樣本大小計(jì)算

1、第三章 樣本大小 樣本大小之選擇樣本大小之選擇 l樣本不要過大，過大浪費(fèi)成本；但也不要過小，樣本不要過大，過大浪費(fèi)成本；但也不要過小，過小則會(huì)有太大的抽樣誤差。過小則會(huì)有太大的抽樣誤差。l如何決定適當(dāng)?shù)臉颖敬笮?？在機(jī)率抽樣的情況如何決定適當(dāng)?shù)臉颖敬笮。吭跈C(jī)率抽樣的情況下，有關(guān)樣本大小的決定及樣本統(tǒng)計(jì)顯著性的判下，有關(guān)樣本大小的決定及樣本統(tǒng)計(jì)顯著性的判斷，可藉由機(jī)率法則的運(yùn)用。斷，可藉由機(jī)率法則的運(yùn)用。l但在非機(jī)率抽樣的情況下，除了依靠抽樣人員的但在非機(jī)率抽樣的情況下，除了依靠抽樣人員的主觀判斷或假設(shè)外，實(shí)無客觀之科學(xué)方法可資應(yīng)主觀判斷或假設(shè)外，實(shí)無客觀之科學(xué)方法可資應(yīng)用。用。估計(jì)平均數(shù)時(shí)的樣本

2、大小估計(jì)平均數(shù)時(shí)的樣本大小母體變異數(shù)已知母體變異數(shù)已知 l於母體變異數(shù)（於母體變異數(shù)（2）已知之情況下，樣本數(shù)（）已知之情況下，樣本數(shù)（n）之求算公式為：之求算公式為：l為顯著水準(zhǔn)或風(fēng)險(xiǎn)水準(zhǔn)，（為顯著水準(zhǔn)或風(fēng)險(xiǎn)水準(zhǔn)，（1-）即信賴係數(shù)或）即信賴係數(shù)或信賴水準(zhǔn)信賴水準(zhǔn)le為可容忍誤差為可容忍誤差l為母體標(biāo)準(zhǔn)差為母體標(biāo)準(zhǔn)差22/eZn常態(tài)分配之常態(tài)分配之z值值 l一般統(tǒng)計(jì)學(xué)之常態(tài)數(shù)值（一般統(tǒng)計(jì)學(xué)之常態(tài)數(shù)值（Z），係利用查常態(tài)分配），係利用查常態(tài)分配表（表（附錄附錄B）來得知。如：來得知。如：Z0.025為為1.96、Z0.05為為1.645。l但於但於Excel下，則可利用下，則可利用NORMSI

3、NV()標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配反函數(shù)來查得；配反函數(shù)來查得；l而若知道而若知道Z值，也可以值，也可以NORMSDIST()函數(shù)來求得函數(shù)來求得其機(jī)率。其機(jī)率。標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配NORMSDIST() NORMSDIST(z)l求自標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配（求自標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配（ = 0， = 1）的左尾開始，）的左尾開始，累加到累加到z值處的總面積（機(jī)率）。即，下圖之陰影值處的總面積（機(jī)率）。即，下圖之陰影部份：部份：l有了此函數(shù)，即可省去查常態(tài)分配表某有了此函數(shù)，即可省去查常態(tài)分配表某z值之機(jī)率值之機(jī)率的麻煩。如的麻煩。如：（詳詳範(fàn)例範(fàn)例Ch03.xlsNORMSDIST工作表）工作表） =NORMS

4、DIST(-1.96)為為0.025=NORMSDIST(-1.645)為為0.05=NORMSDIST(0)為為0.5=NORMSDIST(1.96)為為0.975l常態(tài)分配（常態(tài)分配（normal distribution）是次數(shù)分配呈）是次數(shù)分配呈中間集中，而逐漸向左右兩端勻稱分散的鐘形曲中間集中，而逐漸向左右兩端勻稱分散的鐘形曲線分佈。根據(jù)中央極限定理，不論原母體的分配線分佈。根據(jù)中央極限定理，不論原母體的分配為何？只要樣本數(shù)夠大（為何？只要樣本數(shù)夠大（n=30），樣本平均數(shù)），樣本平均數(shù)的分配，會(huì)趨近於常態(tài)分配。的分配，會(huì)趨近於常態(tài)分配。標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配反函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配反函數(shù)NORMS

