第4章線性定常系統(tǒng)的線性變換

1、第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 1第四章第四章 線性定常系統(tǒng)的線性變換線性定常系統(tǒng)的線性變換4.1 單輸入單輸入-單輸系統(tǒng)的可控規(guī)范型單輸系統(tǒng)的可控規(guī)范型 和可觀規(guī)范型和可觀規(guī)范型4.2 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.3 最小實(shí)現(xiàn)（補(bǔ)充）最小實(shí)現(xiàn)（補(bǔ)充）第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 24.1 4.1 單輸入單輸入- -單輸出系統(tǒng)的可控規(guī)范形單輸出系統(tǒng)的可控規(guī)范形和可觀規(guī)范形和可觀規(guī)范形 一一 可控規(guī)范形可控規(guī)范形 對(duì)單輸入對(duì)單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式描述具有如下形式xcyu,bxAxccc100b,101

2、0Ac1 -n10c 則稱此狀態(tài)空間描述為可控規(guī)范形。則稱此狀態(tài)空間描述為可控規(guī)范形。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 3結(jié)論：對(duì)于完全能控的單輸入結(jié)論：對(duì)于完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)單輸出系統(tǒng)Abycxxux其中：其中：A為為nn常陣，常陣，b，c分別為分別為n維列向量和維列向量和n維行維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣引入非奇異線性變換陣P- -1：12121111111nnnPSbAbAb第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 4作變換作變換 ，即可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)型為：，即可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)型為：1PxxAbycxxu

3、x式中：式中：1012110110100000100;000101nnAPAPbPbccP 其中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 5證明：證明：1）系統(tǒng)完全可控，必有）系統(tǒng)完全可控，必有1nrankSrank bAbAbn所以向量所以向量 是線性無關(guān)的。是線性無關(guān)的。1,nb AbAb1PQS1 QP取變換矩陣為取變換矩陣為式中：式中： ，有，有121nnQ qqqq121211211111nnnnqqqSbAbAb第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 6所以：所以： nqb111(I)nnnnnAAqqqb23232132()

4、nnnnAAAAqqqI b12121121()nnnnAAAAqqqI b 由于由于S和和都是線性無關(guān)的，顯然向量都是線性無關(guān)的，顯然向量也是線性無關(guān)的。應(yīng)用凱萊也是線性無關(guān)的。應(yīng)用凱萊-哈密頓定理得到哈密頓定理得到12,nq qq111100()nnnnAAAA b qbq122121111()nnnnAAAAqbbb = qq2112222()nnnnnnnAAAqbbb = qq1111nnnnnnAAqbbb = qq第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 7書寫成矩陣形式為：書寫成矩陣形式為：0112211nnnnnnnnAQ qqqqqqq101100nnQQAI所以：所以： 11101

5、100nnAQ AQPAPI第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 82）記變換矩陣）記變換矩陣P的行向量為的行向量為pi，因，因PQ = I，即，即10ijijp qij故：故： 11001nnnnnnPP p qbbqpqp q3）對(duì)于向量）對(duì)于向量 ，由，由 計(jì)算得計(jì)算得1011nccP121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbc第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 9 三三 可觀測規(guī)范形可觀測規(guī)范形 對(duì)單輸入對(duì)單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀單輸出線性定常系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式態(tài)空間描述具有如下形式x cyu,bx Ax ooo100c,1100Ac1

6、-n10o 則稱此狀態(tài)空間描述為可觀測規(guī)范形。則稱此狀態(tài)空間描述為可觀測規(guī)范形。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 10結(jié)論：對(duì)于完全可觀測的單輸入結(jié)論：對(duì)于完全可觀測的單輸入單輸出系統(tǒng)單輸出系統(tǒng)Abycxxux其中：其中：A為為nn常陣，常陣，b，c分別為分別為n維列向量和維列向量和n維行維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣引入非奇異線性變換陣P ：12122111111nnnnAPVAA cccc第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 11作變換作變換 ，即可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)型為：，即可導(dǎo)出可控標(biāo)準(zhǔn)型為：1PxxAbycx

