第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算一、必備知識1向量的有關概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(2)零向量：長度為的向量，其方向是的(3)單位向量：長度等于的向量(4)平行向量：方向的非零向量，又叫共線向量規(guī)定：0 與任一向量共線(5)相等向量：長度且方向的向量(6)相反向量：長度相等且方向的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：ab；結合律：(ab)c減法求a與b的相反向量b 的和的運算aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量 a 的積的運算|a|a|，當0 時，a 與 a 的方向相同；當0 時，a 與 a 的方向相反；當0 時，a

2、0( a)；()a；(ab)3共線向量定理向量 a(a0)與 b 共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得二、必記結論一、思考辨析判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)0 的模為 0，沒有方向()(2)若 ab，bc，則 ac.()二、牛刀小試1若向量 a 與 b 不相等，則 a 與 b 一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量D不可能都是單位向量2如圖，已知 D，E，F(xiàn) 分別是ABC 的邊 BC，AB，AC 的中點，則下列說法正確的是()34已知 a 與 b 是兩個不共線向量，且向量 ab 與(b3a)共線，則_考點一向量的概念例 1(1)給出下列命題：若|a|b|，則

3、 ab；若 A，B，C，D 是不共線的四點，則 ABDC是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件；若 ab，bc，則 ac；ab 的充要條件是|a|b|且 ab；其中正確命題的序號是()ABCD(2)設 a0為單位向量，若 a 為平面內的某個向量，則 a|a|a0；若 a 與 a0平行，則 a|a|a0；若 a 與 a0平行且|a|1，則 aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0B1C2D3解決向量的概念問題應關注五點(1)正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(4)向量可以平移，平移后的向量

4、與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談(5)非零向量 a 與a|a|的關系：a|a|是 a 方向上的單位向量給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量兩個向量不能比較大小，但它們的能比較大小a0(為實數(shù))，則必為零，為實數(shù)，若ab，則 a 與 b 共線其中錯誤的命題的個數(shù)為()A1B2C3D4考點二平面向量的線性運算平面向量的線性運算是每年高考的重點，題型多為選擇題和填空題，難度較小，屬中低檔題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：考查向量加法或減法的幾何意義例 2(2012遼寧高考)已知兩個非零向量 a，b 滿足|ab|ab|，則下面結論正確的是()AabBabC|

5、a|b|Dabab角度二：向量的線性運算角度三：與三角形相聯(lián)系求參數(shù)角度四：與平行四邊形相聯(lián)系，研究向量的關系平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合平行四邊形法則(2)求已知向量的和一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則(3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值求出向量的和或差與已知條件中的和式比較，然后求參數(shù)(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關系畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解考點三共線向量定理的應用例 6設兩個非零向量 a 和 b 不共線探究 2若將

6、本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則 k 為何值？2已知 a，b 是兩個不共線的非零向量，且 a 與 b 起點相同若 a，tb，13(ab)三向量的終點在同一直線上，則 t_課堂歸納通法領悟3個等價轉化與三點共線有關的等價轉化4個注意點向量線性運算應注意的問題(1)作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(2)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(3)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(4)利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合全盤鞏固一、選擇題3

7、下列說法正確的是()A若 a，b 都是單位向量，則 abB若 a 與 b 共線，b 與 c 共線，則 a 與 c 也共線C若 a 與 b 共線，則|ab|a|b|D若 a 與 b 不共線，則|ab|a|b|4設 a、b 都是非零向量，下列四個條件中，使a|a|b|b|成立的充分條件可以是()A|a|b|且 abBabCabDa2b5已知向量 a，b 不共線，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么()Ak1 且 c 與 d 同向Bk1 且 c 與 d 反向Ck1 且 c 與 d 同向Dk1 且 c 與 d 反向二、填空題三、解答題第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示一、必備知識1平面向量基本定理

8、如果e1， e2是同一平面內的兩個不共線向量， 那么對于這一平面內的任意向量a，一對實數(shù)1，2，使 a其中，不共線的向量 e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組2平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab，ab，a，|a|(2)向量坐標的求法：若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標3平面向量共線的坐標表示設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，則 ab二、必記結論1若 a 與 b 不共線且ab0，則0.3平面向量的基底中一定不含零向量一、思考辨析判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內

9、的任何兩個向量都可以作為一組基底()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)設 a，b 是平面內的一組基底，若實數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，12.()(5)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件可以表示成x1x2y1y2.()二、牛刀小試1已知 A(x，1)，B(2，y)，(3，4)，則 xy()A3B3C4D42(2015西寧模擬)若向量 a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，則 c()A3abB3abCa3bDa3b3下列各組向量：e1(1，2)，e2(5，7); e1(3，5)，e2(6，10)；e1(2，3)，e212，34 ，能作