5、INV() NORMSINV(probability)l於標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配（於標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配（ = 0， = 1），求某累計(jì)機(jī)率），求某累計(jì)機(jī)率所對(duì)應(yīng)之所對(duì)應(yīng)之Z值。有了此函數(shù)，即可省去查常態(tài)分配值。有了此函數(shù)，即可省去查常態(tài)分配表之表之Z值的麻煩。如值的麻煩。如：（詳範(fàn)例光碟（詳範(fàn)例光碟Ch03.xlsNORMSINV工作表）工作表）l=NORMSINV(0.025)為為-1.96l=NORMSINV(0.5)為為0l=NORMSINV(0.95) 為為1.645l=NORMSINV(0.975)為為1.96標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表 l一般統(tǒng)計(jì)學(xué)之教科書，均會(huì)附有標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表一般統(tǒng)計(jì)學(xué)之教科

6、書，均會(huì)附有標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表（如：（如：附錄附錄B），以利查常態(tài)數(shù)值（，以利查常態(tài)數(shù)值（Z）。）。l由於，常態(tài)分配是對(duì)稱的分配，故一般僅附上正值由於，常態(tài)分配是對(duì)稱的分配，故一般僅附上正值之部分，表內(nèi)之累計(jì)機(jī)率，是由之部分，表內(nèi)之累計(jì)機(jī)率，是由Z值為值為0時(shí)開始累計(jì)。時(shí)開始累計(jì)。如：如：Z值值1.96，查得，查得1.96之之0.475，表示由標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)，表示由標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配中央（分配中央（Z=0）開始，累計(jì)到）開始，累計(jì)到Z=1.96的機(jī)率。即，的機(jī)率。即，下圖之陰影部份：下圖之陰影部份：l如要查負(fù)值之部份，仍以正值查表。然後，以如要查負(fù)值之部份，仍以正值查表。然後，以0.5減去表內(nèi)之累計(jì)機(jī)率即可。

7、如：減去表內(nèi)之累計(jì)機(jī)率即可。如：Z值值-1.96，查得，查得1.96之之0.475，以，以0.5-0.475=0.025，即是自左尾開，即是自左尾開始累計(jì)到始累計(jì)到Z值為值為-1.96的機(jī)率。的機(jī)率。l相反地，若要計(jì)算由相反地，若要計(jì)算由Z值為值為-1.96開始累計(jì)到右尾開始累計(jì)到右尾的機(jī)率，則將查得之值（的機(jī)率，則將查得之值（0.475）加上）加上0.5，即，即0.975。通常，。通常，=0.05時(shí)，如要查時(shí)，如要查Z/2值，是找尋值，是找尋右尾機(jī)率為右尾機(jī)率為0.025時(shí)之時(shí)之Z值，即找出由左尾累積得值，即找出由左尾累積得0.975之之Z值值1.96。l若用若用Excel之之NORMSIN

8、V()函數(shù)來求算，其公式應(yīng)函數(shù)來求算，其公式應(yīng)為：（詳為：（詳依依査査Z值值工作表）工作表）=NORMSINV(1-0.05/2)l於於Excel下，利用下，利用NORMSDIST()函數(shù)即可輕易建立函數(shù)即可輕易建立標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表。（詳標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配表。（詳常態(tài)分配表常態(tài)分配表工作表）工作表） 1.於於A2輸入輸入Z字串，字串，A3輸入輸入0.0（僅顯示（僅顯示0），），A4輸入輸入0.12.選取選取A3:A4，按，按增加小增加小數(shù)位鈕，使兩數(shù)均可有一數(shù)位鈕，使兩數(shù)均可有一位小數(shù)位小數(shù)3.拖曳拖曳A3:A4右下角之複製控右下角之複製控點(diǎn)，拉到點(diǎn)，拉到A33位置，複製出位置，複製出0.0、0.1、