7、xux式中：式中：其中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb0011122111000100010;0010001nnnAPAPbPbccP第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 124.2 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 從可控性和可觀測性出發(fā)，狀態(tài)變量便可分為可從可控性和可觀測性出發(fā)，狀態(tài)變量便可分為可控可觀測，可控不可觀測，不可控可觀測，不可控不控可觀測，可控不可觀測，不可控可觀測，不可控不可觀測四類?？捎^測四類。 不同類型的狀態(tài)變量也對(duì)應(yīng)了不同的四類子系統(tǒng)：不同類型的狀態(tài)變量也對(duì)應(yīng)了不同的四類子系統(tǒng)：可控可觀測子系統(tǒng)、可控不可觀測子系統(tǒng)、不可控

8、可可控可觀測子系統(tǒng)、可控不可觀測子系統(tǒng)、不可控可觀測子系統(tǒng)和不可控不可觀測子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的分觀測子系統(tǒng)和不可控不可觀測子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的分解。解。 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解是通過引入適當(dāng)?shù)木€性非對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解是通過引入適當(dāng)?shù)木€性非奇異變換來實(shí)現(xiàn)的。奇異變換來實(shí)現(xiàn)的。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 13一一 非奇異線性變換的不變特性非奇異線性變換的不變特性 系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換后，不會(huì)改系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換后，不會(huì)改變系統(tǒng)原有特性變系統(tǒng)原有特性(包括系統(tǒng)特征值、傳遞函包括系統(tǒng)特征值、傳遞函數(shù)矩陣、可控性、可觀性等數(shù)矩陣、可控性、可觀性等)，這就是所謂，這就是所謂的的非奇異線性變換的不變特性非

9、奇異線性變換的不變特性。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 141非奇異變換后系統(tǒng)可控性不變非奇異變換后系統(tǒng)可控性不變?cè)O(shè)變換前、后系統(tǒng)的可控性矩陣分別為設(shè)變換前、后系統(tǒng)的可控性矩陣分別為S和和 ，則：，則：S211111111111112111211()()()()nnnnSBABA BABP BP AP P BP AP P AP P BP APP BP BP ABP A BP ABPBABA BABP S1,rankPn rankSn11min,rankSrankP SrankPrankSrankSSPSmin,rankSrankPSrankP rankSrankSrankSrankS另因?yàn)榱硪?/p>

10、為P為非奇異，所以為非奇異，所以 顯然有顯然有 第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 152非奇異變換后系統(tǒng)可觀測性不變非奇異變換后系統(tǒng)可觀測性不變?cè)O(shè)變換前、后系統(tǒng)的可觀測性矩陣分別為設(shè)變換前、后系統(tǒng)的可觀測性矩陣分別為V和和 ，則：，則：V21111112121()()()() ()() () ()() ()()()()()TTTTTTnTTTTTTTnTTTTTTTTTTTnTTTTTTTTnTTTVCA CACACCPP APCPP APP APCPP APCPP CP A CPACPACPCA CACACP V,TrankPn rankVnmin,TTrankVrankP VrankPran

11、kVrankV另因?yàn)榱硪驗(yàn)镻為非奇異，所以為非奇異，所以 顯然有顯然有 1()TVPV11()min() ,TTrankVrank PVrank PrankVrankVrankVrankV第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 16二系統(tǒng)按可控性的結(jié)構(gòu)分解二系統(tǒng)按可控性的結(jié)構(gòu)分解1可控性結(jié)構(gòu)分解可控性結(jié)構(gòu)分解設(shè)不可控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為設(shè)不可控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,AByCxxux式中：式中：x為為n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；u為為p維輸入向量；維輸入向量；y為為q維維輸出向量；輸出向量；A，B，C為具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣。若系為具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣。若系統(tǒng)可控性矩陣的秩為統(tǒng)可控性矩陣的秩為1nrankSrank B

12、ABABrn則可構(gòu)造則可構(gòu)造nn非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣P-1-1：1121rrnP sssss第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 17進(jìn)行非奇異線性變換：進(jìn)行非奇異線性變換：11ccPPxxx =x即可得到系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范表達(dá)式：即可得到系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范表達(dá)式：1200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx式中：式中： 為為r維可控狀態(tài)子向量，維可控狀態(tài)子向量， 為為(n-r)維不可控維不可控狀態(tài)子向量，并且狀態(tài)子向量，并且 cxcx121()()0crcn rrn rAAAPAPA行行列列()0crn rpBBPB行行列1()qccrn rCCPCC行