10、為表示它們所在平面內所有向量基底的是()ABCD4已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，則 m_考點一平面向量基本定理的應用應用平面向量基本定理表示向量的實質應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的考點二平面向量的坐標運算例 2(1)已知點 M(5， 6)和向量 a(1， 2)， 若3a， 則點 N 的坐標為()A(2，0)B(3，6)C(6，2)D(2，0)(2)已知平面向量 a(1，1)，b(1，1)，則向量12a32b()A(2，1)

11、B(2，1)C(1，0)D(1，2)A(2，4)B(3，5)C(3，5)D(2，4)平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應用(1)求 3ab3c；(2)求滿足 ambnc 的實數(shù) m，n；(3)求 M，N 的坐標及向量的坐標考點三平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示是高考的常考內容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題，且主要有以下幾個命題角度：角度一：利用兩向量共線求參數(shù)例

12、3(2014陜西高考)設 00，若(a2b)(2ab)，則 x 的值為()A4B8C0D2二、填空題9在平面直角坐標系 xOy 中，四邊形 ABCD 的邊 ABDC，ADBC.已知點 A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，則 D 點的坐標為_三、解答題13已知 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求：(1)t 為何值時，P 在 x 軸上？P 在 y 軸上？P 在第二象限？(2)四邊形 OABP 能否成為平行四邊形？若能，求出相應的 t 值；若不能，請說明理由4平面內給定三個向量 a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求滿足 ambnc 的實數(shù) m，n；(2)若(akc)(2

13、ba)，求實數(shù) k;(3)若 d 滿足(dc)(ab)，且|dc| 5，求 d 的坐標第三節(jié)平面向量的數(shù)量積一、必備知識1向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量 a 和 b，作，則就是向量 a與 b 的夾角(2)范圍：設是向量 a 與 b 的夾角，則.(3)共線與垂直：若0，則 a 與 b；若180，則 a 與 b；若90，則 a 與 b2平面向量的數(shù)量積定義設兩個非零向量 a，b 的夾角為，則數(shù)量叫做 a 與 b 的數(shù)量積，記作 ab投影叫做向量 a 在 b 方向上的投影，叫做向量 b 在 a 方向上的投影幾何意義數(shù)量積 ab 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 的方向上的投影的乘積3.向

14、量數(shù)量積的運算律(1)ab；(2)(a)b(ab)；(3)(ab)c4平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，結論幾何表示坐標表示模|a|a|夾角cos cos ab 的充要條件二、必記結論1當 a 與 b 同向時，ab|a|b|.2當 a 與 b 反向時，ab|a|b|.3aaa2|a|2.4|ab|a|b|，當且僅當 a 與 b 共線時，等號成立一、思考辨析判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結果是向量()(3)由 ab0 可得

15、 a0 或 b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)abac(a0)，則 bc.()(6)若 ab0，則 a 和 b 的夾角為銳角；若 ab0，則 a 與 b 的夾角為銳角或 0；(2)若 ab0，則 a 與 b 的夾角為鈍角或 180.4個注意點向量運算中應注意的四個問題(1)在求ABC 的三邊所對應向量的夾角時， 要注意是三角形的內角還是外角 如在等邊三角形 ABC 中，AB與 BC的夾角應為 120而不是 60.(2)在平面向量數(shù)量積的運算中，不能從 ab0 推出 a0 或 b0 成立實際上由 ab0 可推出以下四種結論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，ab.(3)

16、實數(shù)運算滿足消去律：若 bcca，c0，則有 ba.在向量數(shù)量積的運算中，若 abac(a0)，則不一定有 bc.(4)實數(shù)運算滿足乘法結合律，但平面向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結合律，即(ab)c 不一定等于 a(bc)，這是由于(ab)c 表示一個與 c 共線的向量，而 a(bc)表示一個與 a 共線的向量，而 c 與 a 不一定共線.全盤鞏固一、選擇題1已知 a，b 均為單位向量，它們的夾角為3，則|ab|()A1B. 2C. 3D22(2015汕頭模擬)已知向量 a(2，1)，b(1，3)，若存在向量 c 使得 ac4，bc9, 則向量 c()A(3，2)B(4，3)C(3，2)D(2，

17、5)3已知向量 m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，則()A4B3C2D14 (2015 荊 州 模 擬 ) 在 ABC 中 ， C 90 ， 且 CA CB 3 ， 點 M 滿 足()A2B3C4D65(2015溫州模擬)已知|a|1，ab12，(ab)21，則 a 與 b 的夾角等于()A30B45C60D1207(2015淄博模擬)設單位向量 e1，e2的夾角是 60，ae1e2，be1te2，若向量 a，b 的夾角為銳角，則實數(shù) t 的取值范圍是()A(1，1)(1，)B(1，)C(，1)(1，1)D(，1)二、填空題9已知向量 a，b 滿足|a|4，|b|2，且(ab)b0，則向量 a 與 b 的夾角為_10 已知向量 a(1， 0)， b(1， 1)， 則與 2ab 同向的單位向量的坐標表示為_11已知兩個單位向量 a，b 的夾角為 60，cta(1t)b，若 bc0，則 t_12已知