9、0.2、2.9、3.0等數(shù)值等數(shù)值4.於於B1輸入輸入Z值的小數(shù)第二值的小數(shù)第二位字串位字串5.於於B2輸入輸入Z字串，輸入字串，輸入0.00（僅顯示（僅顯示0），），C2輸入輸入0.016.選取選取B2:C2，按，按增加小增加小數(shù)位鈕，使兩數(shù)均可有數(shù)位鈕，使兩數(shù)均可有2位位小數(shù)小數(shù)7.拖曳拖曳B2:C2右下角之複製控右下角之複製控點(diǎn)，拉到點(diǎn)，拉到K2位置，複製出位置，複製出0.00、0.01、0.02、0.08、0.09等數(shù)值等數(shù)值8.於於B2:K2尚呈選取之狀態(tài)，執(zhí)行格式尚呈選取之狀態(tài)，執(zhí)行格式(F)/欄欄(C)/自動(dòng)調(diào)整自動(dòng)調(diào)整(A)，調(diào)整成最適欄寬，調(diào)整成最適欄寬9.選取選取B1:K1

10、，按，按跨欄置中鈕，讓跨欄置中鈕，讓Z值的值的小數(shù)第二位字串，於這幾欄內(nèi)跨欄置中小數(shù)第二位字串，於這幾欄內(nèi)跨欄置中10.於於B3輸入輸入=NORMSDIST($A3+B$2)-0.510.按四次按四次增加小數(shù)位鈕，使其固定為增加小數(shù)位鈕，使其固定為4位位小數(shù)。小數(shù)。11.執(zhí)行格式執(zhí)行格式(F)/欄欄(C)/自動(dòng)調(diào)整自動(dòng)調(diào)整(A)，調(diào)整成最，調(diào)整成最適欄寬適欄寬13.拖曳其右下角之複製控點(diǎn)，往右複製到拖曳其右下角之複製控點(diǎn)，往右複製到K314.於於B3:K3尚呈選取之狀態(tài)，執(zhí)行尚呈選取之狀態(tài)，執(zhí)行格式格式(F)/欄欄(C)/自動(dòng)調(diào)整自動(dòng)調(diào)整(A)，調(diào)整成最適欄寬，調(diào)整成最適欄寬15.雙按雙按K3

11、右下角之複製控點(diǎn)，將右下角之複製控點(diǎn)，將B3:K3往下複製到往下複製到K33，即完成整個(gè)建表工作，即完成整個(gè)建表工作母體變異數(shù)已知時(shí)的樣本大小母體變異數(shù)已知時(shí)的樣本大小 l母體變異數(shù)（母體變異數(shù)（2）愈大，表其分散程度愈大，所）愈大，表其分散程度愈大，所需之樣本數(shù)就愈大。需之樣本數(shù)就愈大。l可容忍誤差（可容忍誤差（e）愈小，所需之樣本數(shù)就愈大。）愈小，所需之樣本數(shù)就愈大。lZ值係由顯著水準(zhǔn)（值係由顯著水準(zhǔn)（）的大小來決定，）的大小來決定，愈小愈小Z值值愈大，愈大，Z值愈大樣本數(shù)就愈大。值愈大樣本數(shù)就愈大。22/eZnl假定，母體變異數(shù)假定，母體變異數(shù)2=6.25（=2.5），於風(fēng)險(xiǎn)顯），於風(fēng)險(xiǎn)

12、顯著水準(zhǔn)著水準(zhǔn)=0.05（Z/2=1.96）的情況下，希望對(duì)母）的情況下，希望對(duì)母體均數(shù)體均數(shù)的估計(jì)誤差的估計(jì)誤差e不超過不超過0.3，其樣本數(shù)應(yīng)為多，其樣本數(shù)應(yīng)為多大？大？l將將=2.5與與Z/2=1.96代入公式代入公式至少應(yīng)取得至少應(yīng)取得267個(gè)樣本，才能有個(gè)樣本，才能有95%的保證其誤差的保證其誤差不超過不超過0.3。（詳。（詳估計(jì)均數(shù)樣本數(shù)估計(jì)均數(shù)樣本數(shù)已知已知工作工作表）表）2673 . 05 . 296. 12nlB欄各儲(chǔ)存格之公式分別為：欄各儲(chǔ)存格之公式分別為：母體標(biāo)準(zhǔn)差母體標(biāo)準(zhǔn)差=SQRT(B1)Z/2=NORMSINV(1-B3/2)樣本數(shù)樣本數(shù)n=(B4*B2)/B5)2

