排列，這一點(diǎn)要留意。請(qǐng)練習(xí)以下這道題：大路上有編號(hào)為1、2、3、10的十盞路燈，為節(jié)省用電又能照明，現(xiàn)預(yù)備把其中的三盞燈，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，兩端的燈也不許關(guān)掉，求不同的關(guān)燈方式有多少種

31、？可得結(jié)果為=20種。你能很快求解嗎？5 多元問(wèn)題“分類(lèi)法” 對(duì)于多個(gè)元素問(wèn)題，有時(shí)有多種狀況需要進(jìn)行分類(lèi)爭(zhēng)辯，然后依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理將各種可能性相加即得。需要留意的是，分類(lèi)時(shí)要不重復(fù)不遺漏。 例6 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種（用數(shù)字作答）。 解析先考慮A種在左邊的狀況，有三類(lèi)：A種植在最左邊第一壟上時(shí)，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊其次壟上時(shí)，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時(shí)，B只有一種種植方法。又B在左邊種植的狀況與A在左邊時(shí)相同。故共有=12種

32、不同的選壟方法。 例7 有11名翻譯人員，其中5名英語(yǔ)翻譯員，4名日語(yǔ)翻譯員，另2人英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通。從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作。問(wèn)這樣的安排名單共可開(kāi)出多少?gòu)垼?解析假設(shè)先支配英文翻譯，后支配日文翻譯。第一類(lèi)，從5名只能翻譯英文的人員中選4人任英文翻譯，其余6人中選4人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文），則有；其次類(lèi)，從5名只能翻譯英文的人員中選3人任英文翻譯，另從“多面手”中選1人任英文翻譯，其余剩下5人中選4人任日文翻譯，有；第三類(lèi)，從5名只能翻譯英文的人員中選2人任英文翻譯，另外支配2名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下4人全部任日文翻譯，有。三種情形相加即得結(jié)果185（張）。 評(píng)述本題當(dāng)然也可以先支配日文翻譯再支配英文翻譯，請(qǐng)大家自己列式看看。6 分球問(wèn)題“隔板法” 計(jì)數(shù)問(wèn)題中有一類(lèi)“分球問(wèn)題”，說(shuō)的是將相同的球分到不同的盒中。如：將10個(gè)相同的球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，要求