13、列列第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 18nn非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣P- -1的構(gòu)造方法：的構(gòu)造方法：1）從可控性判別陣從可控性判別陣S中任意的選取中任意的選取r個(gè)線性無關(guān)的個(gè)線性無關(guān)的列向量列向量，記為，記為 。2）在在n維實(shí)數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的維實(shí)數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n- -r)個(gè)列向量個(gè)列向量（注：注：所謂盡可能簡單是指這個(gè)列向量所謂盡可能簡單是指這個(gè)列向量中有盡可能多的元素為零，非零元素取值為中有盡可能多的元素為零，非零元素取值為1），），記為記為 ，使它們和，使它們和 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 這樣就可以構(gòu)成這樣就可以構(gòu)成nn非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣12,rs

14、ss12,rrnsss12,rs ss1121rrnP sssss第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 191200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx展開寫有：展開寫有：12ccccccccccccxA xA xB uxA xyC xC x令令 ，則可定義，則可定義可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：ccyyy12ccccccccxA xA xB uyC xccccccxA xyC x不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 20cA1/scCy+cxcxcycxcxcyu+12AcBcA1/scC圖圖4-1 可控性規(guī)范分解

15、方框圖可控性規(guī)范分解方框圖 第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 212系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性分解特點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可控性分解特點(diǎn)1）由于）由于11112112111121( )()()0000()()()00()ccccccrcccn rccrcrcn rcccn rcG sC sIABC sIABBAACCsIABsIAACCsIABsIAsIAAsIACCsIA 11()()0rcccccrccsIABCCCsIAB第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 221111000nnncccccncccccrank BABABrank BABABBA BABrankrank BA BABr因而因而r維系統(tǒng)維系統(tǒng) 是可控的

16、，且和系統(tǒng)是可控的，且和系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。如果從傳遞特性的角具有相同的傳遞函數(shù)矩陣。如果從傳遞特性的角度分析系統(tǒng)度分析系統(tǒng) 時(shí)，可以等價(jià)地用分析子系統(tǒng)時(shí)，可以等價(jià)地用分析子系統(tǒng) 來代替，由于后者維數(shù)降低了很多，可來代替，由于后者維數(shù)降低了很多，可能會(huì)使分析變得簡單。能會(huì)使分析變得簡單。(,)cccA B C, ,A B C, ,A B C(,)cccA B C第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 232）輸入）輸入u只能通過可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不只能通過可控子系統(tǒng)傳遞到輸出，而與不可控子系統(tǒng)無關(guān)，故可控子系統(tǒng)無關(guān)，故u至至y之間的傳遞函數(shù)矩陣描述之間的傳遞函數(shù)矩陣描述不能反映不可控部

17、分的特性。不能反映不可控部分的特性。3）由于在選取非奇異變換矩陣）由于在選取非奇異變換矩陣時(shí)，列向量時(shí)，列向量 和和 的選取不具有唯一的選取不具有唯一性，雖然可控性規(guī)范分解的形式不變，但各系數(shù)矩陣性，雖然可控性規(guī)范分解的形式不變，但各系數(shù)矩陣因因P- -1的差異而不同，即可控性規(guī)范分解結(jié)果不唯一。的差異而不同，即可控性規(guī)范分解結(jié)果不唯一。111rrnP ssss12,rs ss12,rrnsss第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 244）系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式可分解為：）系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式可分解為：12det()det()det0det() det()ccccsIAAsIAsIAsIAsIAsIA表明不完