13、l假定，電力公司根據(jù)過去之調(diào)查經(jīng)驗(yàn)，知道用戶假定，電力公司根據(jù)過去之調(diào)查經(jīng)驗(yàn)，知道用戶用電度數(shù)的母體變異數(shù)為用電度數(shù)的母體變異數(shù)為48000（2=48000）、）、於顯著水準(zhǔn)於顯著水準(zhǔn)=0.05（Z/2=1.96）的情況下，希望）的情況下，希望對(duì)母體平均用電度數(shù)對(duì)母體平均用電度數(shù)的估計(jì)誤差不超過的估計(jì)誤差不超過5度，其度，其樣本數(shù)應(yīng)為多大樣本數(shù)應(yīng)為多大？l至少應(yīng)取得至少應(yīng)取得7376個(gè)樣本，才能有個(gè)樣本，才能有95%的保證其估的保證其估計(jì)誤差不超過計(jì)誤差不超過5度：（詳度：（詳估計(jì)均數(shù)樣本數(shù)估計(jì)均數(shù)樣本數(shù)已知已知1工作表）工作表）馬上練習(xí)馬上練習(xí) l以以大學(xué)生零用金樣本數(shù)大學(xué)生零用金樣本數(shù)工作

14、表進(jìn)行計(jì)算，假工作表進(jìn)行計(jì)算，假定，大學(xué)生之平均每月零用錢為定，大學(xué)生之平均每月零用錢為1200元，其變異元，其變異數(shù)為數(shù)為368,560。至少應(yīng)取得多少樣本？才能有。至少應(yīng)取得多少樣本？才能有95%的信賴水準(zhǔn)，保證其估計(jì)誤差不超過的信賴水準(zhǔn)，保證其估計(jì)誤差不超過100元。元。 平方根平方根SQRT()函數(shù)函數(shù) SQRT(number)l本函數(shù)是用來求某數(shù)值的平方根，若數(shù)值為負(fù)本函數(shù)是用來求某數(shù)值的平方根，若數(shù)值為負(fù)值，本函數(shù)將回應(yīng)值，本函數(shù)將回應(yīng)#NUM!之錯(cuò)誤。如：（詳之錯(cuò)誤。如：（詳平平方根方根工作表）工作表）l事實(shí)上，有無此函數(shù)並不很重要。利用事實(shí)上，有無此函數(shù)並不很重要。利用 運(yùn)算符

15、運(yùn)算符號(hào)也可達(dá)成開方之動(dòng)作。如：號(hào)也可達(dá)成開方之動(dòng)作。如：=64(1/2)之結(jié)果即之結(jié)果即=SQRT(64)；但若要求開三方，那；但若要求開三方，那SQRT()可就無可就無能為力了。但仍可利用能為力了。但仍可利用 運(yùn)算符號(hào)來解決（乘冪運(yùn)算符號(hào)來解決（乘冪為為1/3即等於開三方）：即等於開三方）： 母體變異數(shù)未知的樣本大小母體變異數(shù)未知的樣本大小 l事實(shí)上，實(shí)務(wù)上很多數(shù)情況是無法得知母體變異事實(shí)上，實(shí)務(wù)上很多數(shù)情況是無法得知母體變異數(shù)（數(shù)（2）。若是母體變異數(shù)未知，則可以過去調(diào)）。若是母體變異數(shù)未知，則可以過去調(diào)查之樣本變異數(shù)（查之樣本變異數(shù)（S2）來替代。）來替代。l若過去也無類似之調(diào)查，可先

