專題07 二次函數(shù)與冪函數(shù)(解析版)

1、專題七專題七 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)【高頻考點(diǎn)解讀】【高頻考點(diǎn)解讀】1.二次函數(shù)圖象的應(yīng)用及求最值是高考的熱點(diǎn)2.常將二次函數(shù)及相應(yīng)的一元二次不等式、一元二次方程交匯在一起命題，重點(diǎn)考查三者之間的綜合應(yīng)用3.高考主要考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，單獨(dú)考查的概率較低4.題型以選擇題、填空題為主，若與導(dǎo)數(shù)、解析幾何知識(shí)交匯，【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型一題型一二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象例 1、設(shè) abc0，二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是()【提分秘籍】【提分秘籍】分析二次函數(shù)的圖象，主要有兩個(gè)要點(diǎn)：一個(gè)是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；二是看對(duì)稱軸和最值

2、，它確定二次函數(shù)的具體位置對(duì)于函數(shù)圖象判斷類似題要會(huì)根據(jù)圖象上的一些特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷，如函數(shù)圖象與正半軸的交點(diǎn)、函數(shù)圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)等【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) yax2bxc，如果 abc 且 abc0，則它的圖象可能是()解析：選 D.abc，且 abc0，a0，c0.【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型題型二二二次函數(shù)性質(zhì)二次函數(shù)性質(zhì)例 2、已知函數(shù) f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng) a2 時(shí)，求 f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使 yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng) a1 時(shí)，求 f(|x|)的單調(diào)區(qū)間【提分秘籍】【提分秘籍】(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

3、主要有三種類型： 軸定區(qū)間定、 軸動(dòng)區(qū)間定、 軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x) x22ax3a21(a 0,0 x1)，求 f(x)的最大值和最小值【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型題型三三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)已知冪函數(shù) f(x)(mN*)(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若該函數(shù) f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2， 2)，試確定 m 的值，并求滿足條件 f(2a)f(a

4、1)的實(shí)數(shù) a的取值范圍【提分秘籍】【提分秘籍】本題集冪函數(shù)的概念、圖象及單調(diào)性于一體，綜合性較強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)1二次函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間m，n上的最值當(dāng)b2am 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間m，n上單調(diào)遞增，最小值為 f(m)，最大值為 f(n)當(dāng) mb2an 時(shí)，最小值為 f(b2a)4acb24a，最大值為 f(m)或 f(n)(m，n 與b2a距離較遠(yuǎn)的一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值)當(dāng)b2an 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間m，n上單調(diào)遞減，最小值為 f(n)，最大值為 f(m)2二次函數(shù)、二次方程、二次不等式之間的相互轉(zhuǎn)化(1)在研究一元二次方程根的分布問題時(shí)，常借助于二次

5、函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從開口方向；對(duì)稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解3冪函數(shù) yx(R)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底 x 為自變量，指數(shù)為常數(shù)，這是判斷一個(gè)函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)注意并不是任意的一次函數(shù)、二次函數(shù)都是冪函數(shù)，如 yx1，yx22x 等都不是冪函數(shù)【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng) a2 時(shí)，求 f (x)的最值；(2)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍，使 yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(3)當(dāng) a1 時(shí)，求 f(|x|)的單調(diào)區(qū)

6、間【熱點(diǎn)題型】【熱點(diǎn)題型】題型題型四四分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用例 4、已知函數(shù) f(x)ax2|x|2a1(a 為實(shí)常數(shù))(1)若 a1，作出函數(shù) f(x)的圖象；(2)設(shè) f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為 g(a)，求 g(a)的表達(dá)式【提分秘籍】【提分秘籍】在研究有關(guān)二次函數(shù)最值時(shí)一般用到分類討論思想，一是對(duì)二項(xiàng)式系數(shù) a 進(jìn)行討論，二是要對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論在分類討論時(shí)要遵循分類的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類時(shí)要做到不重不漏，三是能不分類的要盡量避免分類，絕不無原則的分類討論具體運(yùn)用時(shí)一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建

7、立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x)4x24ax4aa2(a0)在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)最大值5，則 a 的值為_【高考風(fēng)向標(biāo)】【高考風(fēng)向標(biāo)】1 （2014全國(guó)卷）若函數(shù) f(x)cos 2xasin x 在區(qū)間6，2 是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是_2 （2014浙江卷）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) f(x)xa(x0)，g(x)logax 的圖像可能是()ABCD3 （2013安徽卷）“a0”是“函數(shù) f(x)|(ax1)x|在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增”的()A充分不必要條件B必要不充

8、分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4 （2013湖南卷）函數(shù) f(x)2ln x 的圖像與函數(shù) g(x)x24x5 的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3B2C1D0【答案】B【解析】法一：作出函數(shù) f(x)2ln x，g(x)x24x5 的圖像如圖：可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2，選 B.5 （2013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù) f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù) yf(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C若 x0是 f(x)的極小值點(diǎn)，則 f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D若 x0是 f(x)的極值點(diǎn)，則 f(x0)06 （2013北京卷）函數(shù) f(x)的圖像向右平移 1

9、個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像與曲線 yex關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1【隨堂鞏固】【隨堂鞏固】1設(shè)函數(shù)f(x)ax22x3 在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_2已知點(diǎn)12，2在冪函數(shù)yf(x)的圖象上，點(diǎn)2，14 在冪函數(shù)yg(x)的圖象上，則f(2)g(1)_.3當(dāng)a_時(shí)，函數(shù)f(x)x22axa的定義域?yàn)?,1，值域?yàn)?,24設(shè)f(x)x22ax2，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_5 給出關(guān)于冪函數(shù)的以下說法： 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)； 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0)點(diǎn)；冪函數(shù)不可能既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；冪函

10、數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第四象限；冪函數(shù)在第一象限內(nèi)一定有圖象；冪函數(shù)在(，0)上不可能是遞增函數(shù)其中正確的說法有_6.某汽車運(yùn)輸公司，購買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位： 萬元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(xN N*)為二次函數(shù)的關(guān)系如圖所示， 則每輛客車營(yíng)運(yùn)_年，使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大6已知函數(shù)f(x)x21 的定義域?yàn)閍，b(ab)，值域?yàn)?,5，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)(a，b)的運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為_7已知二次函數(shù)yf(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為32，49，且方程f(x)0 的兩個(gè)實(shí)根之差等于 7，則此二次函數(shù)的解析式是_8如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc(a，b，

11、c為實(shí)數(shù)，a0)的圖象過點(diǎn)C(t,2)，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若ACBC，則a的值為_9已知函數(shù)f(x)|2x3|，若 02ab1，且f(2a)f(b3)，則T3a2b的取值范圍為_10已知函數(shù)f(x)x|x2|.(1)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)解不等式f(x)3；(3)設(shè) 0a2，求f(x)在0，a上的最大值解(1)f(x)的圖象如圖所示，所以f(x)的增區(qū)間為(，1)和(2，)，減區(qū)間為1,211已知函數(shù)f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR R 使f(x)bg(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍12 設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在區(qū)間2,2上的最大值、 最小值分別是M，m，集合Ax|f(x)x(1)若A1,2，且f(0)2，求M和m的值；(2)若A1，且a1，記g(a)Mm，求g(a)的最小值【解析】(1)由f(0)2 可知c2.又A1,2，故 1,2 是方程ax2(b1)x20 的兩實(shí)根所以121ba，