18、全可控系統(tǒng)的特征值由兩部分組成：表明不完全可控系統(tǒng)的特征值由兩部分組成：一部分為一部分為 的特征值，稱為系統(tǒng)的可控振型；另的特征值，稱為系統(tǒng)的可控振型；另一部分為一部分為 的特征值，稱為系統(tǒng)的不可控振型。的特征值，稱為系統(tǒng)的不可控振型。外部輸入外部輸入u的引入只能改變可控振型的位置，而的引入只能改變可控振型的位置，而不能改變不可控振型的位置。不能改變不可控振型的位置。cAcA第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 25例例4-2： 已知系統(tǒng)（已知系統(tǒng)（A,b,c），其中），其中1210010011 11431A bc，試將系統(tǒng)作可控性規(guī)范分解。試將系統(tǒng)作可控性規(guī)范分解。解：解：1）可控性判別矩陣）可控

19、性判別矩陣2014000138SbAbA brank23S ；故系統(tǒng)不完全可控。故系統(tǒng)不完全可控。 第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 262）從）從S中選出兩個(gè)線性無關(guān)的列向量中選出兩個(gè)線性無關(guān)的列向量 和和 ，附加任意列向量，附加任意列向量 ，構(gòu)成，構(gòu)成非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣P- -1：001T103T010T0311000101P301100010P 則：則：11042114201210010APAPPP ，b =bc = c第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 27即可得到系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范表達(dá)式為：即可得到系統(tǒng)按可控性分解的規(guī)范表達(dá)式為：042114201210010cccccc x

20、xxu,y =xxx0421142012ccccc xxxuyxcccc xxyx故可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：故可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： 不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不可控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 28例例4-3：給定線性定常系統(tǒng)：給定線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，其中，其中101100110111010111cBA，試對(duì)系統(tǒng)作可控性規(guī)范分解。試對(duì)系統(tǒng)作可控性規(guī)范分解。解：已知解：已知 ，由于，由于 ，故只，故只需判斷需判斷 是否為行滿秩。是否為行滿秩。3,2np2prankBpn pSBAB01121010230112rank BABrankn系統(tǒng)不完全可控。系統(tǒng)不完全可控。 第

21、4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 29從可控性判別陣中取線性無關(guān)的向量從可控性判別陣中取線性無關(guān)的向量s1, s2，再任取，再任取s3，構(gòu)成非奇異線性變換矩陣：構(gòu)成非奇異線性變換矩陣： 1011100010P010001101P于是：于是：1010111011100001010100121101111010000APAP第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 30010011000110011010100BPB1011101 100021010Pcc100100212101cccccxxxuyx ，0cccxyx，可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：不可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：不可控子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)

22、方程為：第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 31三系統(tǒng)按可觀測性的結(jié)構(gòu)分解三系統(tǒng)按可觀測性的結(jié)構(gòu)分解設(shè)不可觀測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為設(shè)不可觀測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,AByCxxux式中：式中：x為為n維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；u為為p維輸入向量；維輸入向量；y為為q維維輸出向量；輸出向量；A，B，C為具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣。若系為具有相應(yīng)維數(shù)的矩陣。若系統(tǒng)可觀測性矩陣的秩為統(tǒng)可觀測性矩陣的秩為1nCCArankVranklnCA 則可則可從從V中任意的選取中任意的選取l個(gè)線性無關(guān)的行向量個(gè)線性無關(guān)的行向量，記為，記為 第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 3212,lt tt 。再在。再在n維實(shí)數(shù)空間中任意選取盡可能維

23、實(shí)數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的簡單的(n-l)個(gè)個(gè)n維行向量維行向量 ，使它們和，使它們和 線性無關(guān)。這樣就可以構(gòu)成線性無關(guān)。這樣就可以構(gòu)成nn非奇異非奇異變換矩陣變換矩陣12,llnttt12,lt tt11llnTtttt對(duì)于上述不完全可觀測系統(tǒng)，進(jìn)行非奇異線性變換對(duì)于上述不完全可觀測系統(tǒng)，進(jìn)行非奇異線性變換11ooTTxxx =x第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 33即可得到系統(tǒng)按可觀測性分解的規(guī)范表達(dá)式：即可得到系統(tǒng)按可觀測性分解的規(guī)范表達(dá)式：210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx式中：式中： 為為l維可觀測狀態(tài)子向量，維可觀測狀態(tài)子向量， 為為(n-