16、做一小規(guī)模試查，若過去也無類似之調(diào)查，可先做一小規(guī)模試查，以利計(jì)算樣本變異數(shù)。以利計(jì)算樣本變異數(shù)。l然後，再來計(jì)算樣本數(shù)：然後，再來計(jì)算樣本數(shù)： 22/eSZnl於於Excel中，樣本變異數(shù)可以中，樣本變異數(shù)可以VAR()函數(shù)來求得，函數(shù)來求得，其語(yǔ)法為：其語(yǔ)法為：VAR(number1,number2,.)l由於，母體變異數(shù)未知。故舉行一次試訪，以由於，母體變異數(shù)未知。故舉行一次試訪，以估計(jì)均數(shù)估計(jì)均數(shù)樣本數(shù)樣本數(shù)未知未知工作表，取得工作表，取得120位大學(xué)生之手機(jī)平均月位大學(xué)生之手機(jī)平均月費(fèi)。計(jì)算出其樣本變異數(shù)（費(fèi)。計(jì)算出其樣本變異數(shù)（S2）為）為109,593、於顯著水準(zhǔn)、於顯著水準(zhǔn)=0

17、.05（Z/2=1.96）的情況下，希望對(duì)母體手機(jī)平均月費(fèi)）的情況下，希望對(duì)母體手機(jī)平均月費(fèi)的估計(jì)誤差不超過的估計(jì)誤差不超過30元，其樣本數(shù)應(yīng)為多大？元，其樣本數(shù)應(yīng)為多大？馬上練習(xí)馬上練習(xí) l由於，母體變異數(shù)未知。故舉行了一次試訪，取得由於，母體變異數(shù)未知。故舉行了一次試訪，取得40位大位大學(xué)生之信用卡每月平均簽帳金額。（詳學(xué)生之信用卡每月平均簽帳金額。（詳信用卡問卷樣本信用卡問卷樣本數(shù)數(shù)工作表）於風(fēng)險(xiǎn)顯著水準(zhǔn)工作表）於風(fēng)險(xiǎn)顯著水準(zhǔn)=0.05（Z/2=1.96）的情況）的情況下，希望對(duì)母體信用卡每月平均簽帳金額下，希望對(duì)母體信用卡每月平均簽帳金額的估計(jì)誤差不的估計(jì)誤差不超過超過50元，其樣本數(shù)

18、應(yīng)為多大？元，其樣本數(shù)應(yīng)為多大？估計(jì)比率時(shí)的樣本大小估計(jì)比率時(shí)的樣本大小 l若研究目的是在估計(jì)比率（若研究目的是在估計(jì)比率（p, proportion），其），其樣本數(shù)（樣本數(shù)（n）之求算公式為：）之求算公式為：lp為母體的真正比率為母體的真正比率l為風(fēng)險(xiǎn)顯著水準(zhǔn)，（為風(fēng)險(xiǎn)顯著水準(zhǔn)，（1-）即信賴係數(shù)）即信賴係數(shù)le為可容忍誤差為可容忍誤差22/eZnplp為母體標(biāo)準(zhǔn)差，其運(yùn)算公式為：為母體標(biāo)準(zhǔn)差，其運(yùn)算公式為：l將其代入上式，即可獲致新的樣本數(shù)（將其代入上式，即可獲致新的樣本數(shù)（n）公式：）公式：nppp)1 ( 222/)1 (eppZnl不過，通常我們是無法得知母體之真正比率不過，通常我們是無法得知母體之真正比率p，要，要計(jì)算樣本數(shù)時(shí)，則以過去之調(diào)查結(jié)果替代。假定，計(jì)算樣本數(shù)時(shí)，則以過去之調(diào)查結(jié)果替代。假定，上個(gè)月支持執(zhí)政黨之比率為上個(gè)月支持執(zhí)政黨之比率為38%(p)。這個(gè)月，於。這個(gè)月，於95%的信賴水準(zhǔn)下（的信賴水準(zhǔn)下（=0.05），希望調(diào)查結(jié)果之支），希望調(diào)查結(jié)果之支持率的允許誤差（持率的允許誤差（e）為）為3%，應(yīng)取樣多少，應(yīng)取樣多少？l至少應(yīng)取得至少應(yīng)取得1006個(gè)樣本，才有個(gè)樣本，