冪級數(shù)收斂域和函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)一一. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)1.定義 )()()(21xuxuxun1)(nnxu函數(shù)項(xiàng)級數(shù))(xun是定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)列在 I 中任取一點(diǎn) ,就得到一個數(shù)項(xiàng)級數(shù)0 x10)(nnxu )()()(00201xuxuxun收斂, 收斂點(diǎn)0 x0 x發(fā)散, 發(fā)散點(diǎn) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的全體收斂點(diǎn)的集合稱為收斂域2.收斂域3.和函數(shù)： 在收斂域內(nèi)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和依賴于點(diǎn)x，因此其和是x的函數(shù)，稱為和函數(shù)1)()(nnxuxS4.余項(xiàng):)()()(xSxSxrnn前n項(xiàng)的部分和在收斂域內(nèi)才有意義,且 0)(limxrnn二二. 冪級數(shù)及其收斂性

2、冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)各項(xiàng)都是冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一般形式: nnxxaxxaxxaa)()()(0202010 nnxaxaxaa2210特例系數(shù)(1)(2)主要討論(2),因?yàn)?1)可以通過變量代換化成(2)1.冪級數(shù)的收斂域x = 0 時(2)收斂,一般的,冪級數(shù)收斂域是一區(qū)間.例 nnnxxxx2111由等比級數(shù)的性質(zhì), 時收斂, 時發(fā)散1|x1|x則收斂域(1,1)內(nèi)xxxxn 1112定理1 (阿貝爾定理) 如果 ：0nnnxa1.在點(diǎn) 收斂,)0(0 xx則當(dāng) 時，它絕對收斂|0 xx 2.在點(diǎn) 發(fā)散,)0(0 xx則當(dāng) 時，它發(fā)散.|0 xx 推論 設(shè) 存在非零的收斂點(diǎn),又存在發(fā)

3、散點(diǎn),則0nnnxa存在R0,使得當(dāng) |x|R 時它發(fā)散注:三種收斂情形:(1) 僅在 x = 0 處收斂;(2) 在 內(nèi)處處收斂;),(3) 在(R,R )內(nèi)收斂,端點(diǎn)另外討論收斂區(qū)間R收斂半徑收斂半徑R= 0R= + 2.收斂半徑的求法定理21limnnnaaR(證明略)例 求收斂半徑和收斂域11) 1().1 (nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx =1 時111) 1(nnn收斂； x =1時)1(1nn收斂域是(1，1發(fā)散1limnnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn 收斂域是(，）僅

4、在 x =0 點(diǎn)收斂11)2() 1().4(nnnnx設(shè) x2 t ,由(1)知11) 1(nnnnt收斂域是(1,3收斂域是(1,1023).5(nnnx令2xt 00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt =3 時t =3時11n發(fā)散1) 1(nn發(fā)散收斂域是(3,3)收斂域是)3,3(0123).6(nnnx缺少偶次項(xiàng),無法用公式，可以用比值法求Rnnnuu1lim212132|3133limxxxnnnnn1時,收斂.1時,發(fā)散.則收斂區(qū)間為3x時,發(fā)散.)3,3(注:缺少奇次項(xiàng),也可以用此方法.1)2(31).7(nnnnnx31) 1(3213321l

5、im) 1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.31211)2(3331處發(fā)散所以原級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，且時，因?yàn)楫?dāng)xnnnxnnnn.31)2(32) 1(,1)2(321) 1(1)2(3)3(311處收斂點(diǎn)都收斂，所以原級數(shù)在與且時，由于當(dāng)xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3 , 3(, 3收斂區(qū)間為所以收斂半徑為三三.冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.四則運(yùn)算性質(zhì)0)(nnnxgxb)(0 xfxannn設(shè)收斂半徑分別為 和 ,記1R2R,min21RRR 則對于任意的 , 有),(RRx)()()().1 (000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)(

6、)()()().(2(0011000 xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn 利用乘法可以定義除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa則注意,商級數(shù)的收斂半徑可能比原來要小得多2. 分析運(yùn)算性質(zhì))(0 xSxannn設(shè)收斂半徑為R, 則(1) S(x) 在收斂域內(nèi)連續(xù);(2) S(x) 在(-R,R)內(nèi)可導(dǎo),且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)(3) S(x)在(-R,R)內(nèi)可積,且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxn

7、adxxadxxadxxS即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.注意:(2),(3)中端點(diǎn)需要另外討論.例 求和函數(shù)1).1 (nnnx設(shè)和函數(shù)為S(x)11)(nnnxxxS1)(nnxx)(1nnxx2)1 ()1(xxxxx( |x| 1 )01).2(nnnx設(shè)和函數(shù)為S(x)則011)(nnnxxxS)(00 nxndxx xnndxx00)()1ln(110 xdxxx0, 11|0),1ln(1)(xxxxxS練習(xí).2121)() 1()(!1!1)(),(!2222223221221220112xxxxnnnnxnnexexexdxdxSexxnxxndxxSxSxnn則記求收斂域及和函數(shù)112!