24、 l)維不維不可觀測狀態(tài)子向量，并且可觀測狀態(tài)子向量，并且 oxox121()()olon lln lAATATAA0行行列列()olon lpBBTBB行行列1()qoln lCCTC0行列列第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 34展開寫有：展開寫有：則可觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：則可觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不可觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不可觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx21oooooooooooABAABCxxuxxxuyxoooooooABCxxuyx21ooooooAAB 0 xxxuy第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 35圖圖4-2

25、可觀測性規(guī)范分解方塊圖可觀測性規(guī)范分解方塊圖第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 36例例4-4： 試將例試將例4-2所示系統(tǒng)按可觀測性進(jìn)行分解。所示系統(tǒng)按可觀測性進(jìn)行分解。已知系統(tǒng)已知系統(tǒng)(A,B,C)，其中，其中1210010011 11431A bc，解解：n=3，系統(tǒng)的可觀測性判別矩陣為：，系統(tǒng)的可觀測性判別矩陣為：2111232474cVcAcA32rankV故系統(tǒng)不完全可觀。故系統(tǒng)不完全可觀。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 37從從V中選取兩線性無關(guān)行向量中選取兩線性無關(guān)行向量 和和 ，再選取一個(gè)與之線性無關(guān)的行向量再選取一個(gè)與之線性無關(guān)的行向量 ，構(gòu)成非，構(gòu)成非奇異線性變換矩陣：奇異線

26、性變換矩陣：11 1232001111232001T則：則：1311210001T1010230 ;532ATAT 12 ;1T b = b1100Tc = c 第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 38即可得到系統(tǒng)按可觀測性分解的規(guī)范表達(dá)式：即可得到系統(tǒng)按可觀測性分解的規(guī)范表達(dá)式：010123021005321oooooo xxxu,y =xxx可觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：可觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： 01110232oooouy xxx，不可觀子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不可觀子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： 5320ooooxxuy x，第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 39四、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解（可控性可觀測性結(jié)構(gòu)分解）四、

27、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解（可控性可觀測性結(jié)構(gòu)分解） 對(duì)于對(duì)于不完全可控和不完全可觀測不完全可控和不完全可觀測的的n維系統(tǒng)狀維系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：態(tài)空間描述：xAxBuyCx ， 。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解：。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解：可先對(duì)其按可控性進(jìn)行分解，然后再分別對(duì)得到的可先對(duì)其按可控性進(jìn)行分解，然后再分別對(duì)得到的可控子系統(tǒng)和不可控子系統(tǒng)按可觀測性進(jìn)行分解可控子系統(tǒng)和不可控子系統(tǒng)按可觀測性進(jìn)行分解，則可找到一個(gè)非奇異矩陣則可找到一個(gè)非奇異矩陣P，做變換，做變換 ，實(shí)現(xiàn)按，實(shí)現(xiàn)按可控性可觀測性結(jié)構(gòu)分解?？煽匦钥捎^測性結(jié)構(gòu)分解。rankSrnrankVln 1xP x第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 40

28、 具體實(shí)現(xiàn)過程：具體實(shí)現(xiàn)過程： 1) 先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控性分解，即引入狀態(tài)變換，即引入狀態(tài)變換11ccccPPxx =x =x式中式中 基于系統(tǒng)可控性矩陣來構(gòu)造?；谙到y(tǒng)可控性矩陣來構(gòu)造。1cP2）對(duì)可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分解）對(duì)可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分解，即引入狀態(tài)，即引入狀態(tài)變換變換1coccocoPxx =x式中式中 基于可控子系統(tǒng)的可觀測性矩陣來構(gòu)造基于可控子系統(tǒng)的可觀測性矩陣來構(gòu)造 。coP第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 413）對(duì)不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分解）對(duì)不可控子系統(tǒng)進(jìn)行可觀測性分解，即引入狀，即引入狀態(tài)變換態(tài)變換1coccoc oPxx =x式中式中 基

29、于不可控子系統(tǒng)的可觀測性矩陣來構(gòu)造?；诓豢煽刈酉到y(tǒng)的可觀測性矩陣來構(gòu)造。 coP4）綜合上面三次狀態(tài)變換，有下列狀態(tài)變換關(guān)系）綜合上面三次狀態(tài)變換，有下列狀態(tài)變換關(guān)系11110cocococococcocococ oc oxxxxPPPxxoPxxx =引入引入P- -1變換，做變換變換，做變換 ，即可將系統(tǒng)分解為：，即可將系統(tǒng)分解為：1xP x第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 42使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解為：使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解為：1321232443000000000cocococococococococococ oc oc oxxAABxxAAAABuxAxxAAx00cococococ oc ococ

30、ococ oxxyyyyyCCxx第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 43可控可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：可控可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：13,cocococococococoxA xA x B uyC x可控不可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：可控不可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：212324,0cocococococ ococoxA xA xA xA x B uy不可控可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：不可控可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：,cocococococoxA xyC x不可控不可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：不可控不可觀測子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：43=+,0c ococ oc oc oxA xA xy第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 44注

31、意：由信號(hào)的傳遞關(guān)系可知注意：由信號(hào)的傳遞關(guān)系可知,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：為：11( )()()( )cocococoG sC sIABCsIABGs上式說明線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與其可控上式說明線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與其可控可觀測子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，這體現(xiàn)了系可觀測子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，這體現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)空間描述與輸入統(tǒng)狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述的一個(gè)重要關(guān)輸出描述的一個(gè)重要關(guān)系，即系，即輸入輸入輸出描述只能反映系統(tǒng)的既可控又輸出描述只能反映系統(tǒng)的既可控又可觀測部分，它是對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)不完全描述。只可觀測部分，它是對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)不完全描述。只有當(dāng)系統(tǒng)為可控且可觀

32、測時(shí)，輸入有當(dāng)系統(tǒng)為可控且可觀測時(shí)，輸入輸出描述對(duì)輸出描述對(duì)系統(tǒng)的表征才是完整的。系統(tǒng)的表征才是完整的。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 45例例4-5 ：設(shè)不可控且不可觀測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：設(shè)不可控且不可觀測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為001110310120130uyxx+x，試對(duì)系統(tǒng)作可控可觀測性規(guī)范分解。試對(duì)系統(tǒng)作可控可觀測性規(guī)范分解。解：解：1）系統(tǒng)按可控性分解。）系統(tǒng)按可控性分解。系統(tǒng)可控性判別陣：系統(tǒng)可控性判別陣：2101113012SbAbA brank23S 系統(tǒng)不完全可控，可控狀態(tài)的維數(shù)為系統(tǒng)不完全可控，可控狀態(tài)的維數(shù)為2。第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 46選取進(jìn)行可控性分解的變換陣：

33、選取進(jìn)行可控性分解的變換陣： 1100110011P100110111P 則：則： 1011122001APAP100Pbb112Pcc第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 47故有：故有：01111220,1120010uyxx+x其中可控子系統(tǒng)為：其中可控子系統(tǒng)為：0111,111220cccccuy xxxx不可控子系統(tǒng)為：不可控子系統(tǒng)為：,2ccccy xxx第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 482)不可控子系統(tǒng)是一維的。輸出方程不可控子系統(tǒng)是一維的。輸出方程 是是可觀測子系統(tǒng)，故令：可觀測子系統(tǒng)，故令：ccxy211cocoPP3）可控子系統(tǒng)的可觀性規(guī)范分解。首先確定系）可控子系統(tǒng)的可觀性規(guī)范分解。首先確定系統(tǒng)可觀測狀態(tài)的維數(shù)。系統(tǒng)可觀測性判別陣：統(tǒng)可觀測狀態(tài)的維數(shù)。系統(tǒng)可觀測性判別陣：1111V12rankV 可控子系統(tǒng)不完全可觀測，可觀測狀態(tài)的維數(shù)為可控子系統(tǒng)不完全可觀測，可觀測狀態(tài)的維數(shù)為1。構(gòu)造可觀測性分解變換矩陣：構(gòu)造可觀測性分解變換矩陣：1011coP11101coP 第4章 線性定常系統(tǒng)的線性變換 49可觀性規(guī)范分解的變換矩陣為：可觀性規(guī)范分解的變換矩陣為：11000100001coocoPPP1110010001oP 則引入變換則引入變換 ，即對(duì)按可控性分解后的系，即對(duì)按可控性分解后的系統(tǒng)按可觀測性分解，